數(shù)學(xué)是一種語言。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)為了樂趣，也能掌握一種工具。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先需要選擇一本能讓你有閱讀樂趣的書。從這種意義上看，我從來不推薦中文教材。這不是源自歧視而源自于經(jīng)驗(yàn)。
《離散數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容
先參考一下美國ACM的2016年版CE(計(jì)算機(jī)工程)的課程計(jì)劃里面給出的指引：
- Discrete Structures [30 core hours]
- History and overview [1]
- Relevant tools and engineering applications [1]
- Functions, relations, and sets [6]
- Boolean algebra principles [4]
- First-order logic [6]
- Proof techniques [6]
- Basics of counting [2]
- Graph and tree representations and properties [2] Iteration and recursion [2]
另外，一般而言，還會把離散概率的內(nèi)容歸為《離散數(shù)學(xué)》的內(nèi)容。
《離散數(shù)學(xué)》相關(guān)課程
稍微歸納一下以上內(nèi)容，大致上是這些內(nèi)容或者這些內(nèi)容的深入解釋出自以下幾門課程：
- 集合論
- 近世代數(shù)（抽象代數(shù)）
- 數(shù)理邏輯
- 圖論
- 具體數(shù)學(xué)
不能不說，我們很輕易就能獲取這幾個方向的優(yōu)秀教材，但是我們能有一本足夠優(yōu)秀的《離散數(shù)學(xué)》嗎？
離散數(shù)學(xué)的教學(xué)原則
首先強(qiáng)調(diào)，離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容是計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)，特別是一種針對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法的數(shù)學(xué)。
其次，從教學(xué)安排上看，可以獨(dú)立開設(shè)《離散數(shù)學(xué)》課程，也可以讓其他課程覆蓋以上內(nèi)容。
第三，《離散數(shù)學(xué)》的知識必須強(qiáng)調(diào)應(yīng)用。請注意，不是僅僅強(qiáng)調(diào)有用，然后讓學(xué)生等待以后使用，而是在教學(xué)中具體展示每一個知識點(diǎn)的某種特定應(yīng)用，至少對重點(diǎn)的知識點(diǎn)必須如此。
一些思考或者經(jīng)驗(yàn)
首先，我們需要思考的一個問題就是，在一門課程中覆蓋這么多的知識量，會出現(xiàn)什么問題？不難預(yù)知，必然是許多知識點(diǎn)得到無法系統(tǒng)覆蓋。比如，如果概率論的內(nèi)容在《離散數(shù)學(xué)》中講授，馬爾可夫鏈必然不會被講授，也許切諾夫界也不會。又比如，群、環(huán)、域的內(nèi)容如果在《離散數(shù)學(xué)》中覆蓋，你能指望可以講授多少代數(shù)的內(nèi)容呢？或許有人會說，不對啊，如果你需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)，那么你可以選修《概率論》和《抽象代數(shù)》這樣的課程啊。沒錯，前提是，你有機(jī)會選。而且還必須考慮，當(dāng)一種知識只是簡單地入門，其起到什么作用？是否可以達(dá)到以上強(qiáng)調(diào)的“應(yīng)用”的作用呢？答案估計(jì)是否。那么，這樣簡單入門的課程達(dá)到的目標(biāo)是什么呢？值得思考、探討。
從這個意義上看，我是極力反對大學(xué)生手捧一本經(jīng)典《離散數(shù)學(xué)》進(jìn)行努力學(xué)習(xí)的，因?yàn)樾Ч跷?。因此，作為一個清醒的且能主動學(xué)習(xí)的大學(xué)生，你需要的是知道《離散數(shù)學(xué)》的知識體系是什么，然后根據(jù)自己的實(shí)際情況，選修相關(guān)的更專門的課程（《概率論》、《組合數(shù)學(xué)》、《計(jì)算理論》），或者選擇某些專門領(lǐng)域的經(jīng)典教材（《代數(shù)》、《數(shù)理邏輯》、《圖論》）進(jìn)行自習(xí)。如果你做不到這一點(diǎn)，那你就只能接受學(xué)數(shù)學(xué)只是為了學(xué)而學(xué)，只是從理論到理論（其實(shí)也沒什么理論）的尷尬局面。通常，這種尷尬不是別人說你尷尬，而是一種你自己都感覺得到的尷尬，要改變這種局面，你需要的是改變自己。
小結(jié)
在《CC2013--計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)學(xué)要求》一文中提到，不要讓學(xué)生感覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過于困難，不要讓數(shù)學(xué)鏈拉得太長，因此我們必須對不同的同學(xué)給不同的學(xué)習(xí)《離散數(shù)學(xué)》的建議。
推薦：(Rafael Pass的Discrete Structure課程講義，簡短實(shí)用，基本涵括CS2013 中明確要求的數(shù)學(xué)知識，供大家參考。
2017年6月17日修訂
