三、分析學(xué)習(xí)路徑

在學(xué)習(xí)“36—8”的退位減法中，為什么學(xué)生思維中出現(xiàn)“拆分后先減再合并”的算法，卻不能自發(fā)成呈現(xiàn)“拆分后先合并再減”的基礎(chǔ)算法呢？是什么原因制約了學(xué)生自發(fā)遷移的思維呢？如果促發(fā)學(xué)生自主遷移呢？

關(guān)于“36—8”的算理，教學(xué)用書中的教學(xué)建議是“動(dòng)手操作”，建立“退位”的直觀表象，理解退位減法的算理”在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在擺小棒的過程中去發(fā)現(xiàn)“基本算法”的算理，即“兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法，當(dāng)個(gè)位上不夠減時(shí)，用十位上的1當(dāng)10并和個(gè)位上的數(shù)合并再一起再減”，以此引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)動(dòng)作表象獲取兩位數(shù)減一位數(shù)退位減法的計(jì)算方法。然而在實(shí)際的教學(xué)中，無論是“先擺后算”還是“先算后擺”，學(xué)生都較少地想到“先合并再減”的方法。

“先擺后算”即從36根小棒中拿走8根，要么是“先拿走6根，再從1捆中拿走2根”要么是“從1捆中拿走8根再把剩下的全部合并起來”。

“先算后擺”的方法，由于學(xué)生缺乏“16—8”的想法，在操作中僅僅停留在“被動(dòng)執(zhí)行”的層面，并沒有內(nèi)化為學(xué)生的思維。而與“36—8”的退位原理相對應(yīng)的外化操作是“打開一捆，再把10根和剩余的6根合并再一起是16根，再從16根中拿走8根”，這種“化簡為繁”的操作行為即不現(xiàn)實(shí)又不具備實(shí)際操作的價(jià)值。因此借助“直觀操作”并不能為學(xué)生理解“先合并再減”提供表象。

根據(jù)前測對學(xué)生起點(diǎn)的分析，學(xué)生要真正理解35—8基本算理，需要達(dá)成以下幾點(diǎn)：一是激活學(xué)生已有的“退位”減法經(jīng)驗(yàn)；二是借助小棒說明算理；三是對方法進(jìn)行優(yōu)化；四是內(nèi)化算法、理解算理。

已有文獻(xiàn)的研究，一般的路徑：一是先讓學(xué)生探索算法，通過先算后擺或者先擺后算來理解算理，然后由老師引出“基本算法”，并通過小棒和流程圖演示講解算法；二是將36拆分成20和16，利用“16—8”的舊知來解決36—8的退位問題，需要設(shè)計(jì)一定情境，重新喚起學(xué)生對20以內(nèi)退位減法的感知，以加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系。

以上路徑都割裂了不同算法之間的聯(lián)系，先入為主地將“基本算法”“教”給學(xué)生，學(xué)生缺乏深入理解過程。

通過分析我們確定如下學(xué)生路徑：（1）讓學(xué)生自主探索出兩位數(shù)減一位數(shù)的算法；（2）結(jié)合小棒直觀操作說明算理；（3）借助小棒圖引導(dǎo)學(xué)生通過比較，發(fā)現(xiàn)不同算法之間的本質(zhì)聯(lián)系；（4）打通直觀操作、算法圖、抽象橫式之間的聯(lián)系，內(nèi)化形成算法，理解算理。在這一學(xué)習(xí)路徑的四個(gè)步驟中，第一步和第二步是引導(dǎo)學(xué)生理解“破十法”和“連減法”的算理，即理解“退位”的算理。第三步是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直觀圖在比較中發(fā)現(xiàn)前兩種算法的本質(zhì)，說明基本算法是對前兩種方法的概括和說理。第四步是理解基本算法的算理后，內(nèi)化和形成算法。這里的每一步對理解“基本算法”的算理都是直觀重要的。