釣魚題

釣魚題

啥是釣魚題呢，比如說一些看似簡單，實際上很難，大多是沒有解析解，只有近似解的題目，來源大多于網(wǎng)友的手寫題或者是改編題，意在坑人

1

\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+\cdots}}}}
唔，目前公認(rèn)是沒有解析解的，但是可以判斷出來是收斂的

證明收斂：

先證明引理①：
x_n=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots}}}=\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2}
證:
易知該數(shù)列，單調(diào)有界，所以 x_n 極限存在
設(shè)\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=m 則有 m=\sqrt{a+m}
解得 m=\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2}

證明收斂：
\begin{aligned} &y_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots}}}\\ =&\sqrt{2}\cdot\sqrt{\dfrac12+\sqrt{\dfrac{2}{2^2}+\sqrt{\dfrac{3}{2^3}+\cdots}}}\\<&\sqrt{2}\cdot\sqrt{\dfrac12+\sqrt{\dfrac12+\dfrac12+\cdots}}\\ =&\sqrt{2}\cdot\dfrac{1+\sqrt3}{2}\end{aligned}

2

\prod_{n=1}^{\infty}(1-\dfrac{1}{2^n})=(1-\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{2^3})\cdots

這個題目應(yīng)該是由 (1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^3})\cdots 改編而來的，原本應(yīng)該是用好多好多次的平方差，但是這個是只能用一次的

這個級數(shù)叫做 q-Pochhammer ，但是我沒什么研究，就有興趣的自己去看就好了，這個級數(shù)也是沒有解析解的

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