高等代數(shù)理論基礎(chǔ)43：子空間的直和

子空間的直和

直和

定義：設(shè)V_1,V_2是線性空間V的子空間,若\forall \alpha\in V_1+V_2,分解式\alpha=\alpha_1+\alpha_2(\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2)是唯一的,則稱為直和,記作V_1\oplus V_2

例：三維幾何空間V中,用V_1表示一條通過原點的直線,V_2表示一張通過原點且與V_1垂直的平面,則V_1+V_2=V是直和

定理：V_1+V_2是直和\Leftrightarrow等式\alpha_1+\alpha_2=0,\alpha_i\in V_i(i=1,2)只在\alpha_i全為零向量時才成立

證明：

即證零向量的分解式是唯一的

必要性顯然成立

充分性

設(shè)\alpha\in V_1+V_2有兩個分解式

\alpha=\alpha_1+\alpha_2=\beta_1+\beta_2,\alpha_i,\beta_i\in V_i(i=1,2)

則(\alpha_1-\beta_1)+(\alpha_2-\beta_2)=0,\alpha_i-\beta_i\in V_i(i=1,2)

\therefore \alpha_i-\beta_i=0,即\alpha_i=\beta_i(i=1,2)

即向量\alpha的分解式唯一\qquad\mathcal{Q.E.D}

推論：V_1+V_2是直和\Leftrightarrow V_1\cap V_2=\{0\}

證明：

充分性

若\alpha_1+\alpha_2=0,\alpha_i\in V_i(i=1,2)

則\alpha_1=-\alpha_2\in V_1\cap V_2

\therefore \alpha_1=\alpha_2=0

即V_1+V_2是直和

必要性

\forall \alpha\in V_1\cap V_2,有0=\alpha+(-\alpha),\alpha\in V_1,-\alpha\in V_2

\because V_1+V_2是直和

\therefore \alpha=-\alpha=0

即V_1\cap V_2=\{0\}\qquad\mathcal{Q.E.D}

定理：設(shè)V_1,V_2?是V的子空間,令W=V_1+V_2?,則W=V_1\oplus V_2\Leftrightarrow 維(W)=維(V_1)+維(V_2)?

證明：

\because 維(W)+維(V_1\cap V_2)=維(V_1)+維(V_2)

且V_1+V_2為直和\Leftrightarrow V_1\cap V_2=\{0\}

\Leftrightarrow 維(V_1\cap V_2)=0

\therefore 維(W)=維(V_1)+維(V_2)\qquad\mathcal{Q.E.D}

定理：設(shè)U是線性空間V的一個子空間,則存在子空間W使V=U\oplus W

證明：

取U的一組基\alpha_1,\cdots,\alpha_m

擴(kuò)充維V的一組基\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1},\cdots,\alpha_n

令W=L(\alpha_{m+1},\cdots,\alpha_n)

則V=U\oplus W\qquad\mathcal{Q.E.D}

推廣

定義：設(shè)V_1,V_2,\cdots,V_s是線性空間V的子空間,若\forall \alpha\in V_1+V_2+\cdots+V_s的分解式\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s,\alpha_i\in V_i(i=1,2,\cdots,s)是唯一的,則該和稱為直和,記作V_1\oplus V_2\oplus \cdots\oplus V_s

定理：V_1,V_2,\cdots,V_s是V的子空間,則下列條件等價

1.W=\sum V_i是直和

2.零向量的表法唯一

3.V_i\cap\sum\limits_{j\neq i}V_j=\{0\}(i=1,2,\cdots,s)

4.維(W)=\sum維(V_i)

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