排列組合，簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題。
我們從小時(shí)候就學(xué)過(guò)數(shù)數(shù)，一個(gè)蘋(píng)果，兩個(gè)蘋(píng)果，但是現(xiàn)在對(duì)于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)數(shù)就有點(diǎn)不知所措了，其實(shí)，再?gòu)?fù)雜的排列組合都可以從簡(jiǎn)單的例子找到根源，記住公式是沒(méi)有作用的，記住了也不會(huì)用，唯有理解計(jì)數(shù)的本質(zhì)，做到不遺落，不重復(fù)。
計(jì)數(shù)，就是把一個(gè)物體的數(shù)量與整數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，一首撲克54張，4種花色，13個(gè)牌面，再加上兩張大小王，構(gòu)成了54張牌，這里沒(méi)有遺落，也沒(méi)有重復(fù)，這就是簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)。
現(xiàn)在思考一個(gè)植樹(shù)問(wèn)題，再10米長(zhǎng)的馬路上，每隔一米種一棵樹(shù)，那么需要種多少棵樹(shù)？這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單，但我一開(kāi)始以為就是10棵樹(shù)，一米一棵樹(shù)，多么簡(jiǎn)單的道理啊。然而，我錯(cuò)了，0米處也可以種一棵樹(shù)，所以樹(shù)的棵樹(shù)就是11顆。這里就有了遺落，造成了計(jì)數(shù)的錯(cuò)誤。其實(shí)只要把米數(shù)與樹(shù)的棵樹(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)就好了，0米一棵樹(shù)，1米兩棵樹(shù)，，，10米11棵樹(shù)，把這個(gè)作為一個(gè)普遍規(guī)則來(lái)看就能抽象出一個(gè)n米n+1棵樹(shù)的規(guī)律。
要對(duì)多個(gè)集合計(jì)數(shù)，就要使用加法，比如說(shuō)上面的撲克牌，就是把牌分為大小王和普通牌，相加就得出牌的總數(shù)。在這里有一個(gè)比較重要的法則--容斥原理。例如，在1-13中，2的倍數(shù)有6個(gè)，3的倍數(shù)有4個(gè)，既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)有兩個(gè)，那么根據(jù)容斥原理，或者是2的倍數(shù)，或者是3的倍數(shù)有6+4-2=8個(gè)。在容斥原理里，最重要的就是不要重復(fù)。
要對(duì)多個(gè)相關(guān)集合計(jì)數(shù)，就要使用乘法。在用上面的撲克牌為例，13種牌面，4種花色，得出普通牌的總數(shù)為13*4=52張。
再來(lái)看一些稍微復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)。首先思考一下，把ABC三張牌按照各種順序排列，共有多少種排法？顯然6種。ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，只要做到不重復(fù)不遺落，數(shù)數(shù)總是不會(huì)出錯(cuò)的。但從計(jì)數(shù)的角度看，我們應(yīng)該這樣計(jì)算，第一次可以取出3種牌，第二次可以取出2種牌，第三次可以取出1種牌，總計(jì)321=6種。這在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為置換，計(jì)算方法是用階乘。階乘可是會(huì)隨N的增大而爆炸式增長(zhǎng)的。
再來(lái)看看今天的重點(diǎn)，排列。從手上 ABCDE 5種牌中抽取3張牌排列，有多少種排法？當(dāng)然可以把所有的排法寫(xiě)出來(lái)，然后用最簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)得出排列數(shù)，但我們最好還是不要這樣做。用剛才置換的思路來(lái)看看，第一次可以抽取5種牌，第二次可以抽取4種牌，第三次可以抽取3種牌，總計(jì)543=60種排列方法。從這個(gè)例子中抽象就可以得到排列的一般定義，從n張牌中抽取k張按一定順序排列就叫排列，排列的總數(shù)為n(n-1)(n-2)...(n-k+1)，用階乘表示就是n!/(n-k)!，公式不必要記，畢竟光看公式多少有點(diǎn)晦澀難懂，只要理解了排列的意義，抽象出來(lái)就是這個(gè)公式了?；蛘?，如果難以理解，可以嘗試用樹(shù)形圖來(lái)列出排列，圖形化的思考方法就比較好理解吧。
排列總是和組合連在一起，是的，組合就是排列的一種特殊情況，組合就是排列不考慮順序的一種計(jì)數(shù)方法。既然這樣，那我們計(jì)算組合數(shù)可以先計(jì)算排列數(shù)，然后除以重復(fù)度，這不就是組合數(shù)嗎。歸納一下就是n!/(n-k)!k!，k!就是指的是重復(fù)度，就是前面置換的排列數(shù)。
排列組合就是這樣簡(jiǎn)單，根本不需要去絞盡腦汁記住公式。
寫(xiě)給高考的孩子看的。
