如今，互聯(lián)網(wǎng)上似乎存在著兩種對待數(shù)學(xué)的截然不同的態(tài)度。一種認(rèn)為數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)用性有限，只能用來計(jì)算買菜時的價格。另一種認(rèn)為數(shù)學(xué)的用處極大，知乎上有一個提問：如何評價微博上的“數(shù)學(xué)滾出高考”這一話題，底下的答主紛紛舉出數(shù)學(xué)有用的論證和例子。
這兩種觀點(diǎn)，盡管差異很大，但是其實(shí)都建立在一個默認(rèn)的基礎(chǔ)上——他們都認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門實(shí)用性極強(qiáng)的學(xué)科。是否有必要了解數(shù)學(xué)，取決于它是否有利于日常生活和工作。
那么真的是這樣嗎？即使不考慮數(shù)學(xué)的實(shí)用性，我們也應(yīng)當(dāng)了解數(shù)學(xué)，它是幫助我們理解現(xiàn)代社會諸多現(xiàn)象的一把鑰匙。
在《西方文化中的數(shù)學(xué)》這本書中，M·克萊因用歷史方法研究數(shù)學(xué)的發(fā)展。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)一直是一種主要的文化力量，是一種理性的精神。正是這種精神，激發(fā)、鼓舞人類的思維，亦正是這種精神，決定性地影響人類社會的物質(zhì)、文化生活。毫不夸張地說，這是一門關(guān)于人的本性的科學(xué)，因?yàn)樗噲D回答人類主體性的問題，盡力探求和確立已獲得知識的最深刻最完美的內(nèi)涵。
的確，這種思想與當(dāng)今的數(shù)學(xué)教育背道而馳。我們的數(shù)學(xué)教育，繼承自蘇聯(lián)，重技算輕理論，從幼兒園的“珠心算”到考研的各種偏題難題，處處體現(xiàn)了功利實(shí)用傾向和計(jì)算技能崇拜。這一朵偏見的烏云遮蔽了數(shù)學(xué)的本質(zhì)精神，帶來了三個重要的后果。
第一，不管怎么提高數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)教育中的重要性，國民的科學(xué)精神和思維能力依然令人失望；第二，中學(xué)教育和大學(xué)教育脫節(jié)嚴(yán)重，這一點(diǎn)主要體現(xiàn)在科研層次上，數(shù)學(xué)教育上沒有多少改變，考研的題目也都是“死氣沉沉”的計(jì)算題。我們成建制地生產(chǎn)一批又一批的奧賽選手，在奧賽（IMO）里戰(zhàn)無不勝攻無不克，但是在高端研究領(lǐng)域很難取得突破性進(jìn)展；第三，沒有多少人能靜下心來做數(shù)學(xué)研究，我認(rèn)識的幾個本科數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)紛紛轉(zhuǎn)了大金融方向，而有志向把數(shù)學(xué)研究作為自己畢生發(fā)展的都選擇了出國深造。
那么是否有可能，通過重新審視數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展，把數(shù)學(xué)當(dāng)作我們社會的一種基本文化活動，進(jìn)而解決這些重要問題呢？當(dāng)我們開始把數(shù)學(xué)建立在個人主體性構(gòu)建的框架上，把數(shù)學(xué)當(dāng)作一門語言、一種邏輯思維方式，我們或許能夠觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)和靈魂。
數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程——超越
數(shù)學(xué)的發(fā)展，是一個不斷自我超越的歷程。它從一種純粹的經(jīng)驗(yàn)法則，發(fā)展成科學(xué)推理的支柱，如今已是一個龐然大物。它決定了大部分哲學(xué)思想的研究方法，摧毀了中世紀(jì)的基督教教義，為政治和經(jīng)濟(jì)學(xué)說提供理論依據(jù)，塑造了繪畫、音樂、建筑的藝術(shù)風(fēng)格。
數(shù)學(xué)作為經(jīng)驗(yàn)法則
對于埃及和巴比倫文明 ，數(shù)學(xué)是一種生活技藝。希羅多德曾記錄，埃及法老將土地分封給埃及人，所有埃及人根據(jù)自己土地的面積納稅。土地面積的測量精度，決定了稅收的數(shù)量，幾何學(xué)正是誕生于這種對土地面積精確測量的需求之中。
生活中的實(shí)際需要，促使古埃及人和古巴比倫人創(chuàng)立了數(shù)學(xué)，他們?yōu)閿?shù)學(xué)積累了大量的公式和基本技巧。不過，這些數(shù)學(xué)知識都是通過經(jīng)驗(yàn)獲得的，被用于解決實(shí)際問題。它們既沒有得到證明，也沒有整理成為完整的數(shù)學(xué)知識體系。
數(shù)學(xué)的第一次超越——和哲學(xué)、藝術(shù)結(jié)合
對于希臘文明，數(shù)學(xué)是美的藝術(shù)，它和哲學(xué)緊密相連。
希臘人重構(gòu)了數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的第一次超越到來了。他們拋棄了通過經(jīng)驗(yàn)、歸納等方式獲得的所有數(shù)學(xué)公式與規(guī)則，將演繹推理作為數(shù)學(xué)證明的唯一方式。歐幾里得在《幾何原本》中創(chuàng)立了一套公理系統(tǒng)，通過嚴(yán)格的演繹法推出定理，他創(chuàng)立了幾何學(xué)。從此以后，數(shù)學(xué)從農(nóng)夫的量尺中解放出來了，成為了人的一種思想體系。人們開始運(yùn)用理性做出判斷，理性的美和條理性開始顯現(xiàn)。
希臘人還將數(shù)學(xué)抽象化了，他們從經(jīng)驗(yàn)、直覺出發(fā)，例如，把拉直的繩子定義為線段，從而把物質(zhì)實(shí)體從數(shù)學(xué)概念中剝除，這就使得數(shù)學(xué)獲得了一般性的優(yōu)點(diǎn)。獲得了一般性的數(shù)學(xué)，超越了單一領(lǐng)域的限制。以前，數(shù)學(xué)不過是推動其他領(lǐng)域進(jìn)步的工具，現(xiàn)在它成為了一門跨學(xué)科的藝術(shù)。
在希臘文化中，很難把理性因素與美學(xué)因素、道德因素分開。希臘風(fēng)格的實(shí)質(zhì)是簡練、清晰和嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)獨(dú)特的邏輯思維方式啟發(fā)了希臘哲學(xué)、建筑、文學(xué)的創(chuàng)作。
數(shù)學(xué)的第二次超越——和科學(xué)結(jié)合
數(shù)學(xué)的第二次超越，在中世紀(jì)末期姍姍來遲。如果說歐幾里得的幾何學(xué)，還殘留經(jīng)驗(yàn)和直覺的影響，那么牛頓的天文學(xué)，就已經(jīng)拋棄了感官的證實(shí)，因?yàn)槲覀儫o法感受地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)。
此時的數(shù)學(xué)研究，目的是通過發(fā)現(xiàn)自然界的數(shù)學(xué)關(guān)系，來揭示上帝創(chuàng)造世界的偉大。然而諷刺的是，數(shù)學(xué)家的工作，卻摧毀了宗教的基礎(chǔ)，促成了思想的解放。
伽利略的數(shù)學(xué)研究方法，進(jìn)一步奠定了近代科學(xué)的基礎(chǔ)。不管是古希臘還是中世紀(jì)，科學(xué)家們都致力于解釋自然現(xiàn)象發(fā)生的原因。問為什么，是人的天性，不過尋求確切的答案，有時候很沒有效率（亞里士多德花費(fèi)了大量時間試圖解釋為什么扔向空中的物體會落回地面），有時候無法直接獲得（社會學(xué)中需要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的測量結(jié)果推導(dǎo)社會的運(yùn)行機(jī)制）
伽利略意識到了這一點(diǎn)，他用數(shù)學(xué)公式的推理代替舊的研究方法。首先，他從現(xiàn)象中推導(dǎo)出一般的運(yùn)動原理；其次，把原理中的基本性質(zhì)推廣到所有物質(zhì)實(shí)體；最后，關(guān)于現(xiàn)象的定量描述取代了對現(xiàn)象的定性解釋。
讓我們看看牛頓是如何運(yùn)用這一思想的。
首先，根據(jù)生活中的自然現(xiàn)象，牛頓猜測地球?qū)Φ孛嫔衔矬w的作用，和地球?qū)υ虑虻淖饔茫軌蛴猛粋€公式描述，他把這個作用力定義為“萬有引力”。經(jīng)過一系列運(yùn)算，他計(jì)算發(fā)現(xiàn)一個物體對另一個物體的引力，取決于這兩個物體中心距離的平方，而且引力隨距離的增加而減少。月球在軌道上運(yùn)動的向心加速度與地面的重力加速度比值，符合他的計(jì)算結(jié)果。這證明了兩種作用力是相同的，它們遵循著同一種定律——萬有引力定律。
然后，他的下一步工作是把萬有引力定律推廣到所有物質(zhì)和運(yùn)動上。他證明了所有自由落體運(yùn)動都以相同的加速度下落（)，驗(yàn)證了開普勒三定律的正確性，計(jì)算出了地球和太陽的質(zhì)量。牛頓最終確信，所有的自然現(xiàn)象都可以從運(yùn)動定律和引力定律中推導(dǎo)出來。
可以看到，牛頓定義了“萬有引力”，卻沒有討論引力的物理本質(zhì)。相反，他給出了引力的定量公式，測量了物質(zhì)的慣性和引力的性質(zhì)。通過這種研究方法，他取得了比定性分析大得多的成就。
此后，萊布尼茨、傅立葉、麥克斯韋等偉大的科學(xué)家沿著定量分析的方向，在微積分、音樂、光電等領(lǐng)域都留下了科學(xué)數(shù)學(xué)化的痕跡。
何為數(shù)學(xué)？
在討論數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程后，我們不禁要問，到底什么才是數(shù)學(xué)？關(guān)于數(shù)學(xué)的定義，似乎是不辯自明的，數(shù)學(xué)是一個真理體系，數(shù)學(xué)的真理性通過以下三個步驟建立：第一，尋求不可置疑的、絕對真實(shí)的公理；第二，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理推導(dǎo)出定理；第三，將理論應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)世界加以佐證。
這三個步驟看起來無懈可擊，幾千年來數(shù)學(xué)正是通過這個方法建立起了宏偉的理論大廈。不過，如今這個大廈搖搖欲墜。19世紀(jì)的非歐幾何，20世紀(jì)的哥德爾不完備性定理，一次次地沖擊數(shù)學(xué)的真理性。
問題究竟出在哪兒？其實(shí)，數(shù)學(xué)的定義從第一個步驟開始就是錯誤的，“錯誤的”公理推出的也是“錯誤的”定理。那些基本的概念，例如直線、整數(shù)和幾何，最早都是建立在直覺經(jīng)驗(yàn)而非邏輯上，這些概念一開始能夠正確地反映客觀實(shí)在，不過隨著人類物理空間的擴(kuò)大和思想的進(jìn)步，它們的局限暴露了。
數(shù)學(xué)，與自然界的法則不同，它是主觀構(gòu)造的產(chǎn)物，按照克萊因的說法，“數(shù)學(xué)不是建立在客觀現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)上的一座鋼筋結(jié)構(gòu)，而是人在思想領(lǐng)域中進(jìn)行特別探索時，與人的玄想連在一起的蜘蛛網(wǎng)”，因此必須要把數(shù)學(xué)知識和真理區(qū)分開來。
既然數(shù)學(xué)不具有真理性，為什么人們能通過數(shù)學(xué)構(gòu)造出那些宏偉的工程呢？因?yàn)?，一個理論的應(yīng)用，與其真理性沒有關(guān)系。它之所以還能夠應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，是因?yàn)樗軌驗(yàn)榇蟛糠謱?shí)際問題擬合出一個很好的結(jié)果。在現(xiàn)實(shí)面前，這個理論只是一個比較實(shí)用的假設(shè)，它是在人類不斷修正中發(fā)展起來的。
這正是數(shù)學(xué)的第三次超越，數(shù)學(xué)真理性的喪失，使數(shù)學(xué)陷入了本體論的危機(jī)。圍繞著數(shù)學(xué)的基本問題，誕生了三大數(shù)學(xué)哲學(xué)流派：邏輯主義、形式主義和直覺主義。數(shù)學(xué)擺脫了與現(xiàn)實(shí)的緊密聯(lián)系，這給予了數(shù)學(xué)極大的自由，不過這又是另外一個故事了。
