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1. 克拉默法則

這部分我們通過代數(shù)方法來求解 $Ax=b$ 。

用 $x$ 替換單位矩陣的第一列，然后再乘以 $A$ ，我們得到一個(gè)第一列為 $b$ 的矩陣，而其余列則是從矩陣 $A$ 中對(duì)應(yīng)列直接拷貝過來的。

利用行列式的乘法法則，我們有

$|A|(x_1)=|B_1|$

如果我們想要求 $x_2$ ，那么將 $x$ 放在單位矩陣的第二列即可。

$|A|(x_2)=|B_2|$

同理，如果 $det A \not = 0$ ，我們可以通過行列式來對(duì) $Ax=b$ 進(jìn)行求解。

$x_1 = \frac{det \space B_1}{det \space A} \quad x_2 = \frac{det \space B_2}{det \space A} \quad \cdots \quad x_n = \frac{det \space B_n}{det \space A}$

其中 $B_j$ 就是將矩陣 $A$ 的第 $j$ 列替換為向量 $b$ 。

2. 逆矩陣

對(duì)于 $n=2$ ，我們通過求解 $AA^{-1}=I$ 來找到 $A^{-1}$ 的每一列。

為了解出 $x$ ，我們需要五個(gè)行列式。

后面的四個(gè)行列式分別為 $d，-c，-b，a$ ，它們分別是矩陣的代數(shù)余子式 $C_{11}，C_{12}，C_{21}，C_{22}$ 。

對(duì)任意大小的矩陣都滿足，當(dāng)右邊是單位矩陣的一列時(shí)，克拉默法則中矩陣 $B_j$ 的行列式是一個(gè)代數(shù)余子式。

第一個(gè)行列式 $|B_1|$ 是代數(shù)余子式 $C_{11}$ ，第二個(gè)行列式 $|B_2|$ 是代數(shù)余子式 $C_{12}$ ，但是它位于逆矩陣的第一列，也就是 (2，1) 的位置。因此有

我們可以進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的驗(yàn)證，兩邊同時(shí)乘以 $A$ 。

左邊第一行乘以第一列可得

$a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} = det \space A$

第一行乘以第二列可得

$a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}+a_{13}C_{23} = 0$

這可以看作是我們將矩陣 $A$ 的第一行復(fù)制到第二行得到另外一個(gè)矩陣 $A^*$ ，矩陣 $A^*$ 有兩行元素相同，其行列式為零。另外，我們注意到矩陣 $A$ 和 $A^*$ 的代數(shù)余子式 $C_{21}，C_{22}，C_{23}$ 是相同的，因此上式就是矩陣 $A^*$ 的行列式，其值為零。

3. 體積

任何人都知道一個(gè)長(zhǎng)方形的面積——底乘以高，而一個(gè)三角形的面積為底乘以高的一半。但是，如果我們只知道三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 $(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)$ ，這時(shí)候面積為多少呢？

三角形的面積就是 $3×3$ 行列式的一半，如果其中一個(gè)坐標(biāo)為原點(diǎn)的話，那么行列式就只有 $2×2$ 了。

由于平行四邊形的面積是三角形面積的兩倍，因此從原點(diǎn)開始的平行四邊形是一個(gè) $2×2$ 的行列式。

如果我們能證明平行四邊形的面積和行列式具有一樣的性質(zhì)，那么面積就等于行列式。

當(dāng) $A = I$ 時(shí)，平行四邊形就變成了單位正方形，面積為 $det I = 1$ 。
當(dāng)兩行進(jìn)行交換的時(shí)候，行列式改變符號(hào)，但平行四邊形還是原來的平行四邊形，其面積的絕對(duì)值沒有改變。
當(dāng)某一行乘以 $t$ 后，面積就變?yōu)樵瓉淼? $t$ 倍。當(dāng)其中一行不變，而另一行加上 $(x_1', y_1')$ 后，新的平行四邊形的面積就為兩個(gè)平行四邊形面積的和。