本期解答人：中關(guān)村大街

異質(zhì)性和異方差都帶一個(gè)“異”字，英文前綴也相同——異質(zhì)性是Heterogeneity，異方差是 Heteroskedasticity，但其含義有很大不同。一些朋友易將兩者混淆，筆者嘗試用比較直觀（因此可能不夠嚴(yán)謹(jǐn)）的方法進(jìn)行區(qū)分。

一個(gè)變量X對(duì)另一個(gè)變量Y的影響可能因人而異。例如，多上一年學(xué)讓張三的收入增加了1000元，讓李四的收入增加了1200元，那么教育年限對(duì)收入的影響就存在異質(zhì)性。與異質(zhì)性相對(duì)的是同質(zhì)性。如果多上一年學(xué)使所有人的收入都增加1000元，那么教育年限對(duì)收入的影響就是同質(zhì)的。

在變量X的不同水平上，變量Y取值的波動(dòng)大小可能不同。例如，在所有小學(xué)畢業(yè)（上過六年學(xué)）的人里面，有的做了老板，年入百萬，有的成為工薪階層，年入幾萬——在六年教育水平上，收入取值的波動(dòng)很大。在所有大學(xué)畢業(yè)（上過十六年學(xué)）的人里面，大家都能找到不錯(cuò)的工作，收入多的年賺百萬，收入低的也有幾十萬——在十六年的教育水平上，收入取值的波動(dòng)較小。在這個(gè)例子中，收入（Y）的波動(dòng)大小會(huì)隨著教育水平（X）的變化而變化，因此Y相對(duì)于X有異方差。與異方差相對(duì)的是同方差，也即變量Y的取值波動(dòng)不隨自變量X的變化而變化。例如，小學(xué)畢業(yè)的人的收入水平大都比較低，大學(xué)畢業(yè)的人的收入水平大都比較高，但是小學(xué)畢業(yè)的所有人的收入波動(dòng)大小與大學(xué)畢業(yè)的所有人的收入波動(dòng)大小可能差不多。

異（同）質(zhì)性與異（同）方差之間有怎樣的關(guān)系呢？如果Y相對(duì)于X是同方差，那么X對(duì)Y的影響可能是同質(zhì)的，也可能是異質(zhì)的。簡便起見，我們看一個(gè)極端的例子。假如所有上過六年學(xué)的人的年收入都是1萬元，所有上過七年學(xué)的人的年收入都是1.2萬元，所有上過八年學(xué)的人的年收入都是1.4萬元。那么，收入（Y）相對(duì)于教育年限（X）是同方差的——不管教育水平是多少，收入在同一教育水平內(nèi)的波動(dòng)大小都是0。那么教育年限對(duì)收入的影響呢？六年教育水平的人多上一年學(xué)，年收入從1萬元變成1.2萬元，漲了兩千元；七年教育水平的人多上一年學(xué)，年收入從1.2萬元變成1.4萬元，也漲了兩千元。換句話說，不管是誰，多上一年學(xué)帶來的收入增長都是兩千元——教育年限對(duì)收入水平的影響是同質(zhì)的。但如果稍微改一下例子，令所有上過八年學(xué)的人的年收入都是1.6萬元，那么收入相對(duì)于教育年限仍是同方差的（方差是0），但教育年限對(duì)收入的影響則存在異質(zhì)性了。六年教育水平的人多上一年學(xué)，年收入仍然增加兩千元；但七年教育水平的人多上一年學(xué)，年收入增加四千元（從1.2萬元到1.6萬元）。換句話說，教育年限對(duì)收入的影響在上過六年學(xué)和上過七年學(xué)的這兩類群體中是不同的，存在異質(zhì)性。

如果Y相對(duì)于X有異方差，那么一般來說，X對(duì)Y的影響是異質(zhì)的。再來看一個(gè)簡化的例子。假如所有上過六年學(xué)的人的年收入都是1萬元；在上過七年學(xué)的人里面，一部分人（比如女性）的收入是1.1萬元，另一部分人（比如男性）的收入是1.2萬元。那么收入相對(duì)于教育年限是異方差的——在六年教育水平上，收入波動(dòng)是0；但在七年教育水平上，收入存在波動(dòng)。如果上過六年學(xué)的人再上一年學(xué)，收入可能漲一千元（對(duì)于女性，從1萬元到1.1萬元），也可能漲兩千元（對(duì)于男性，從1萬元到1.2萬元）。因此，教育年限對(duì)收入的影響可能因人而異（在上述例子中是因性別而異），存在異質(zhì)性。