之前整理過(guò)：《透析矩陣，由淺入深娓娓道來(lái)—高數(shù)-線性代數(shù)-矩陣》、《三維旋轉(zhuǎn)筆記:歐拉角/四元數(shù)/旋轉(zhuǎn)矩陣/軸角-記憶點(diǎn)整理》，這次轉(zhuǎn)載?FuckGIS的《Cesium之球心坐標(biāo)與本地坐標(biāo)》，算是線性代數(shù)在前端領(lǐng)域的的又一應(yīng)用案例吧

球心坐標(biāo)(ECEF)與本地坐標(biāo)(NEU)

假如你來(lái)到一個(gè)陌生城市，你很可能需要問(wèn)路、通常會(huì)告訴你向北走100米，右轉(zhuǎn)，向東走100米，理解起來(lái)很直觀。你給兒子買(mǎi)了一個(gè)地球儀，你從北京(39,115)轉(zhuǎn)到倫敦 (51,0)，這個(gè)動(dòng)作就可以分解為兩步：先轉(zhuǎn)到同一個(gè)經(jīng)度(39,0)，在轉(zhuǎn)到同一個(gè)維度(51,0)

這個(gè)例子體現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：不同的地理范圍下會(huì)使用更適合的坐標(biāo)系。比如前者是局部的平面坐標(biāo)，而后者是球面坐標(biāo)。因此，同一個(gè)點(diǎn)相對(duì)不同的原點(diǎn)，具有不同的相對(duì)位置：既是地球上的一個(gè)經(jīng)緯度，又是“出門(mén)右轉(zhuǎn)富士康”的這類(lèi)的位置。如圖，藍(lán)色坐標(biāo)系就是球心坐標(biāo)，而綠色坐標(biāo)系是以球面一點(diǎn)為原點(diǎn)的本地坐標(biāo)系。準(zhǔn)確講，就是該點(diǎn)對(duì)應(yīng)球的切面和法線組成的空間。

這自然引出了這個(gè)問(wèn)題：如何從以球心為原點(diǎn)的球面坐標(biāo)到以球面上任意一點(diǎn)為原點(diǎn)的局部坐標(biāo)，坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，答案就是矩陣。

坐標(biāo)系的換算，其實(shí)就是坐標(biāo)原點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)換。比如發(fā)射導(dǎo)彈，首先瞄準(zhǔn)，然后發(fā)射。

這里面就包括兩個(gè)動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)和平移。如上圖，旋轉(zhuǎn)分為兩步，經(jīng)度（Z軸）旋轉(zhuǎn)和緯度（X軸）旋轉(zhuǎn)，分別是上圖中綠色和藍(lán)色兩個(gè)過(guò)程。

如上，假設(shè)該經(jīng)緯度對(duì)應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)為(XYZ),這就是從球心原點(diǎn)到該點(diǎn)的平移，兩者結(jié)合得出矩陣的計(jì)算公式如下：

公式有了，我們把復(fù)雜的空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)為數(shù)值計(jì)算，便于抽象理解和計(jì)算機(jī)的處理。該如何理解矩陣背后的幾何意義呢？

矩陣的幾何意義

如上是兩個(gè)二元一次方式組，不難推算，X = 1，Y=2是方程組的解。該方式式對(duì)應(yīng)的矩陣形式如下：

對(duì)應(yīng)的行優(yōu)先對(duì)應(yīng)的幾何意義如下，紅線代表方程式一，藍(lán)線代表方式式二，兩條直線相交于(1,2)。

Row Picture

????? 我們?cè)诳纯戳袃?yōu)先的幾何意義，此時(shí)矩陣分解為：

????? 我們來(lái)看看其對(duì)應(yīng)的向量意義：

如上圖，分別是向量[1,2]和[-1,1]，我們已經(jīng)知道x和y的值分別為1，2。如上圖，我們把向量[-1,1]延長(zhǎng)2倍，也就是[-2,2]，然后將該向量平移到[1,2]點(diǎn)，也就是向量1的終點(diǎn)，如下圖，就是向量加的計(jì)算過(guò)程，[1,2] + [-1,1] *2 = [-1,4]，幾何意義就是在該向量偏移量的累加。

Col Picture

????? 矩陣之所以能夠解決坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題，正是因?yàn)槠銫ol Picture所體現(xiàn)的向量意義?，F(xiàn)在，我們?cè)袤w會(huì)一下之前的矩陣，是否有一點(diǎn)親切。

優(yōu)化

如上是矩陣公式推算和幾何意義的解釋?？瓷先ナ菐缀螁?wèn)題，實(shí)際上是函數(shù)問(wèn)題，這正是矩陣的價(jià)值所在。但函數(shù)問(wèn)題也有一個(gè)缺點(diǎn)，特別是矩陣，計(jì)算量太大，占用內(nèi)存也不低。大家在做數(shù)學(xué)題的時(shí)候應(yīng)該都有過(guò)類(lèi)似感覺(jué)，一個(gè)代數(shù)題好復(fù)雜，計(jì)算了半天，還容易犯錯(cuò)，好不容易才得出答案。這時(shí)老師用幾何的思路來(lái)求解，一目了然，如穿越蟲(chóng)洞般不費(fèi)吹灰之力。

回到這個(gè)問(wèn)題，我們把坐標(biāo)轉(zhuǎn)換抽象成矩陣問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的幾何意義就是該點(diǎn)的切面和法線。假設(shè)是一個(gè)圓，如下，圓心到該點(diǎn)就是其切面法線，這個(gè)向量很容易得出，通過(guò)點(diǎn)乘可以很容易的得到法線對(duì)應(yīng)該點(diǎn)的垂線。

這時(shí)，把這個(gè)圓看成一個(gè)球，兩條黑線的叉乘就可以得出另一個(gè)垂線，這就是該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的NEU坐標(biāo)的三個(gè)軸，是不是也很容易理解，而且只需要三個(gè)步驟，計(jì)算量很?。?/p>

減法求出Up向量

點(diǎn)乘求出East向量

叉乘求出North向量

這正是Cesium中提供的思路，對(duì)應(yīng)Transforms.eastNorthUpToFixedFrame方法，我就不當(dāng)搬運(yùn)工了，Over

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