第九講 一元函數(shù)積分學(xué)的幾何應(yīng)用

這一講的內(nèi)容需求強大的積分計算能力（四大基本積分法以及定積分特有的積分方法）
分為三個部分：
\begin{cases}平面圖形的面積\\旋轉(zhuǎn)體的體積\\函數(shù)的平均值\end{cases}

用定積分表達和計算平面圖形的面積

  1. 曲線y=y_1(x)與y=y_2(x)及x=a,x=b(a\lt b)所圍成的平面圖形的面積
    S=\int_a^b|y_1(x)-y_2(x)|dx

  2. 由參數(shù)方程決定的曲線的圖形面積\begin{cases}y=y(t)\\x=x(t)\end{cases}
    S=\int_b^af(x)dx=\int_{b'}^{a'}y(t)d(x(t))=\int_{b'}^{a'}y(t)x'(t)dt
    \color{red}{y=y(t)=f(x)，即y(t)和f(x)是等價的}

求擺線\begin{cases}x=a(t-\sin t)\\y=a(1-\cos t)\end{cases},(a\gt 0)一拱的面積
S=\int_0^{2\pi}a(1-\cos t)\cdot a(1-\cos t)dt=a^2\int_o^{2\pi}(1-\cos t)^2dt
=a^2\int_0^{2\pi}(1-2\cos t+\cos^2t)dt=a^2(2\pi-0+4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2})
=3\pi a^2

  1. 曲線r=r_1(\theta)與r=r_2(\theta)與兩條射線\theta=\alpha與\theta=\beta,(0\lt\beta-\alpha\le2\pi)所圍成圖形的面積
    S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta|r_1^2(\theta)-r_2^2(\theta)|d\theta

求心形線r=a(1+\cos\theta),(a\gt 0)所圍成的平面圖形的面積
\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}a^2(1+\cos \theta)^2d\theta
=\frac{a^2}{2}(\pi+0+2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2})
=\frac{3a^2\pi}{4}
S=\frac{3a^2\pi}{2}

旋轉(zhuǎn)體的體積

  1. 曲線y=y(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)與x=a,x=b圍成的旋轉(zhuǎn)體體積大小為
    V=\int_a^b\pi y^2(x)dx

  2. 曲線y_1=y_1(x)與y_2=y_2(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)與x=a,x=b圍成的旋轉(zhuǎn)體體積大小為
    V=\pi\int_a^b|y_1^2(x)-y_2^2(x)|dx

  3. 曲線y=y(x)與x=a,x=b以及x軸形成的曲邊梯形，繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積
    V=2\pi\int_a^bx|y(x)|dx

用定積分表達和計算函數(shù)的平均值

設(shè)x\in[a,b]，函數(shù)y(x)在[a,b]上的平均值為\bar{y}=\frac{1}{b-a}\int_a^by(x)dx

例題
求函數(shù)y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}在區(qū)間[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]上的平均值
\bar{y}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx
令x=\sin t
=\frac{2}{\sqrt{3}-1}\int_\frac{\pi}{6}^{\frac{\pi}{3}}\frac{\sin^2 t}{\sqrt{1-\sin^2t}}\cos tdt
=\frac{2}{\sqrt{3}-1}\int_\frac{\pi}{6}^{\frac{\pi}{3}}\sin^2 tdt
=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(1-\cos 2t)dt
=\frac{\sqrt{3}+1}{12}\pi

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者
【社區(qū)內(nèi)容提示】社區(qū)部分內(nèi)容疑似由AI輔助生成，瀏覽時請結(jié)合常識與多方信息審慎甄別。
平臺聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點，簡書系信息發(fā)布平臺，僅提供信息存儲服務(wù)。

友情鏈接更多精彩內(nèi)容