例i) f(x)＝x??2，求Sf(x)。因?yàn)镃。＝）0，1，4
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C1＝） 1， 3
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C2＝）? 2
所以，f(x)＝C。g。(x)＋C1·g1(x)＋C2·g2(x)＝g1(x)＋2·g2(x)＝x＋2·1/2·x(x－1)＝x??2
? ? ? ? ? ? Sf(x)＝C?！1＋C1·g2＋C2·g3＝g2＋2·g3＝1/2·x(x－1)＋2/6·x(x－1)(x－2)＝1/6·x(x－1)(2x－1)
如果令x＝n＋1，則可得到自然數(shù)序列｛n??2｝的求和公式Sn＝1/6·n(n＋1)(2n十1)
例ii）f(x)＝x??3，求Sf(x)
因?yàn)?，C。＝）0， 1， 8， 27
? ? ? ? ? ? ? ? ? C1＝） 1， 7， 19
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C2＝） 6， 12
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C3＝）6
f(x)＝C。g。＋C1·g1＋C2·g2＋C3·g3＝g1＋6g2＋6g3＝x??3
所以，Sf(x)＝g2＋6·g3＋6·g4＝1/4·[x(x－1)]??2
同樣令x＝n＋1，則可以得到自然數(shù)序列{n??3}的求和公式Sn＝1/4·[n(n＋1)]??2
下面我們用這種方法來(lái)求自然數(shù)序列{n??4}的求和公式Sn。首先求多項(xiàng)式f(x)＝x??4的求和公式Sf(x)
因?yàn)镃。＝）0， 1，? 16，? 81，? ? 256
? ? ? ? ? ? C1＝)? ? 1，? 15，? 65，? 175
? ? ? ? ? ? ? ? ? C2＝） 14， 50， 110
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C3＝） 36， 60
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C4＝） 24
f(x)＝g1＋14·g2＋36·g3＋24·g4＝x??4
所以，Sf(x)＝g2＋14·g3十36·g4＋24·g5＝1/2·x(x－1)＋14·1/3！·x(x－1)(x－2)＋36·1/4！·x(x－1)(x－2)(x－3)＋24·1/5！·x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝1/30·x(x－1)(6·x??3－9·x??2＋x＋1)＝1/30·x(x－1)(2x－1)(3·x??2－3x－1)
如果令x＝n＋1，則自然數(shù)序列{n??4}的求和公式Sn＝1/30·n(n＋1)(2n＋1)(3·n??2＋3n－1)
下面用數(shù)學(xué)歸納法這個(gè)求和公式
i）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1??4＝1＝右邊；
ii）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，Sk＝1/30·k(k＋1)(2k＋1)(3·k??2＋3k－1)成立；
iii）當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
右邊＝1/30·(k＋1)(k＋2)(2k＋3)(3·k??2＋9k＋5)
左邊＝Sk＋(k＋1)??4＝1/30·k(k＋1)(2k＋1)(3·k??2＋3k－1)＋(k＋1)??4
? ? ? ? ＝1/30·(k＋1)(k＋2)(2k＋3)(3·k??2＋9k＋5)
左邊＝右邊
所以對(duì)一切自然數(shù)n該求和公式成立。
利用多項(xiàng)式代數(shù)的求和方法，我們能找出一些特型自然數(shù)序列的求和公式
如，f(x)＝x(x－1)，可取C。＝0，C1＝0，C2＝2
f(x)＝2·g2
Sf(x)＝2·g3＝1/3·x(x－1)(x－2)? ? ? ? （1）
對(duì)于自然序列{an＝n(n－1)} 令(1)中x＝n＋1，則Sn＝1/3·(n－1)·n·(n＋1)
又如，f(x)＝x(x－1)(x－2)，我們?nèi)。＝0，C1＝0，C2＝0，C3＝3！得f(x)＝C3·g3
所以Sf(x）＝3！·g4＝1/4·x(x－1)(x－2)(x－3)? （2）
對(duì)于自然數(shù)序列{an＝n(n－1)(n－2)}，令（2）式中x＝n＋1，則Sn＝1/4·(n－2)(n－1)n(n＋1)
以此類(lèi)推對(duì)于f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)? ?，Sf(x)＝1/6·x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)
如果令x＝X+4，則多項(xiàng)式f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)的求和公式Sf(x)＝1/6·x(x＋1)(x＋2）(x＋3)(x＋4)(x－1）。
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