解析幾何之目~拋物線的弦和切線：2019年全國卷C題21

2019年理科數(shù)學(xué)全國卷三題21（12分）

已知曲線 C:y=\dfrac{x^2}{2},D 為直線 y=-\dfrac{1}{2} 上的動(dòng)點(diǎn)，過 D 作 C 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A,B.

（1）證明：直線 AB 過定點(diǎn)；

（2）若以 E(0,\dfrac{5}{2}) 為圓心的圓與直線 AB 相切，且切點(diǎn)為線段 AB 的中點(diǎn)，求四邊形 ADBE 的面積。

【分析】

由形入手分析，對(duì)于題設(shè)直線上的每一個(gè)點(diǎn)，可以作兩條切線。從對(duì)稱性角度分析，因?yàn)閽佄锞€和直線關(guān)于y軸對(duì)稱， 所以，弦 AB 上的這個(gè)定點(diǎn)一定在 y 軸上。直線 AB 的方程可以化為以下形式：y=kx+b

拋物線 2py=x^2 的弦的斜率與弦的中點(diǎn)存在以下聯(lián)系：p \cdot k = x_0. 此處 x_0 代表弦的中點(diǎn)的x坐標(biāo)。這是用平方差法推導(dǎo)得出的常用結(jié)論。

假如在保持弦的斜率不變的情況下，讓弦向下移動(dòng)，兩個(gè)端點(diǎn)會(huì)向中點(diǎn)靠攏，最終三點(diǎn)重合，弦就變?yōu)閽佄锞€的切線。因此，以上公式對(duì)切線同樣有效，x_0 代表切點(diǎn)的坐標(biāo)。

由形入手分析，對(duì)于 y=-\dfrac{1}{2} 上每個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可以作出兩條切線；從代數(shù)的角度，把 D 點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，可以列出一個(gè)方程（二次方程），該方程的解與兩個(gè)切點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。

有了兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以寫出弦 AB 的方程。假如解出兩點(diǎn)坐標(biāo)再寫方程，計(jì)算量較大。

應(yīng)用以上常用結(jié)論，可以根據(jù)弦 AB 的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)求出其斜率。借助韋達(dá)定理，在不解二次方程的情況下，即可求出中點(diǎn)坐標(biāo)和弦的斜率，從而得出弦 AB 的方程。

【解答第1問】

y=\dfrac{x^2}{2} \;\Rightarrow 2y=x^2

本題中，拋物線的切線的斜率與切點(diǎn)坐標(biāo)存在如下關(guān)系：k=x_0. 其中，x_0 代表切點(diǎn)坐標(biāo)。

設(shè)點(diǎn) D 坐標(biāo)為 (t,-\dfrac{1}{2})，切點(diǎn)坐標(biāo)可記作：(x_1,\dfrac{x^2_1}{2}),(x_2,\dfrac{x^2_2}{2})

兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)滿足以下方程：

\dfrac{ \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}}{x-t}=x \;\Rightarrow \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}=x^2-tx

\Rightarrow x^2-2tx-1=0

x_1+x_2=2t,\; x_1x_2=-1

x^2_1+x^2_2=(2t)^2-2 \cdot (-1)=4t^2+2

y_1+y_2=\dfrac{1}{2}(x^2_1+x^2_2)=2t^2+1

k_{AB}=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)=t

直線 AB 的點(diǎn)斜式方程為：y=\dfrac{1}{2}(2t^2+1) + t(x-t)=tx+\dfrac{1}{2}

結(jié)論：直線 AB 經(jīng)過定點(diǎn) (0,\dfrac{1}{2})

【解答第2問】

本題中，拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，所以弦 AB 的斜率一定是存在的。

當(dāng) k_{AB}=0 ，其方程為 y=\dfrac{1}{2}, 中點(diǎn)為 (0,\dfrac{1}{2}), 滿足題設(shè)要求。

此時(shí)的 A,B 坐標(biāo)為 (\pm 1, \dfrac{1}{2}), |AB|=2

S_{ADBE}=S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ABD}=3

以下考慮 k_{AB} \neq 0 的情況。

設(shè)弦 AB 中點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m, 應(yīng)用第1問結(jié)論，直線方程為：y=\dfrac{1}{2}+mx

中點(diǎn)坐標(biāo)為：M(m,\dfrac{1}{2}+m^2)

EM \perp AB \;\Rightarrow k_{EM} \cdot m=-1

\Rightarrow \dfrac{1}{2}+m^2 - \dfrac{5}{2}=-1 \;\Rightarrow m=\pm 1

滿足條件的直線 AB 的有兩條：y=\dfrac{1}{2}+x, \quad y=\dfrac{1}{2}-x

兩條直線關(guān)于 y 軸對(duì)稱，所得四邊形面積相等。

今取 m=1, 方程可化為：x-y+\dfrac{1}{2}=0, 點(diǎn) D 坐標(biāo)為 (1,-\dfrac{1}{2})

點(diǎn)E 與 AB 的距離：d_1=\sqrt{2}

點(diǎn)D 與 AB 的距離：d_2=\sqrt{2}

聯(lián)立直線與拋物線方程并消元可得：x^2-2x-1=0

x_1+x_2=2,\;x_1x_2=-1

(x_1-x_2)^2=8 \;\Rightarrow |AB|^2=8 \times (1+1)=16

\therefore |AB|=4

S_{ADBE}=S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ABD}

=\dfrac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{2} \times 2 = 4 \sqrt{2}

結(jié)論：四邊形 ADBE 的面積為 3 或 4\sqrt{2}.

【易錯(cuò)點(diǎn)】

本題中，AB 斜率為0時(shí)，滿足題設(shè)條件，但此時(shí) EM 斜率不存在，所以很容易漏解。

為避免漏解，應(yīng)從兩個(gè)方面著手：一是多畫圖，養(yǎng)成從幾何角度分析的習(xí)慣；二是針對(duì)直線與坐標(biāo)軸平行或者垂直的情況，要分情況討論，同樣要在平時(shí)的解題過程中培養(yǎng)好習(xí)慣。

【提煉與提高】

本題難度不高，卻很有典型性。韋達(dá)定理和平方差法是高中解析幾何中最重要的兩種方法，在本題解答中都用到了。

本題涉及了以下幾何對(duì)象：拋物線、圓、弦、切線、四邊形和三角形。

在本題中還可以看到以下典型的基本問題：求弦長、求點(diǎn)和直線的距離、求三角形和四邊形的面積。

從高考例題的角度，這是一個(gè)優(yōu)秀的考題；從備考的角度，值得多花時(shí)間體會(huì)。

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