邏輯回歸（logistic regression）被廣泛用于分類預(yù)測，例如：銀行通過客戶的用戶行為判斷客戶是否會流失，醫(yī)院通過病人腫瘤的形態(tài)特征判斷腫瘤是否為良性，電子郵箱通過對郵件信息的識別判斷是否為垃圾郵件等等。作為目前最流行使用的一種學(xué)習(xí)算法，邏輯回歸能非常有效地對數(shù)據(jù)進行分類。

1. 回歸假設(shè)

，其中： 代表特征向量（即影響因子向量），代表參數(shù)的轉(zhuǎn)置矩陣， 代表一個常用的邏輯函數(shù)，為S形函數(shù)（Sigmoid function），公式為：。合起來，我們可以得到邏輯回歸的假設(shè)函數(shù)為：

其中，是參數(shù)和特征的向量運算，展開就是：

1）S形函數(shù)

• 實際上，我們套用了S形函數(shù)進行邏輯回歸的計算。這是個非常經(jīng)典的分類函數(shù)，是機器學(xué)習(xí)入門必須掌握的基礎(chǔ)知識。
• 函數(shù)是一個分數(shù)，取值在0-1之間。
• 當時，；當時，；當時，。
  
  image.png
• S函數(shù)用python代碼實現(xiàn)為：

import numpy as np
def sigmoid(z):
   return 1 / (1 + np.exp(-z))

2）假設(shè)判斷

• 表示的是：根據(jù)參數(shù)得出因變量y為1的概率/可能性（estimated probablity），即
• 一般地，我們判斷：
  • ，則分類為；，則分類為。

=舉個栗子=：
假設(shè)病人患惡性腫瘤為，未患惡性腫瘤為?，F(xiàn)根據(jù)腫瘤大?。?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x_1" alt="x_1" mathimg="1">）和腫瘤顏色（）兩個特征可以得到邏輯回歸模型為：
其中，參數(shù),則模型為：

已知一名病人的腫瘤大小為1cm，腫瘤顏色分類為5，則代入模型計算得到，說明病人患惡性腫瘤的概率為0.26，概率低于0.5，由此我們將病人分類為“未患腫瘤（）”。

3）決策邊界

• 決策邊界是對分類預(yù)測的可視化。如上文所說，一般以進行分類，而此時。
  
  image.png
• 當特征變量只有1-3個時，我們可以通過散點圖畫出的決策邊界，幫助我們更好地理解分類正確率，但畫出決策邊界不是必須的。因為大部分時候，特征變量都會多于3個，這時，我們就很難畫出決策邊界，一般通過混淆矩陣判斷預(yù)測的準確度。

2.特征縮放

• 特征縮放（feature scaling）其實就是將所有的特征變量縮放到相近的尺度，以便減少計算量，更快地構(gòu)建模型，最常用的方法是通過均值歸一化（mean normalization）將所有特征的尺度都盡量縮放到-1到1之間。即：
  
• 這是模型構(gòu)建前必做的數(shù)據(jù)預(yù)處理動作，能有效減少計算量。
• 特征縮放用Python代碼實現(xiàn)為：

import numpy as np
def featurescaling(X):
  X=(X-np.average(X))/np.std(X)
  return X

3. 損失函數(shù)

• 構(gòu)建預(yù)測模型就需要定義損失函數(shù)。損失函數(shù)也叫代價函數(shù)（loss function），簡單理解，就是計算預(yù)測值與實際值之間的誤差。通過計算損失（loss），我們才能判斷模型的準確度。通用公式如下：

對于邏輯回歸，我們采用對數(shù)計算損失，其中：

image.png

• 損失函數(shù)用Python代碼實現(xiàn)為：

import numpy as np
def costfunction(theta, X, y):
  theta = np.matrix(theta)
  X = np.matrix(X)
  y = np.matrix(y)
  part_1 = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X @ theta.T)))# 引用了sigmoid函數(shù)
  part_2 = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X @ theta.T)))
  return np.sum(part_1 - part_2) / (len(X))

4.優(yōu)化算法：梯度下降

• 既然我們通過損失函數(shù)計算了損失，那么為了減少損失，我們就需要對參數(shù)進行不斷的優(yōu)化。
• 梯度下降（gradient descent）是一個用來求函數(shù)最小值的算法，非常強大可靠，主要是通過代價函數(shù)的導(dǎo)數(shù)更新優(yōu)化參數(shù)，直至達到代價函數(shù)的局部最小值，通用公式為：
  
  根據(jù)微積分知識，簡化后可以得到
• 控制我們按多大的幅度去更新參數(shù)。如果a太小，梯度下降計算慢；如果a太大，那么梯度下降可能會越過最低點，導(dǎo)致無法收斂，甚至發(fā)散。
• 梯度下降用Python代碼實現(xiàn)為：

def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):#iters表示更新迭代次數(shù)
    theta = np.matrix(theta)
    X = np.matrix(X)
    y = np.matrix(y)
    
    temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))# 設(shè)置temp作為theta的轉(zhuǎn)換
    parameters = int(theta.ravel().shape[1]) # 計算參數(shù)的數(shù)量
    cost = np.zeros(iters)
    
    # 設(shè)置迭代循環(huán)
    for i in range(iters): 
        error = sigmoid(X @ theta.T) - y # 引用sigmoid函數(shù)
        
        for j in range(parameters):
            term = np.multiply(error, X[:,j])
            temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))
            
        theta = temp
        cost[i] = costfunction(theta, X, y) # 引用costfunction函數(shù)
        
    return theta, cost

• 除了梯度下降算法以外，還有很多其他更高級的優(yōu)化算法，本文就不多贅述了。

4. 模板代碼

• 了解了邏輯回歸的數(shù)學(xué)知識之后，實際工作中，我們不需要自己定義損失函數(shù)和優(yōu)化算法，有成熟的機器學(xué)習(xí)庫可供我們直接調(diào)用。比如，sklearn中邏輯回歸函數(shù)可調(diào)用的優(yōu)化算法就有：liblinear， newton-cg， lbfgs， sag 和 saga，默認使用lbfgs。
• 下面是調(diào)用sklearn庫的模板代碼：

# 1.創(chuàng)建X和y
X = df.iloc[:,:-1].values # 需根據(jù)實際情況更改
y = df.iloc[:,-1].values # 需根據(jù)實際情況更改

# 2.將數(shù)據(jù)分成訓(xùn)練集和測試集
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2,random_state=0)

# 3.特征縮放（Feature Scaling）
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
sc_X = StandardScaler()
X_train = sc_X.fit_transform(X_train)#轉(zhuǎn)換變量
X_test = sc_X.fit_transform(X_test)#轉(zhuǎn)換變量

# 4.利用邏輯回歸進行分類
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
classifier = LogisticRegression(random_state=0)
classifier.fit(X_train,y_train)

# 5.預(yù)測測試集中的y值
y_pred = classifier.predict(X_test)

# 6.用混淆矩陣檢測準確率
from sklearn.metrics import confusion_matrix
cm = confusion_matrix(y_test,y_pred)

如有錯誤，請指正。