蜜桃久久一区二区三区,国产精品乱码久久

對(duì)原文進(jìn)行了重新整理排版:
轉(zhuǎn)自知乎長(zhǎng)軀鬼俠的專欄,(根據(jù)我的推測(cè)作者本科是清華大學(xué)電子工程系,現(xiàn)在卡內(nèi)基梅隆大學(xué)(世界第一CS大學(xué))計(jì)算機(jī)工程學(xué)博士生),在此獻(xiàn)上我的膝蓋.
原文地址:https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748

正文:

矩陣求導(dǎo)的技術(shù)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)、控制論、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。鑒于我看過的一些資料或言之不詳、或繁亂無緒，本文來做個(gè)科普，分作兩篇，上篇講標(biāo)量對(duì)矩陣的求導(dǎo)術(shù)，下篇講矩陣對(duì)矩陣的求導(dǎo)術(shù)。本文使用小寫字母x表示標(biāo)量，粗體小寫字母 $x$ 表示（列）向量，大寫字母 $X$ 表示矩陣。

首先來琢磨一下定義，標(biāo)量f對(duì)矩陣X的導(dǎo)數(shù)，定義為

$\frac{\partial f}{\partial X} = \left[\frac{\partial f }{\partial X_{ij}}\right]$

即f對(duì) $X$ 逐元素求導(dǎo)排成與 $X$ 尺寸相同的矩陣。然而，這個(gè)定義在計(jì)算中并不好用，實(shí)用上的原因是對(duì)函數(shù)較復(fù)雜的情形難以逐元素求導(dǎo)；哲理上的原因是逐元素求導(dǎo)破壞了整體性。試想，為何要將f看做矩陣 $X$ 而不是各元素 $X_{ij}$ 的函數(shù)呢？答案是用矩陣運(yùn)算更整潔。所以在求導(dǎo)時(shí)不宜拆開矩陣，而是要找一個(gè)從整體出發(fā)的算法。

為此，我們來回顧，一元微積分中的導(dǎo)數(shù)（標(biāo)量對(duì)標(biāo)量的導(dǎo)數(shù)）與微分有聯(lián)系：

$df = f'(x)dx$

多元微積分中的梯度（標(biāo)量對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)）也與微分有聯(lián)系：

$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$

這里第一個(gè)等號(hào)是全微分公式，第二個(gè)等號(hào)表達(dá)了梯度與微分的聯(lián)系：全微分 $df$ 是梯度向量 $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}(n×1)$ 與微分向量 $d\boldsymbol{x}(n×1)$ 的內(nèi)積

受此啟發(fā)，我們將矩陣導(dǎo)數(shù)與微分建立聯(lián)系：

$df = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_{ij}}dX_{ij} = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$

其中 $tr$ 代表跡(trace)是方陣對(duì)角線元素之和，滿足性質(zhì)：對(duì)尺寸相同的矩陣A,B， $\text{tr}(A^TB) = \sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$ ，即 $\text{tr}(A^TB)$ 是矩陣 $A$ , $B$ 的內(nèi)積。與梯度相似，這里第一個(gè)等號(hào)是全微分公式，第二個(gè)等號(hào)表達(dá)了矩陣導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系：全微分 $df$ 是導(dǎo)數(shù) $\frac{\partial f}{\partial X}(m×n)$ 與微分矩陣 $dX(m×n)$ 的內(nèi)積。

運(yùn)算法則

然后來建立運(yùn)算法則?；叵胗龅捷^復(fù)雜的一元函數(shù)如 $f = \log(2+\sin x)e^{\sqrt{x}}$ ，我們是如何求導(dǎo)的呢？通常不是從定義開始求極限，而是先建立了初等函數(shù)求導(dǎo)和四則運(yùn)算、復(fù)合等法則，再來運(yùn)用這些法則。故而，我們來創(chuàng)立常用的矩陣微分的運(yùn)算法則：

加減法： $d(X\pm Y) = dX \pm dY$ ；矩陣乘法： $d(XY) = (dX)Y + X (dY)$ ；轉(zhuǎn)置： $d(X^T) = (dX)^T$ ；跡： $d\text{tr}(X) = \text{tr}(dX)$ 。
逆： $dX^{-1} = -X^{-1}dX X^{-1}$ 。此式可在 $XX^{-1}=I$ 兩側(cè)求微分來證明。
行列式： $d|X| = \text{tr}(X^{\#}dX)$ ，其中 $X^{\#}$ 表示 $X$ 的伴隨矩陣，在 $X$ 可逆時(shí)又可以寫作 $d|X|= |X|\text{tr}(X^{-1}dX)$ 。此式可用Laplace展開來證明，詳見張賢達(dá)《矩陣分析與應(yīng)用》第279頁。
逐元素乘法： $d(X\odot Y) = dX\odot Y + X\odot dY$ ， $\odot$ 表示尺寸相同的矩陣 $X$ , $Y$ 逐元素相乘。
逐元素函數(shù)： $d\sigma(X) = \sigma'(X)\odot dX$ ， $\sigma(X) = \left[\sigma(X_{ij})\right]$ 是逐元素標(biāo)量函數(shù)運(yùn)算， $\sigma'(X)=[\sigma'(X_{ij})]$ 是逐元素求導(dǎo)數(shù)。舉個(gè)例子，

$X=\left[\begin{matrix}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22}\end{matrix}\right], d \sin(X) = \left[\begin{matrix}\cos x_{11} dx_{11} & \cos x_{12} d x_{12}\\ \cos x_{21} d x_{21}& \cos x_{22} dx_{22}\end{matrix}\right] = \cos(X)\odot dX$

跡技巧

我們?cè)噲D利用矩陣導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，在求出左側(cè)的微分 $df$ 后，該如何寫成右側(cè)的形式并得到導(dǎo)數(shù)呢？這需要一些跡技巧(trace trick)：

標(biāo)量套上跡： $a = \text{tr}(a)$
轉(zhuǎn)置： $\mathrm{tr}(A^T) = \mathrm{tr}(A)$ 。
線性： $\text{tr}(A\pm B) = \text{tr}(A)\pm \text{tr}(B)$ 。
矩陣乘法交換： $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ ，其中 $A$ 與 $B^T$ 尺寸相同。兩側(cè)都等于 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}$ 。
矩陣乘法/逐元素乘法交換： $\text{tr}(A^T(B\odot C)) = \text{tr}((A\odot B)^TC)$ ，其中 $A$ , $B$ , $C$ 尺寸相同。兩側(cè)都等于 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}$ 。

觀察一下可以斷言，若標(biāo)量函數(shù)f是矩陣 $X$ 經(jīng)加減乘法、逆、行列式、逐元素函數(shù)等運(yùn)算構(gòu)成，則使用相應(yīng)的運(yùn)算法則對(duì)f求微分，再使用跡技巧給 $df$ 套上跡并將其它項(xiàng)交換至 $dX$ 左側(cè)，對(duì)照導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，即能得到導(dǎo)數(shù)。

特別地，若矩陣退化為向量，對(duì)照導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系 $df = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$ ，即能得到導(dǎo)數(shù)。

在建立法則的最后，來談一談復(fù)合：假設(shè)已求得 $\frac{\partial f}{\partial Y}$ ，而 $Y$ 是 $X$ 的函數(shù)，如何求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 呢？在微積分中有標(biāo)量求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}$ ，但這里我們不能隨意沿用標(biāo)量的鏈?zhǔn)椒▌t，因?yàn)榫仃噷?duì)矩陣的導(dǎo)數(shù) $\frac{\partial Y}{\partial X}$ 截至目前仍是未定義的。于是我們繼續(xù)追本溯源，鏈?zhǔn)椒▌t是從何而來？源頭仍然是微分。我們直接從微分入手建立復(fù)合法則：先寫出 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right)$ ，再將 $dY$ 用 $dX$ 表示出來代入，并使用跡技巧將其他項(xiàng)交換至 $dX$ 左側(cè)，即可得到 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。

最常見的情形是 $Y = AXB$ ，此時(shí)

$df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T AdXB\right) = \text{tr}\left(B\frac{\partial f}{\partial Y}^T AdX\right) = \text{tr}\left((A^T\frac{\partial f}{\partial Y}B^T)^T dX\right)$

可得到

$\frac{\partial f}{\partial X}=A^T\frac{\partial f}{\partial Y}B^T$ 。

例子

接下來演示一些算例。特別提醒要依據(jù)已經(jīng)建立的運(yùn)算法則來計(jì)算，不能隨意套用微積分中標(biāo)量導(dǎo)數(shù)的結(jié)論，比如認(rèn)為AX對(duì)X的導(dǎo)數(shù)為A，這是沒有根據(jù)、意義不明的。

例1：

$f = \boldsymbol{a}^T X\boldsymbol$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。其中 $\boldsymbol{a}$ 是 $m\times 1$ 列向量， $X$ 是 $m\times n$ 矩陣 $，\boldsymbol$ 是 $n×1$ 列向量，f是標(biāo)量。

解：

先使用矩陣乘法法則求微分， $df = d\boldsymbol{a}^TX\boldsymbol+\boldsymbol{a}^TdX\boldsymbol+\boldsymbol{a}^TXd\boldsymbol$ ，注意這里的 $\boldsymbol{a}$ , $\boldsymbol$ 是常量， $d\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$ , $d\boldsymbol = \boldsymbol{0}$ ，得到： $df = \boldsymbol{a}^T dX\boldsymbol$ 。

由于 $df$ 是標(biāo)量，它的跡等于自身， $df = \text{tr}(df)$ ，套上跡并做矩陣乘法交換： $df = \text{tr}(\boldsymbol{a}^TdX\boldsymbol) = \text{tr}(\boldsymbol\boldsymbol{a}^TdX)$ ，注意這里我們根據(jù) $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ 交換了 $\boldsymbol{a}^TdX$ 與 $\boldsymbol$ 。

對(duì)照導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，得到 $\frac{\partial f}{\partial X} = (\boldsymbol\boldsymbol{a}^T)^T= \boldsymbol{a}\boldsymbol^T$ 。

注意：這里不能用 $\frac{\partial f}{\partial X} =\boldsymbol{a}^T \frac{\partial X}{\partial X}\boldsymbol=?$ ，導(dǎo)數(shù)與矩陣乘法的交換是不合法則的運(yùn)算（而微分是合法的）。有些資料在計(jì)算矩陣導(dǎo)數(shù)時(shí)，會(huì)略過求微分這一步，這是邏輯上解釋不通的。

例2：

$f = \boldsymbol{a}^T \exp(X\boldsymbol)$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。其中 $\boldsymbol{a}$ 是 $m×1$ 列向量， $X$ 是 $m\times n$ 矩陣， $\boldsymbol$ 是 $n×1$ 列向量， $exp$ 表示逐元素求指數(shù)，f是標(biāo)量。

解：

先使用矩陣乘法、逐元素函數(shù)法則求微分： $df = \boldsymbol{a}^T(\exp(X\boldsymbol)\odot (dX\boldsymbol))$

再套上跡并做交換：

$df = \text{tr}( \boldsymbol{a}^T(\exp(X\boldsymbol)\odot (dX\boldsymbol))) =\text{tr}((\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol))^TdX \boldsymbol) = \text{tr}(\boldsymbol(\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol))^TdX)$

注意這里我們先根據(jù) $\text{tr}(A^T(B\odot C)) = \text{tr}((A\odot B)^TC)$ 交換了 $\boldsymbol{a}$ 、 $\exp(X\boldsymbol)$ 與 $dX\boldsymbol$ ，再根據(jù) $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ 交換了 $(\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol))^TdX$ 與 $\boldsymbol$ 。

對(duì)照導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，得到

$\frac{\partial f}{\partial X} = (\boldsymbol(\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol))^T)^T= (\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol))\boldsymbol^T$

例3:

$f = \text{tr}(Y^T M Y), Y = \sigma(WX)$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。其中 $W$ 是 $l×m$ 列向量， $X$ 是 $m\times n$ 矩陣， $Y$ 是 $l\times n$ 矩陣， $M$ 是 $l×l$ 對(duì)稱矩陣， $\sigma$ 是逐元素函數(shù)，f是標(biāo)量。

解：

先求 $\frac{\partial f}{\partial Y}$ ，求微分，使用矩陣乘法、轉(zhuǎn)置法則： $df = \text{tr}((dY)^TMY) + \text{tr}(Y^TMdY) = \text{tr}(Y^TM^TdY) + \text{tr}(Y^TMdY) = \text{tr}(Y^T(M+M^T)dY)$ ，對(duì)照導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系，得到 $\frac{\partial f}{\partial Y}=(M+M^T)Y = 2MY$ ，這里 $M$ 是對(duì)稱矩陣。

為求 $\frac{\partial f}{\partial X}，寫出df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right)$ ，再將 $dY$ 用 $dX$ 表示出來代入，并使用矩陣乘法/逐元素乘法交換： $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T (\sigma'(WX)\odot (WdX))\right) = \text{tr}\left(\left(\frac{\partial f}{\partial Y} \odot \sigma'(WX)\right)^T W dX\right)$ ，對(duì)照導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系，得到 $\frac{\partial f}{\partial X}=W^T \left(\frac{\partial f}{\partial Y}\odot \sigma'(WX)\right)=W^T((2M\sigma(WX))\odot\sigma'(WX))$ 。

例4【線性回歸】：

$l = \|X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y}\|^2$ ，求 $\boldsymbol{w}$ 的最小二乘估計(jì)，即求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}$ 的零點(diǎn)。其中 $\boldsymbol{y}$ 是 $m×1$ 列向量， $X$ 是 $m\times n$ 矩陣， $\boldsymbol{w}$ 是 $n×1$ 列向量，l是標(biāo)量。

解：

這是標(biāo)量對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)，不過可以把向量看做矩陣的特例。

先將向量模平方改寫成向量與自身的內(nèi)積： $l = (X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})^T(X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})$

求微分，使用矩陣乘法、轉(zhuǎn)置等法則：

$dl = (Xd\boldsymbol{w})^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})+(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^T(Xd\boldsymbol{w}) = 2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TXd\boldsymbol{w}。$

對(duì)照導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系 $dl = \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}^Td\boldsymbol{w}$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}= (2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TX)^T = 2X^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})$ 。

$\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}的零點(diǎn)即\boldsymbol{w}$ 的最小二乘估計(jì)為 $\boldsymbol{w} = (X^TX)^{-1}X^T\boldsymbol{y}$ 。

例5【方差的最大似然估計(jì)】：

樣本 $\boldsymbol{x}_1,\dots, \boldsymbol{x}_N \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$ ，求方差 $\Sigma$ 的最大似然估計(jì)。

寫成數(shù)學(xué)式是： $l = \log|\Sigma|+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ ，求 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}$ 的零點(diǎn)。其中 $\boldsymbol{x}_i$ 是 $m\times 1$ 列向量， $\bar{\boldsymbol{x}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \boldsymbol{x}_i$ 是樣本均值， $\Sigma是m\times m$ 對(duì)稱正定矩陣，l是標(biāo)量， $log$ 表示自然對(duì)數(shù)。

解：
首先求微分，使用矩陣乘法、行列式、逆等運(yùn)算法則，

第一項(xiàng)是 $d\log|\Sigma| = |\Sigma|^{-1}d|\Sigma| = \text{tr}(\Sigma^{-1}d\Sigma)$
第二項(xiàng)是 $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^Td\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}}) = -\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ 。

再給第二項(xiàng)套上跡做交換：
$\text{tr}\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})\right)$ = $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \text{tr}((\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1} d\Sigma \Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}}))$ = $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\text{tr}\left(\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\right)=\text{tr}(\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1}d\Sigma)$ ，

其中先交換跡與求和，然后將 $\Sigma^{-1} (\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ 交換到左邊，最后再交換跡與求和，并定義 $S = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T$ 為樣本方差矩陣。
得到 $dl = \text{tr}\left(\left(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1}\right)d\Sigma\right)$ 。對(duì)照導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系，有 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}=(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1})^T$ ，其零點(diǎn)即 $\Sigma$ 的最大似然估計(jì)為 $\Sigma = S$ 。

例6【多元logistic回歸】：

$l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W\boldsymbol{x})$ ，求 $\frac{\partial l}{\partial W}$ 。其中 $\boldsymbol{y}$ 是除一個(gè)元素為1外其它元素為0的 $m×1$ 列向量， $W$ 是 $m\times n$ 矩陣， $\boldsymbol{x}$ 是 $n×1$ 列向量，l是標(biāo)量； $log$ 表示自然對(duì)數(shù)， $\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}$ ，其中 $\exp(\boldsymbol{a})$ 表示逐元素求指數(shù)， $\boldsymbol{1}$ 代表全1向量。

解1：

首先將softmax函數(shù)代入并寫成 $l = -\boldsymbol{y}^T \left(\log (\exp(W\boldsymbol{x}))-\boldsymbol{1}\log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))\right)$ = $-\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))$ ，這里要注意逐元素log滿足等式 $\log(\boldsymbol{u}/c) = \log(\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{1}\log(c)$ ，以及 $\boldsymbol{y}$ 滿足 $\boldsymbol{y}^T \boldsymbol{1} = 1$ 。

求微分，使用矩陣乘法、逐元素函數(shù)等法則： $dl =- \boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right)}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}$ 。

再套上跡并做交換，注意可化簡(jiǎn) $\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right) = \exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}$ ，這是根據(jù)等式 $\boldsymbol{1}^T (\boldsymbol{u}\odot \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{u}^T \boldsymbol{v}$ ，

故 $dl = \text{tr}\left(-\boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}\right)$
= $\text{tr}(-\boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\text{softmax}(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x})$
= $\text{tr}(\boldsymbol{x}(\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})^TdW)$ 。

對(duì)照導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系，得到 $\frac{\partial l}{\partial W}= (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T$ 。

解2：

定義 $\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}$ ，則 $l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a})$ ，先同上求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}} = \text{softmax}(\boldsymbol{a})-\boldsymbol{y}$ ，再利用復(fù)合法則： $dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^Td\boldsymbol{a}\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW \boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW\right)$ ，
得到 $\frac{\partial l}{\partial W}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}}\boldsymbol{x}^T$ 。

最后一例留給經(jīng)典的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的求導(dǎo)術(shù)是學(xué)術(shù)史上的重要成果，還有個(gè)專門的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推導(dǎo)BP算法時(shí)也會(huì)頗費(fèi)一番腦筋，事實(shí)上使用矩陣求導(dǎo)術(shù)來推導(dǎo)并不復(fù)雜。為簡(jiǎn)化起見，我們推導(dǎo)二層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的BP算法。

例7【二層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)】：

$l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W_2\sigma(W_1\boldsymbol{x}))$ ，求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}$ 和 $\frac{\partial l}{\partial W_2}$ 。其中 $\boldsymbol{y}$ 是除一個(gè)元素為1外其它元素為0的的 $m×1$ 列向量， $W_2$ 是 $m\times p$ 矩陣， $W_1$ 是 $p \times n$ 矩陣， $\boldsymbol{x}$ 是 $n×1$ 列向量，l是標(biāo)量； $log$ 表示自然對(duì)數(shù)， $\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}$ 同上， $\sigma$ 是逐元素sigmoid函數(shù) $\sigma(a) = \frac{1}{1+\exp(-a)}$ 。

解：

定義 $\boldsymbol{a}_1=W_1\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{h}_1 = \sigma(\boldsymbol{a}_1)$ ， $\boldsymbol{a}_2 = W_2 \boldsymbol{h}_1$ ，則 $l =-\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)$ 。在前例中已求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2} = \text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)-\boldsymbol{y}$ 。

使用復(fù)合法則，
$dl$ = $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^Td\boldsymbol{a}_2\right)$
= $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TdW_2 \boldsymbol{h}_1\right) + \underbrace{ \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TW_2 d\boldsymbol{h}_1\right)}_{dl_2}$ ，

使用矩陣乘法交換的跡技巧從第一項(xiàng)得到 $\frac{\partial l}{\partial W_2}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}\boldsymbol{h}_1^T$ ，從第二項(xiàng)得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_1}$ = $W_2^T\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}$ 。

接下來對(duì)第二項(xiàng)繼續(xù)使用復(fù)合法則來求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}$ ，并利用矩陣乘法和逐元素乘法交換的跡技巧：

$dl_2$ = $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^Td\boldsymbol{h}_1\right)$ = $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^T(\sigma'(\boldsymbol{a}_1)\odot d\boldsymbol{a}_1)\right)$ = $\text{tr}\left(\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot \sigma'(\boldsymbol{a}_1)\right)^Td\boldsymbol{a}_1\right)$ ，

得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot\sigma'(\boldsymbol{a}_1)$ 。為求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}$ ，再用一次復(fù)合法則： $dl_2 = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^Td\boldsymbol{a}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\right)$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial W_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}\boldsymbol{x}^T$ 。

推廣：

樣本 $(\boldsymbol{x}_1, y_1), \dots, (\boldsymbol{x}_N,y_N)$ ， $l = -\sum_{i=1}^N \boldsymbol{y}_i^T\log\text{softmax}(W_2\sigma(W_1\boldsymbol{x}_i + \boldsymbol_1) + \boldsymbol_2)$ ，其中 $\boldsymbol_1$ 是 $p \times 1$ 列向量， $\boldsymbol_2$ 是 $m\times 1$ 列向量，其余定義同上。

解1：
定義 $\boldsymbol{a}_{1,i} = W_1 \boldsymbol{x}_i + \boldsymbol_1$ ， $\boldsymbol{h}_{1,i} = \sigma(\boldsymbol{a}_{1,i})$ ， $\boldsymbol{a}_{2,i} = W_2\boldsymbol{h}_{1,i} + \boldsymbol_2$ ，則 $l = -\sum_{i=1}^N \boldsymbol{y}_i^T \log \text{softmax}(\boldsymbol{a}_{2,i})$ 。

先同上可求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2,i}} = \text{softmax}(\boldsymbol{a}_{2,i})-\boldsymbol{y}_i$ 。

使用復(fù)合法則， $dl$ = $\text{tr}\left(\sum_{i=1}^N\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2,i}}^T d \boldsymbol{a}_{2,i}\right)$ = $\text{tr}\left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2,i}}^T dW_2 \boldsymbol{h}_{1,i}\right) + \underbrace{\text{tr}\left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2,i}}^T W_2 d\boldsymbol{h}_{1,i}\right)}_{dl_2} + \text{tr}\left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2,i}}^T d \boldsymbol_2\right)$ ，

從第一項(xiàng)得到得到 $\frac{\partial l}{\partial W_2}= \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{2,i}}\boldsymbol{h}_{1,i}^T$ ，

從第二項(xiàng)得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_{1,i}}= W_2^T\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{2,i}}$ ，

從第三項(xiàng)得到到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol_2}= \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{2,i}}$ 。

接下來對(duì)第二項(xiàng)繼續(xù)使用復(fù)合法則，得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{1,i}}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_{1,i}}\odot\sigma'(\boldsymbol{a}_{1,i})$ 。

為求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}, \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol_1}$ ，

再用一次復(fù)合法則： $dl_2 = \text{tr}\left(\sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{1,i}}^Td\boldsymbol{a}_{1,i}\right)$ = $\text{tr}\left(\sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{1,i}}^TdW_1\boldsymbol{x}_i\right) + \text{tr}\left(\sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{1,i}}^Td\boldsymbol_1\right)$ ，

得到 $\frac{\partial l}{\partial W_1}= \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{1,i}}\boldsymbol{x}_i^T$ ， $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol_1}= \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{1,i}}$ 。

解2：

可以用矩陣來表示N個(gè)樣本，以簡(jiǎn)化形式。
定義 $X = [\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_N]$ ， $A_1 = [\boldsymbol{a}_{1,1},\cdots,\boldsymbol{a}_{1,N}] =W_1 X + \boldsymbol_1 \boldsymbol{1}^T$ ， $H_1 = [\boldsymbol{h}_{1,1}, \cdots, \boldsymbol{h}_{1,N}] = \sigma(A_1)$ ， $A_2 = [\boldsymbol{a}_{2,1},\cdots,\boldsymbol{a}_{2,N}] = W_2 H_1 + \boldsymbol_2 \boldsymbol{1}^T$ ，注意這里使用全1向量來擴(kuò)展維度。先同上求出 $\frac{\partial l}{\partial A_2} = [\text{softmax}(\boldsymbol{a}_{2,1})-\boldsymbol{y}_1, \cdots, \text{softmax}(\boldsymbol{a}_{2,N})-\boldsymbol{y}_N]$ 。

使用復(fù)合法則， $dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_2}^T d A_2\right)$ = $\text{tr}\left( \frac{\partial l}{\partial A_2}^T dW_2 H_1 \right) + \underbrace{\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_2}^T W_2 d H_1\right)}_{dl_2} + \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_2}^T d \boldsymbol_2 \boldsymbol{1}^T\right)$ ，

從第一項(xiàng)得到 $\frac{\partial l}{\partial W_2}= \frac{\partial l}{\partial A_2}H_1^T$ ，
從第二項(xiàng)得到 $\frac{\partial l}{\partial H_1}= W_2^T\frac{\partial l}{\partial A_{2}}$ ，
從第三項(xiàng)得到到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol_2}= \frac{\partial l}{\partial A_2}\boldsymbol{1}$ 。

接下來對(duì)第二項(xiàng)繼續(xù)使用復(fù)合法則，得到 $\frac{\partial l}{\partial A_1}= \frac{\partial l}{\partial H_1}\odot\sigma'(A_1)$ 。

為求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}$ , $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol_1}$ ，再用一次復(fù)合法則： $dl_2 = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_1}^TdA_1\right)$ = $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_1}^TdW_1X\right) + \text{tr}\left( \frac{\partial l}{\partial A_1}^Td\boldsymbol_1 \boldsymbol{1}^T\right)$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial W_1}= \frac{\partial l}{\partial A_1}X^T$ ， $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol_1}= \frac{\partial l}{\partial A_1}\boldsymbol{1}$ 。

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九欧美,1769亚洲,黄色成人av

矩陣求導(dǎo)術(shù)(上)

矩陣求導(dǎo)術(shù)(上)

正文:

運(yùn)算法則

跡技巧

例子

例1：

例2：

例3:

例4【線性回歸】：

例5【方差的最大似然估計(jì)】：

例6【多元logistic回歸】：

例7【二層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)】：

推廣：

友情鏈接更多精彩內(nèi)容

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九 欧美,1769亚洲,黄色成人av

矩陣求導(dǎo)術(shù)(上)

正文:

運(yùn)算法則

跡技巧

例子

例1：

例2：

例3:

例4【線性回歸】：

例5【方差的最大似然估計(jì)】：

例6【多元logistic回歸】：

例7【二層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)】：

推廣：

友情鏈接更多精彩內(nèi)容

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九欧美,1769亚洲,黄色成人av