自然常數(shù)e的由來

大家好，我是 e，這是我的第一篇文章，此刻我的內(nèi)心是興奮的！一位年輕的作家即將誕生（自戀一下）?。?！話不多說，開始正文。

開篇先講兩個例子

蘇格拉底的麥穗

柏拉圖問蘇格拉底，什么是愛情。蘇格拉底說，這樣吧，你去麥田里，不要回頭，一直往前走，把你遇到的、最大的那棵麥穗摘下來、拿給我。后面的事，大家都知道了：柏拉圖瞻前顧后，總覺得后面還有更好的，結(jié)果兩手空空、一棵麥穗也沒有得到。

除此之外，梅里爾·弗勒德（Merrill Flood）【提出過博弈論中的經(jīng)典問題：囚徒困境】 也提出過一個類似的問題：假設(shè)有一系列的求婚者，分別記為1、2、3、4、5……N，你一次只能面試其中的一個，每次都必須做出決定，接受或者拒絕；而這些求婚者有好有壞，那么，怎么才能以最大概率選中那個最好的呢？

在數(shù)學(xué)中，有一個被稱為自然常數(shù)（又叫歐拉數(shù)）的常數(shù)。之所以把這個數(shù)稱之為自然常數(shù)，是因為自然界中的不少規(guī)律與該數(shù)有關(guān)。不過，這個數(shù)最初不是在自然界中發(fā)現(xiàn)的，而是與銀行的復(fù)利有關(guān)。

想象一下，如果把錢存在年利率為100%的銀行中，一年之后的錢將會增加為原來的(1+1)^1=2倍。假如銀行不用這種方式來結(jié)算利息，而是換成六個月算一次，但半年的利率為之前年利率的一半，也就是50%，那么，一年后的錢將會增加為原來的(1+0.5)^2=2.25倍。同樣的道理，如果換成每日，日利率為1/365，則一年后的錢將會增加為原來的(1+1/365)^365≈2.71倍。

也就是說，隨著結(jié)算時間的縮短，最終收益會越來越多。倘若結(jié)算時間無限短，那么，最終的收益會變成無窮多嗎？這個問題等同于求解下面的這個極限：

經(jīng)由嚴格的數(shù)學(xué)證明可知，上述極限是存在的，它不是無限的，而是一個常數(shù)，這個常數(shù)就是現(xiàn)在所說的自然常數(shù)e：

另據(jù)證明，自然常數(shù)e是一個無理數(shù)，所以它是一個無限不循環(huán)的小數(shù)，具體數(shù)值為2.71828……。

根據(jù)以e為底的指數(shù)函數(shù)的泰勒級數(shù)展開，還能推導(dǎo)出e的另一個表達式：

可以看到，自然數(shù)階乘的倒數(shù)之和正是e，所以這能體現(xiàn)自然常數(shù)的“自然”之處。

?在自然界中，有不少規(guī)律與e有關(guān)，例如，生物的生長、繁殖和衰變規(guī)律，這些過程都是無限連續(xù)的，類似于銀行的無限復(fù)利。

生活中的數(shù)學(xué)

似乎許多人不喜歡數(shù)學(xué)。許多學(xué)生常常會問這樣抱怨：“我為什么要學(xué)這些東西?平時又用不上?！钡聦嵣?，作為一個成年人，了解一些基本的數(shù)學(xué)概念對日常生活是至關(guān)重要的。我們在清點現(xiàn)金時，計算房貸時，填寫納稅申報表時，都需要數(shù)學(xué)。事實上，許多金融事務(wù)在過去都促進了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。例如，負數(shù)最初主要是用來代表債務(wù)的。

生活中，我們還經(jīng)常提到指數(shù)增長這個數(shù)學(xué)概念。指數(shù)增長其實指的是這樣一種增長：一個系統(tǒng)在一段時間之后會數(shù)量翻倍。當然，數(shù)量可以翻兩倍，翻三倍，翻n倍。指數(shù)增長的一個例子就是細菌的繁殖問題。如果培養(yǎng)皿中細菌每隔一段時間數(shù)量翻倍，并且繁殖沒有任何限制條件的話，那么它們的數(shù)量會指數(shù)增長下去。

指數(shù)增長的另一個熟悉的例子是摩爾定律——一個由英特爾創(chuàng)始人之一戈登·摩爾的名字命名的規(guī)律。1965年，摩爾注意到，晶體管的體積迅速減少，這意味著電腦芯片可以裝下更多的晶體管，于是他預(yù)測，芯片的處理能力大約每兩年就會翻一番。這種指數(shù)增長已經(jīng)持續(xù)了幾十年了，但許多人認為隨著技術(shù)的限制，摩爾定律過不多久就會失效。

e的魔力

現(xiàn)在，我們來假設(shè)有一家銀行的年利率是100%。如果計算利息的周期(計息期)是1年的話，那么到了年底，100元就會變?yōu)?00元。如果你幸運地找到這家銀行并存了些錢的話，那么你的錢就會指數(shù)增長下去。

如果計息期變短了，你就會獲得更多的利息。比如，那家銀行的計息期是半年的話，那么6個月之后，會有50元算入本金中，然后在此基礎(chǔ)上計算下一期的利息。這樣，到了年底時，除了原來的本金產(chǎn)生的100元利息以外，還有50元經(jīng)過半年產(chǎn)生的利息，為25元。這樣，最終銀行返還客戶的本息為225元，而不是200元。

如果計息期是一個季度的話，那么前面季度的利息又可產(chǎn)生利息，年底最終的本息為244年。很顯然，計息期越短，最終的本息就越多。但隨著你把計息的時間縮得越來越短，那么增加的利息會越來越少。如果計息期是1天的話，那么最終的本息將是271元。也就是說，最終的本息是原來本金的2.71倍。

于是，就有了一個問題：如果利息每一分鐘、每一秒鐘，甚至更短的時間都計算在內(nèi)，最終的本息是原來的多少倍呢?過去，數(shù)學(xué)家們一直沒搞清楚這個問題，直到17世紀才搞清楚。1683年，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利找到了答案：2.7182818……這個數(shù)與π類似，是一個無理數(shù)。數(shù)學(xué)家們把這個數(shù)稱為自然常數(shù)，并用字母e來代表它。

這種分分秒秒都把利息算在內(nèi)的增長模式，被稱為連續(xù)型復(fù)合增長，只要是這種增長模式，e便會出現(xiàn)。數(shù)學(xué)家們還發(fā)現(xiàn)，e是數(shù)學(xué)中最為基本的一個常數(shù)?，F(xiàn)在，會計學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)、統(tǒng)計和概率論等許多學(xué)科中，都有它的身影。

找到真愛

關(guān)于e的應(yīng)用，最有趣的例子就是秘書問題。想象有100個人應(yīng)聘一份秘書工作，他們按照隨機順序接受面試，而面試官每次面試一人，面試過后便要立刻決定是否聘用他。如果當時決定不聘他，就不能再聘用他;如果聘用了他，整個面試立刻結(jié)束。如果面試官想把所有應(yīng)聘者都面試一遍，那么這就相當于拒絕了前面99個申請人，不管最后一個申請人是否稱職，都得錄用。問題是，面試官何時做決定，才能以最大的機率得到最適合的人選?

數(shù)學(xué)家經(jīng)過分析，認為最佳的辦法是，先面試一部分人，然后在剩下的應(yīng)聘者中，錄取勝過或接近之前面試過的最好的應(yīng)聘者。那么，應(yīng)該先面試多少人呢?這個計算過程略復(fù)雜一些，答案就直接告訴你吧：100/e，約為37。就是說當你面試了37個人之后，選出其中最優(yōu)秀的一位作為標準，在后面的應(yīng)聘者遇到類似這樣的人，就可以馬上確定下來。事實上，這個例子也能適用于找對象。比如，如果你能有機會與100個人相親，那么見了37個人之后，你就可以下決心與后面63個中的一位意中人談?wù)剳賽邸?/p>

所以說，數(shù)學(xué)知識不僅在算錢的時候有用，它有時候還會幫助你找到真愛。

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