（摘自《兒童心理學(xué)手冊》第六版，第四卷【應(yīng)用兒童心理學(xué)】，第四章【數(shù)學(xué)思維與學(xué)習(xí)】）

隨著信息加工理論的應(yīng)用，在20世紀80年代和90年代初期涌現(xiàn)出很多解決“一步加減法”以及乘除法問題的認知過程的研究。這一工作大大地促進了兒童詞語問題的解決過程發(fā)展的理解。例如，實際生活中加減法的情景包含三種數(shù)量，關(guān)于它們的根本語義的結(jié)構(gòu)達成了很多共識：變化、組合和比較情境。

變化的問題指動態(tài)的情境，某些事情改變了數(shù)量。（比如，Joe有三個彈子，Tom又給了他5個,Joe現(xiàn)在有幾個彈子？）

組合的問題指靜止的情境，有兩部分或分被分開或結(jié)合成一個整體。（比如，Joe和Tom一共有8個彈子，Joe有3個，Tom有幾個？）

比較問題指兩個數(shù)量相比較，找出其中的差別。（比如，Joe有8個彈子，Tom有5個，Tom比Joe多幾個?）在每一類中,通過確認未知量，就能找出更深層的差別；另外，變化和組合問題分別根據(jù)變化的方向（加或減）或者關(guān)系（增多或減少）可以細分。

詞語問題研究使用了不同的技術(shù)，比如書面測驗、個別面試、計算機模擬和眼動記錄，描述了兒童在不同問題類型中的表現(xiàn)，他們使用解題策略的差異以及他們錯誤的本質(zhì)和原因。

例如，在很多研究中他們驗證了詞語問題種類的心理重要性。在5至8歲兒童的許多研究中發(fā)現(xiàn)，可用相同算術(shù)運算解決的，但又不屬于相同語義種類的詞語問題難度水平大不相同；這表明對于可解決的問題來說，掌握不同語義問題結(jié)構(gòu)知識的重要性。從發(fā)展觀來看，這一研究說明大多數(shù)進入小學(xué)的兒童能解決最簡單的一步問題（比如，結(jié)果未知的變化問題，或全部未知的組合問題），能根據(jù)模型的關(guān)系和描述的事實使用解決策略。

后來，兒童的熟練程度在兩個重要的方向上逐漸發(fā)展和增加。

第一，非正式的、外部的和復(fù)雜的策略逐漸被較正式的、縮短的和內(nèi)部化的以及更加有效的策略所替代。

第二，盡管最初兒童對直接反映某種問題類型有不同的解決方法的問題情境，但他們形成了應(yīng)用于具有相似內(nèi)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的課堂問題的一般方法。

因此，只是在后期的發(fā)展中，兒童表現(xiàn)出在問題解決的模型中分步驟的問題解決行為：

a）表征問題情境；

b）決定解決步驟；

c）執(zhí)行解決步驟。

因為在早期發(fā)展水平他們不能根據(jù)那些步驟繼續(xù)，但是使用了直接將情境模型化的解決方法，兒童這時不需先寫出相應(yīng)的數(shù)字句就能正確地解決問題，甚至沒有按要求寫出這樣的數(shù)字句就不讓人驚奇了。

從信息加工的觀點來看，乘除法詞語問題的研究沒有發(fā)現(xiàn)類似于加減法的理論框架，卻找到了重要的相關(guān)結(jié)果。在回顧以前研究的基礎(chǔ)上，Greer（1992）建議對代表乘除法情境的不同語義類型進行分類。與加減法的發(fā)展結(jié)果一樣，許多兒童在得到任何指導(dǎo)之前，能夠解決包括小數(shù)的一步乘除法問題。而且，他們使用大量的反映行為或描述的問題情境之間關(guān)系的非正式策略。同時，兒童逐漸使用更有效的、更正式的和內(nèi)在化的策略。已有研究發(fā)現(xiàn)了加減法的區(qū)別，而乘法的思維發(fā)展卻較為緩慢。

總之，20世紀80年代和90年代初，有關(guān)詞語問題解決的更廣泛的研究包括四個主要的運算，導(dǎo)致在解決這樣的問題時，需要確定熟練程度不同部分的知識。這表明語義結(jié)構(gòu)內(nèi)含的相加和相乘的問題情境的特殊概念知識的重要作用，以及解決這樣的問題存在多種策略。在追蹤大量獲得問題解決能力的發(fā)展過程中取得了很大的進步：從一個非正式的、具體的和費時費力的過程水平開始，他們逐漸獲得了更加正式、抽象和有效的策略。

盡管如此，仍然還有一些爭議需要進一步調(diào)查。

第一，以前的研究集中在相加和相乘概念發(fā)展的早期和中期，需要擴大到更加發(fā)達的發(fā)展水平包括擴展到正整數(shù)領(lǐng)域。

第二，Greer在1992年提出，盡管過去分別研究加法和乘法兩個概念領(lǐng)域，將來的工作應(yīng)該清晰地指向兩種知識的整合。

第三，在信息加工傳統(tǒng)的研究中，大部分都在解釋為什么使用這種方法來研究詞語問題解決，這要追溯到過去十年的背景。如Fuson在1992年討論的那樣，大部分的這類研究只使用了限制在學(xué)校范圍內(nèi)的詞語問題。實際上，傳統(tǒng)的研究者嚴重局限了問題的范圍，采用的問題簡單、可模式化，其中與語境相關(guān)的題目包含所有必要的數(shù)據(jù)并很明確的、毫無疑問的回答，他們用這些數(shù)字執(zhí)行一個或多個算術(shù)運算的問題。這些限制對理論主張和實驗結(jié)果的推廣提出了質(zhì)疑（比如語義基準的重要性），如何解決更多現(xiàn)實的、上下文含義豐富的和更加復(fù)雜的學(xué)校內(nèi)外的情景問題。因此，那些強調(diào)在問題解決中社會和文化環(huán)境重要性的研究者們，開始從事針對解開兒童環(huán)境嵌進問題更可信的解決方案和策略的調(diào)查。

這一進展眾所周知的例子是Nunes、Schliemann和Carraher（1993）在巴西的街頭數(shù)學(xué)和學(xué)校數(shù)學(xué)的研究。在一項研究中，Nunes等人觀察到年輕的街頭小販（9-15歲）在買賣的問題解決中表現(xiàn)得很好（比如賣椰子），但是在學(xué)校同樣的數(shù)學(xué)任務(wù)中表現(xiàn)欠佳。另外，他們發(fā)現(xiàn)在街頭的買賣情境中，兒童解決問題使用非正式的推理和計算過程與正式的、學(xué)校描述的、他們用來解決課本問題的步驟很不相同。這些發(fā)現(xiàn)戲劇性地表明，在學(xué)校和現(xiàn)實生活中兒童的經(jīng)歷和觀念之間的差距。考慮到兒童的非正式知識，在數(shù)學(xué)教學(xué)中縮短這一差距是必要的。

解決數(shù)學(xué)問題研究的另一條線是Polya的工作，他在1945年發(fā)表了問題解決的說明性模型，包括下列步驟：理解問題；設(shè)計解決計劃；執(zhí)行計劃；檢查解決方案。

在這些步驟的每一步中，Polya區(qū)分了很多應(yīng)用于問題的啟發(fā)式方法，例如“畫一個圖表”和“你知道一個相關(guān)的問題嗎”。在認知研究的信息加工早期，使用形成的人工智能的概念，Newell和Simon（1972）發(fā)展了眾所周知的一般問題解決——一種計算機程序，應(yīng)用類似于Polya的啟發(fā)式策略的一般策略，比如用穩(wěn)定端分析來解決各種各樣的人工的難題（比如密碼）。但是研究一次又一次地表明兒童和學(xué)生的詞語問題的解決過程不完全符合Polya的模型。在這方面，在學(xué)生的問題解決中觀察到的兩個重要的現(xiàn)象是意義中止以及缺少解決問題的策略。我們接下來簡要的回顧一下關(guān)于兩個現(xiàn)象的研究。

在兒童的問題解決中，意義中止的一個眾所周知的和引人入勝的圖表是由法國研究者于1980年發(fā)表的。他們向一組一二年級的學(xué)生提出下面荒謬的問題：“有26只綿羊和10只山羊在一艘船上。問船長多大年齡？”結(jié)果是大多數(shù)兒童的答案36明顯地沒有意識到對問題意義的認識。類似的結(jié)果也在德國和瑞士的問題中得到。在美國也發(fā)現(xiàn)了這種現(xiàn)象。

常常引用的例子，來自1983年第三次美國國內(nèi)教育項目評價中一個13歲孩子的例子：“一輛軍車能夠運載36名士兵。如果要運送1

128名士兵到訓(xùn)練場地，需要多少輛車?”雖然70%的學(xué)生正確地完成除法1 128除以36，得到商31和余數(shù)12，只有23%給出32作為答案；19%給出31，另外29%回答31余12。在所有這些例子中看，看上去當(dāng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)詞語問題時，受與現(xiàn)實生活知識不相關(guān)的觀念影響，并且使他們產(chǎn)生了非現(xiàn)實數(shù)學(xué)模型和問題解決。

在大致相同的測試情況下，使用相同的或類似的詞語問題，這一現(xiàn)象在20世紀90年代9至14歲的學(xué)生中被廣泛地研究和重復(fù)測驗。開始在一些歐洲國家（比利時、德國、北愛爾蘭和瑞士），后來在世界的其他地方也開展了類似的研究（日本、委內(nèi)瑞拉）。在基本的研究中，用10對問題的紙筆測驗測試75名五年級學(xué)生（10至11歲的男女生）。每對問題包括一個標準問題，即，使用已給出的數(shù)字，直接運用一個或多個算術(shù)運算就能夠解決問題（比如，“Steven買了5塊每塊2米長的木板，這些木板能截出1米長的木板多少塊？”）。一個平行的問題是：數(shù)學(xué)模型的假設(shè)是有疑問的，至少有問題引起一個人考慮情境的現(xiàn)實性（比如，Stever買了4塊每塊長2.5米的木板，這些木板能截出1米長的木板多少塊?”）。令人擔(dān)憂的是，只有很少學(xué)生根據(jù)被激活的現(xiàn)實知識對這些問題作出了現(xiàn)實的回答或評論（回答這些2.5米長的木板時，用8代替了10）。事實上，只有17%的學(xué)生對這些問題的回答具有現(xiàn)實性，或者給出了現(xiàn)實性回答，或者非現(xiàn)實的回答但伴隨著現(xiàn)實的評論（比如針對木板問題，一些學(xué)生給出答案10，但是增加了Steven應(yīng)該粘合剩下的4塊0.5米長的木板，每兩塊粘在一起）。這些研究在全球非常相似地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兒童在教室里解決詞語問題時，他們的觀念與真實世界的知識是不相關(guān)的，這是一個非常重要的研究結(jié)果。另外，還有我們中心進行的研究，以及其他歐洲研究者的研究，都表明在詞語問題解決中關(guān)于真實世界的這一誤解是很強的，而且很難改變的。

幾年數(shù)學(xué)教育的結(jié)果如何變成了兒童否定他們現(xiàn)實知識的同謀？逐漸的，研究者們開始認識到這一明顯的“無意識行為”，不應(yīng)被認為是兒童的“認知缺失”，應(yīng)該被解釋成不同種類的意義，稱作“詞語問題游戲”的策略決定。如同Schoenfeld所表述的那樣：

這樣的行為是最深層的意義尋求。在學(xué)校情境中，這樣的行為代表了一整套導(dǎo)致贊揚的行為的組合，最小限度的沖突，符合社會的要求。什么能比那樣更明智呢？

學(xué)生的策略和觀念很大程度上從他們的感知覺和老師的講授而來，或者從社會數(shù)學(xué)標準發(fā)展而來，這決定了他們在數(shù)學(xué)課上如何表現(xiàn)、如何思考，以及如何與老師溝通。這種文化的適應(yīng)看上去主要由目前指導(dǎo)活動的兩個方面引起：既定的（傳統(tǒng)的）詞語問題的性質(zhì)以及老師是如何認為和看待這些問題的方式。Verschaffel、De Corte和Borghart（1997）的研究支持了后一個因素。他們的研究方法是：首先，詢問小學(xué)預(yù)備教師他們自己如何解決一系列的問題；第二步，針對相同的題目，評估富有想象力的學(xué)生的實際或非實際的答案。結(jié)果表明，這些將來的老師雖然比學(xué)生少一些極端，但是和學(xué)生具有同樣的由意義延緩產(chǎn)生的傾向性。

研究也發(fā)現(xiàn)學(xué)生在詞語問題的解決活動中缺乏熟練的策略。當(dāng)面臨一個問題的時候，他們沒有自然地使用價值有價值的啟發(fā)式策略（比如分析問題、針對問題繪圖表、分解問題），也沒有對問題建構(gòu)一個好的心理表征作為一種能更好地理解問題的手段。舉個例子，在De Bock、Verschaffel和Janssens（1998）的研究中，120名12至13歲七年級的學(xué)生參加了一項12個項目的測驗，包含類似飛機圖形的放大物，其中6個是合乎比例的，另外6個是不合比例的，就像下面例子描述的那樣：

相稱項目：農(nóng)民Gus需要大約4天沿著邊長100米的正方形牧場挖一條溝，他需要多少天才能挖一個邊長為300米的正方形牧場呢？

不相稱項目：農(nóng)民Carl需要大約8小時給一塊邊長200米的正方形地施肥，給一塊邊長600米的地施肥需要多長時間？

與預(yù)測一致，相稱項目解決得非常好（90%以上正確），不相稱項目的表現(xiàn)卻非常差（只有大約2%正確）。關(guān)于答案正確性的調(diào)查表明，只有2%的學(xué)生解決不相稱問題的同時畫圖；換句話說，大多數(shù)12至13歲學(xué)生沒有傾向于使用合適的啟發(fā)式的“對問題畫圖”的策略。當(dāng)再一次測驗的時候，甚至鼓勵他們畫圖或者向他們展示畫好的圖，情況也沒有得到大的改善。為了更加深入地分析思考過程，針對12至13歲、15至16歲學(xué)生使用個別面談的方式進行了后續(xù)研究，研究證實了相稱或線性推理的誤用及其對變化的阻抗。

其他很多學(xué)者，甚至使用年齡更大的被試也報告了相似的結(jié)果，揭示了啟發(fā)式策略的使用不足，尤其是能力差的問題解決者更是如此。如同在NRC（2001a）中討論的那樣，能力差的問題解決者經(jīng)常依賴非常膚淺的方法解決問題。舉個例子，當(dāng)給出問題“在ARCO，汽油每加侖1.13元，這一價格比Chevron便宜5%。在Chevron，5加侖汽油多少錢？”他們強調(diào)數(shù)字和關(guān)鍵詞“便宜”，這導(dǎo)致了錯誤的算術(shù)運算，在這里運用減法。相反，成功的問題解決者在謹慎分析描述的問題情境的基礎(chǔ)上建立了問題的心理表征，強調(diào)已知量和未知量以及它們之間的關(guān)系。

沒有運用啟發(fā)式策略并不是學(xué)生（特別是能力較差的學(xué)生）在問題解決過程中的唯一缺點。也許更重要的是在問題解決過程中缺乏元認知活動。事實上，研究者已經(jīng)很清楚的表明認知的自我調(diào)節(jié)能力的使用——比如設(shè)計解決方案的過程，監(jiān)控這一過程，評估結(jié)果，以及反映解決策略——是熟練者數(shù)學(xué)問題解決的主要特點。在美國大量的研究已經(jīng)證實，成功的問題解決者比不成功更經(jīng)常運用自我調(diào)節(jié)技能，在世界的其他地方也是如此。例如，在荷蘭，Nelissen發(fā)現(xiàn)小學(xué)生中，好的問題解決者自我調(diào)節(jié)和反省要好于差的問題解決者；Overtoom（1991）記錄了有天賦的和普通的中小學(xué)生之間的差別。De Corte和Somers（1982）觀察到一組六年級佛蘭德語學(xué)生在詞語問題測驗中的不佳表現(xiàn)的原因，是嚴重缺乏對問題解決的計劃和監(jiān)控。眾所周知，在Krutetskii的研究中，他觀察了小學(xué)生和中學(xué)生在詞語問題解決中關(guān)于元認知行為的不同能力水平之間的差異。

總之，大量的事實表明，認知自我調(diào)節(jié)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決的能力的一個重要組成部分，但這也是學(xué)生經(jīng)常缺乏的，特別是問題解決能力差的學(xué)生。

Krutetskii（1976）的研究表明，由小學(xué)生和中學(xué)生之間的區(qū)別引出了在元認知認識和能力方面是否存在發(fā)展差異的問題。然而，Carr和Biddlecomb基于對大量研究的分析，推斷年幼兒童和年長兒童一樣（直到中學(xué)）不能成功地監(jiān)控和評估他們的問題解決能力：

數(shù)學(xué)上的元認知研究與其他領(lǐng)域的元認知研究相似，兒童能夠從具體的策略知識和元認知意識中獲益，雖然如此數(shù)學(xué)上的元認知研究表明在兒童期甚至是童年后期的兒童并沒有經(jīng)常使用認知上的監(jiān)控和評估。

這為將來的研究提出了一個挑戰(zhàn)：為什么數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域在這方面有差異呢？元認知發(fā)展的大量文獻提出，兒童在三四歲形成元認知意識，從那時起，認知機能的行為控制逐漸通過多種發(fā)展的轉(zhuǎn)變獲得。發(fā)展不是在單一的轉(zhuǎn)變上實現(xiàn)，而是“必須需要轉(zhuǎn)變的同時應(yīng)用足夠的或多或少的策略，另外禁止低級的策略與獲取高級策略同樣重要”。

考慮到認知自我調(diào)節(jié)技能的本質(zhì)和發(fā)展在不同的領(lǐng)域存在一般性的論斷似乎很有道理，這種元認知發(fā)展觀，為將來與數(shù)學(xué)相關(guān)的自我調(diào)節(jié)能力發(fā)展的研究呈現(xiàn)了一個有趣的理論框架，特別是因為提高元認知意識和能力是數(shù)學(xué)熟練程度的一個主要成分，而熟練程度是一個重要的發(fā)展和教育目標。

前期的討論表明，過去的20年在兒童的詞語問題解決中，對數(shù)學(xué)傾向主要成分的作用和發(fā)展的理解，已經(jīng)取得了實質(zhì)性的進步。這些主要成分包括具體領(lǐng)域的知識（概念的理解以及計算的熟練）、啟發(fā)式策略和自我調(diào)節(jié)能力。雖然已有研究指出不同成分的內(nèi)部特性，但未來研究的挑戰(zhàn)在于詳細弄清在數(shù)學(xué)的問題解決中，能力的獲得和發(fā)展組成部分之間的相互作用。