[中學物理]追逐試題的可視化呈現(xiàn)

記得高中時閑來翻一本講物競的書看到的偏簡單的追逐題目，給我印象很深，后面玩GeoGebra的時候學到了追逐點的內容，兩者可以結合起來玩一玩。

1、題目概述

大概是這種說法：如圖， P 以不變速度 \vec{v_1} 沿著直線 g 逃跑， M 以不變的速率 v_2 追擊， 其運動方向始終對準 P ，某時刻 M 在 C處，P 在 A 處， g\perp h ，設 v_2 > v_1 ，問 M 追上P 還需多長時間？

2、解法

2.1 高中解法

只看 M 和 P 之間的相對距離，相對距離為零，則 M 追上 P 。


在相對距離的直線上，M 的速度恒定為 v_2，P 的速度為分量 v_1\cos \theta，那么接近速度為：
V_1=v_2-v_1\cos \theta
但是 \cos \theta 一直在變，換另一個視角，在水平方向上 P 的速度恒定為 v_1，M 的速度分量為 v_2\cos \theta，又有接近速度：
V_2=v_2\cos \theta-v_1
這兩個速度根據(jù)初始狀態(tài)和末態(tài)都能構成等式，同時在每一個微小時間間隔 \Delta t 內，兩者的 \cos \theta 都相同，給我們提供了把他們約掉的思路，在相對距離上 V_1 跑了 L ，在水平方向上 V_2 跑了 0 （因為初始時M 和 P 水平距離為零，追上后M 和 P 水平距離也為零），有：
\begin{cases} L=\sum V_1\Delta t \\[2ex] 0=\sum V_2\Delta t \end{cases}
代入即：
\begin{cases} L=v_2\sum \Delta t-v_1\sum\cos\theta\Delta t \\[2ex] 0=v_2\sum\cos\theta\Delta t-v_1\sum \Delta t \end{cases}
相當于二元一次方程組，總時間 T=\sum\Delta t 正好一個未知數(shù)，解得：
T=\frac{v_2 L}{v_2^2-v_1^2}

2.2 微分求解


在坐標系下 M 至 P 的位置矢量為 \vec{r}=\vec{r_1}-\vec{r_2}，對其微分則 \frac{\mathrmu0z1t8os\vec{r}}{\mathrmu0z1t8ost}=\vec{v_1}-\vec{v_2}，這里面都是向量，不好運算，我們兩邊點乘 \vec{r} 放棄向量旋轉的信息（對我們來說也沒用），那么有：\vec{r}\cdot\frac{\mathrmu0z1t8os\vec{r}}{\mathrmu0z1t8ost}=\frac{1}{2}\frac{\mathrmu0z1t8os}{\mathrmu0z1t8ost}(\vec{r}\cdot\vec{r})=r\frac{\mathrmu0z1t8osr}{\mathrmu0z1t8ost}=\vec{r}\cdot\vec{v_1}-\vec{r}\cdot\vec{v_2}=r(v_1\cos\theta-v_2)
即：
\frac{\mathrmu0z1t8osr}{\mathrmu0z1t8ost}=v_1\cos\theta-v_2
至此我們得到一個微分方程，除了從 \vec{r}=\vec{r_1}-\vec{r_2} 得到的這個式子，我們還有 \vec{r}\cdot\vec{v_1}=rv_1\cos\theta，\vec{r}\cdot\vec{v_2}=rv_2 可用，顯然對 \vec{r}\cdot\vec{v_1}=rv_1\cos\theta 微分：
\vec{r}\cdot\frac{\mathrmu0z1t8os\vec{v_1}}{\mathrmu0z1t8ost}+(\vec{v_1}-\vec{v_2})\cdot\vec{v_1}=v_1\frac{\mathrmu0z1t8os}{\mathrmu0z1t8ost}(r\cos \theta)+r\cos\theta\frac{\mathrmu0z1t8osv_1}{\mathrmu0z1t8ost}
即：
v_1^2-v_1v_2\cos\theta=v_1\frac{\mathrmu0z1t8os}{\mathrmu0z1t8ost}(r\cos \theta)
有了這兩個式子就能搞點東西了，綜合成一個微分方程。
\begin{cases} v_2\frac{\mathrmu0z1t8osr}{\mathrmu0z1t8ost}=v_1v_2\cos\theta-v_2^2 \\[2ex] v_1^2-v_1v_2\cos\theta=v_1\frac{\mathrmu0z1t8os}{\mathrmu0z1t8ost}(r\cos \theta) \end{cases}
顯然能得到：
v_1^2-v_2^2=v_1\frac{\mathrmu0z1t8os}{\mathrmu0z1t8ost}(r\cos \theta)+v_2\frac{\mathrmu0z1t8osr}{\mathrmu0z1t8ost}
這是一個綜合式了，兩邊同時積分得到：
(v_1^2-v_2^2)t=v_1r\cos \theta+v_2 r+C
根據(jù)初始條件，t=0,r=L,\theta=\pi/2，解出 C=-v_2L，那么最終有：
(v_1^2-v_2^2)t=v_1r\cos \theta+v_2 r-v_2L
r=0 的時候 M 追上 P，也有：
t=\frac{v_2 L}{v_2^2-v_1^2}

3、可視化呈現(xiàn)

上面的計算很多書都有講，下面我們來用GeoGebra模擬一下。


上圖是創(chuàng)建的一些對象列表，數(shù)字 t 參數(shù)在屬性里添加更新時腳本：

賦值(P, P+w*v1)
賦值(M, M+u*v2)
如果(距離(P, M) < 2, 啟動動畫(false))

可以創(chuàng)建一個按鈕重置狀態(tài)，在其屬性增加單擊時腳本：

賦值(P,(0,0))
賦值(M,(0,-l))
賦值(t,0)

M 點開開啟跟蹤，然后右擊 t 啟動動畫就可以模擬了。
我們這里 v1=3，v2=5，但是 t 的增量是0.1，就意味著每 0.1 秒腳本執(zhí)行一次，1秒鐘腳本執(zhí)行十次，那么真實速度翻十倍，v1=30，v2=50；L=500 不變。


據(jù)公式 T=\frac{v_2 L}{v_2^2-v_1^2} ，代入 v_1=30,v_2=50,L=500，計算得到 T=15.625，我們來啟動模擬：

計時 t=15.3，由于腳本判斷距離(P, M) < 2的限制，以及計時精度 0.1 造成了誤差，在容許范圍內。

還可以模擬更復雜的追逐問題：


六邊形追逐
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