Biofilm 數(shù)學(xué)模型

Biofilm是和活性污泥法一樣重要的污水生物處理技術(shù)，由于微生物附著在載體表面以膜的形式生長，因此由于傳質(zhì)阻力的增加，使得Biofilm在模擬的時(shí)候與活性污泥工藝的不同。?

但是biofilm種無外乎也是發(fā)生著基質(zhì)的利用和微生物的增長，只不過是基質(zhì)從生物膜的表面擴(kuò)散到內(nèi)部存在著濃度差，因此在不同厚度的微生物所得到的基質(zhì)是不同的。

在生物膜內(nèi)部的任何位置，其基質(zhì)利用過程依然與懸浮生長的狀態(tài)類似，可用下式表示

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??r_{ut}=-\frac{qX_fS_f}{K+S_f}

這里的Xf指生物膜上的活性微生物量，Active biomass density within the biofilm,Sf 表示研究的位置的基質(zhì)的濃度。

基質(zhì)擴(kuò)散過程可以用費(fèi)克擴(kuò)散定律來表達(dá)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r_{diff}=D_f\frac{d^2S_f}{dz^2}

在穩(wěn)定狀態(tài)下，微生物的基質(zhì)利用速率與擴(kuò)散速率是相同的，因此以上兩式的和為0.即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??0=D_f\frac{d^2S_f}{dz^2}-\frac{qX_fS_f}{K+S_f}

這個(gè)方程要求有兩個(gè)邊界條件，一是沒有基質(zhì)進(jìn)入載體，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?\frac{dS_f}{dz}=0

另外一個(gè)邊界條件是膜與液體交界面上，基質(zhì)必須從液相擴(kuò)散入生物膜，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??J=\frac{D}{L}(S-S_0)=D_f\frac{dS_f}{dz}|_{z=0}=D_f\frac{dS}{dz}|_{z=0}

如果在兩個(gè)邊界，即液體和膜的邊界Sw及載體界面的基質(zhì)濃度Ss已知,可以得到上面式子的一個(gè)解析解，

J_1=\bigg[2\hat{q}X_fD_f\bigg(S_s-S_w+K\ln \bigg(\frac{K+S_w}{K+S_s}\bigg)\bigg)\bigg]^{\frac{1}{2}}

J_{deep}=\bigg[2\hat{q}X_fD_f\bigg(S_s+K\ln \bigg(\frac{K}{K+S_s}\bigg)\bigg)\bigg]^{\frac{1}{2}}

First order

對于一級反應(yīng)來說，其平衡狀態(tài)的狀態(tài)方程可以寫為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??0=D_f\frac{d^2S_f}{dz^2}-k_1X_fS_f

對上式進(jìn)行積分可以得到

J_1=\frac{D_fS_ftanh(L_f/\tau _1)}{\tau _1}

S_f=\frac{S_fcosh((L_f-z)/\tau_1)}{cosh(L_f/\tau_1)}


The biofilm mass balance

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?\frac{dX_fdz}{dt}=\gamma \frac{\hat{q}S_f}{K+S_f}(X_fdz)-bX_fdz

The steady-state Biofilm

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0=\int\limits_0^{L_f}\frac{d(X_fdz)}{dt}=\int\limits_0^{L_f}\gamma \frac{\hat{q}S_f}{K+S}X_fdz-\int\limits_0^{L_f}bX_fdz

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??\int\limits_0^{L_f}\frac{d(X_fdz)}{dt}=\frac{d(X_fL_f)}{dt}=0

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