今天這篇文章，和大家分享幾個(gè)最常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)謬誤。
（1）辛普森悖論（Simpson's Paradox）
辛普森悖論，指的是在分組比較中都占優(yōu)勢(shì)的一方，在總評(píng)中反而成為失勢(shì)的一方。
上圖顯示的是某大學(xué)法學(xué)院和商學(xué)院招生的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)。我們可以看到，法學(xué)院男生的錄取比例為8/53=15.1%，女生錄取的比例為51/152=33.6%。同理，商學(xué)院男生的錄取比例為80.1%，女生的錄取比例為91.1%。
無(wú)論在法學(xué)院還是在商學(xué)院，女生的錄取比例都高于男生。本文的男性讀者讀到這里，可能會(huì)感到一絲不平。
現(xiàn)在我們把兩個(gè)學(xué)院錄取的男女生人數(shù)相加，再來(lái)做一下統(tǒng)計(jì)。
男生錄取的比例為209/304=68.8%。女生錄取的比例為143/253=56.5%。男生的錄取率要高于女生。這下，恐怕要輪到女生感到不公了。
那么問(wèn)題來(lái)了：該大學(xué)的招生政策，到底有沒(méi)有性別歧視？如果有，是歧視男生還是女生？
辛普森悖論告訴我們，很多時(shí)候，在分析數(shù)據(jù)的時(shí)候，不能簡(jiǎn)單的將分組數(shù)據(jù)匯總相加。我們需要仔細(xì)觀察分組數(shù)據(jù)的特征。比如在上面這個(gè)例子中，法學(xué)院的錄取率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于商學(xué)院，而大多數(shù)男生選擇申請(qǐng)商學(xué)院。因此即使男生在法學(xué)院的申請(qǐng)中被拒率很高，被拒掉的絕對(duì)數(shù)量卻不見(jiàn)得多。女生的情況，則恰恰相反。
在我們得出任何基于統(tǒng)計(jì)分析的結(jié)論前，先認(rèn)真想一想，該結(jié)論是不是符合常識(shí)？有沒(méi)有可能被表面的數(shù)據(jù)掩蓋了背后的真相？這是我們能夠從辛普森悖論中學(xué)到的教訓(xùn)。
（2）基本比率謬誤（Base Rate Fallacy）
讓我先用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子幫助大家理解基本比率謬誤這個(gè)概念。
假設(shè)小紅熱愛(ài)音樂(lè)，幾乎每天在家里彈鋼琴，有時(shí)候還友情客串朋友的宴會(huì)為大家演奏一曲。 現(xiàn)在請(qǐng)問(wèn)，小紅的職業(yè)是什么？
在沒(méi)有其他信息的前提下，你應(yīng)該選擇B）會(huì)計(jì)，而非A）琴師。主要原因在于，從事會(huì)計(jì)的人口數(shù)量，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于從事琴師工作的人口數(shù)。這個(gè)數(shù)量，就叫做基本比率（Base Rate）。
再舉個(gè)例子。乳房影像檢查（Mammography），在幫助女性排查乳腺癌中應(yīng)用廣泛。事實(shí)上不少機(jī)構(gòu)都鼓勵(lì)40歲以上的女性每年在體檢中包括乳房影像檢查，以確認(rèn)自己是否患上乳腺癌。
以一個(gè)40歲左右的女性為例?；诿绹?guó)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，該女性患有乳腺癌的概率大約為1%左右。【注意，這個(gè)比率和一位女性一生中查出乳腺癌的概率是兩個(gè)概念。根據(jù)美國(guó)的數(shù)據(jù)，到80歲查出乳腺癌的概率為12%左右?！?/p>
如果她選擇通過(guò)乳房影像檢查來(lái)測(cè)試自己是否患上乳腺癌，檢查結(jié)果出現(xiàn)誤差（即被誤診患上乳腺癌）的概率為9%左右。
那么問(wèn)題來(lái)了：如果一位女性病人去做了一個(gè)乳房影像檢查，測(cè)試結(jié)果顯示她患上乳腺癌。她真正患上乳腺癌的概率是多少？
很多人可能會(huì)回答91%，因?yàn)槿榉坑跋駲z查出現(xiàn)誤診的概率為9%。但這是錯(cuò)誤的答案。
事實(shí)上，她患上乳腺癌的概率僅為9%。計(jì)算過(guò)程如上圖所示。由于患上乳腺癌的女性的基本比率（Base Rate）本來(lái)就很小，再加上乳房影像檢查自身帶有的誤診率，因此導(dǎo)致最后測(cè)試結(jié)果為患癌的人群，其實(shí)只有9%左右真的患上了乳腺癌。
這個(gè)例子告訴我們，在我們做出任何判斷前，首先需要對(duì)基本比率有個(gè)大致的認(rèn)識(shí)，否則很容易不小心就陷入統(tǒng)計(jì)的陷阱。
（3）羅杰斯現(xiàn)象（Will Rogers Phenomenon）
羅杰斯現(xiàn)象指的是，在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)，如果把一個(gè)樣本從一個(gè)組移去另一個(gè)組，會(huì)同時(shí)提升兩個(gè)組的平均值。
一些讀者看到這句話(huà)，可能會(huì)覺(jué)得不可思議。讓我通過(guò)一個(gè)例子來(lái)給大家解釋一下。
假設(shè)有6個(gè)人，分別為40、50、60、70、80、和90歲?，F(xiàn)在將他們分為兩組。第一組包括40歲和50歲的兩人，因此組平均年齡為45歲。剩下的歸入第二組，因此組平均年齡為75歲。
現(xiàn)在把第二組中的那位60歲的哥們，移去第一組。移過(guò)去以后，第一組的平均年齡變?yōu)?0歲，而第二組的平均年齡變?yōu)?0歲。兩組的平均年齡都上升了。
羅杰斯現(xiàn)象，導(dǎo)致我們?cè)卺t(yī)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生一些容易讓人混淆的，似是而非的結(jié)論。
舉例來(lái)說(shuō)，前列腺特異抗原測(cè)試（PSA測(cè)試）可以幫助我們?cè)\斷前列腺癌。在沒(méi)有發(fā)明這項(xiàng)測(cè)試前，很多人患了前列腺癌卻不自知，因此他們被歸入“健康”人群。而那些被確診前列腺癌的患者，被歸入“患者”人群。
有了PSA測(cè)試這項(xiàng)技術(shù)以后，很多人在年紀(jì)輕輕時(shí)也能通過(guò)該測(cè)試確診自己是否患上前列腺癌。這部分人，就被移出“健康”人群，歸入“患者”人群。
由于這個(gè)歸類(lèi)的變化，導(dǎo)致患上前列腺癌的“患者”人群，以及“健康”人群的平均壽命都得到了提高。因?yàn)椤敖】怠比巳褐斜灰迫ヒ徊糠职┌Y患者，而這些癌癥患者屬于“輕度病患”（前列腺癌的致死率很低），因此“健康”和“患者”兩個(gè)人群的壽命平均值均得到了提升，讓人誤以為PSA測(cè)試能夠幫助我們延長(zhǎng)壽命。
【注：如果你沒(méi)有看懂這個(gè)例子，可以嘗試回過(guò)頭去再讀一遍，多想想就能明白了。】
（4）伯克森悖論（Berkson's Paradox）
伯克森悖論，指的是兩個(gè)本來(lái)無(wú)關(guān)的變量之間體現(xiàn)出貌似強(qiáng)烈的相關(guān)關(guān)系。
舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)，假設(shè)某學(xué)校在招收學(xué)生時(shí)，要求學(xué)生要么學(xué)習(xí)成績(jī)好，要么體育成績(jī)好。
所有的報(bào)考學(xué)生需要參加兩門(mén)考試：文化（語(yǔ)數(shù)外），和體育（跑跳投）。最后，學(xué)校僅錄取在任一考試中考到90分以上的報(bào)考學(xué)生。
所以能夠被學(xué)校錄取的學(xué)生，要么在文化考試中考到90分以上，或者在體育考試中考到90分以上，或者在兩門(mén)考試中都考到90分以上。
現(xiàn)在如果我們分析這些被入取學(xué)生的成績(jī)分布，會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，和體育成績(jī)是負(fù)相關(guān)的。因?yàn)槟切w育成績(jī)最好的學(xué)生（比如體育100分），他們的文化平均分為50分（假設(shè)他們的文化考試呈現(xiàn)正態(tài)分布）。而體育成績(jī)最差的學(xué)生（比如體育成績(jī)10分），其文化平均成績(jī)?yōu)?5分（因?yàn)橹挥谐^(guò)90分的學(xué)生才被錄?。?。
因此，分析人員可能會(huì)得出結(jié)論：體育越好，文化成績(jī)?cè)讲?。文化成?jī)?cè)胶茫w育越差。但這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的。
（5）生日悖論（Birthday Paradox）
先來(lái)算一道很簡(jiǎn)單的題目：
假設(shè)你的班上一共有23位同學(xué)，其中任何兩位同學(xué)生日撞期的概率為多少？
有人可能會(huì)這么想：一年有365天，把這23位同學(xué)分布在365天里，撞期的概率應(yīng)該很小。大概不到10%吧。
事實(shí)上，23位同學(xué)中，生日撞期的概率為1/2。就是說(shuō)，有一半的概率，這個(gè)班上至少有一對(duì)同學(xué)的生日相同。
對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，你可以這么考慮。我們先來(lái)算一下23位同學(xué)生日不撞期的概率。然后用1減去那個(gè)數(shù)字，就是這些同學(xué)生日撞期的概率。
假設(shè)23位同學(xué)排隊(duì)逐個(gè)進(jìn)入教室。第一個(gè)進(jìn)入教室的同學(xué)，其生日和其他同學(xué)不一樣的概率為1。第二位同學(xué)，其生日和其他同學(xué)不一樣的概率為364/365。第三位同學(xué)，其生日和前面兩位同學(xué)生日不一樣的概率為363/365。
以此類(lèi)推，所有同學(xué)生日不撞期的概率為1 X 364/365 X 363/365 ......
然后用1減去上面的乘積，可以得出，當(dāng)教室里有23個(gè)同學(xué)時(shí)，其結(jié)果為0.5左右。
總結(jié)
統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)非常有用的學(xué)科?？梢院敛豢鋸埖恼f(shuō)，每一位大學(xué)生都應(yīng)該學(xué)一點(diǎn)基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)學(xué)。但是上面的例子也告訴我們，統(tǒng)計(jì)學(xué)中有不少陷阱。如果不了解這些誤區(qū)，我們很可能會(huì)被錯(cuò)誤的統(tǒng)計(jì)方法迷惑，得出不正確的結(jié)論。
提高自己的科學(xué)知識(shí)水平，保持不斷學(xué)習(xí)的習(xí)慣，是讓自己變得更聰明的唯一途徑。
希望對(duì)大家有所幫助。
