2020-05-21 17:58:54 來源：中華網(wǎng)

科技進(jìn)步離不開基礎(chǔ)科學(xué)的突破,因?yàn)榛A(chǔ)科學(xué)可為解決工程技術(shù)領(lǐng)域的問題提供觀和方法論,作為研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)則是所有科學(xué)的基礎(chǔ)。

微積分是數(shù)學(xué)的重要分支,馮·諾依曼說:“微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就,對它的重要性做怎樣的估計(jì)都不會過分?！倍鞲袼拐f:“在一切理論進(jìn)步中,同17世紀(jì)下半葉發(fā)明微積分比較起來,未必再有別的東西會被看作人類精神如此崇高的勝利。”

自2009年我國數(shù)學(xué)家丁小平先生系統(tǒng)整理了三十年的研究成果,2011年他將《淺談現(xiàn)行微積分原理的錯誤》和《新微積分原理簡介》兩篇論文遞交給第四屆世界數(shù)學(xué)科學(xué)大會(Fourth International Conference on Mathematical Sciences ,ICM(2012)),2012年3月受邀在大會上宣讀論文;2015年起,《前沿科學(xué)》陸續(xù)發(fā)表了他的《淺談現(xiàn)行微積分原理的錯誤》、《略論作為微積分原理的完善的實(shí)變函數(shù)》、《微分之講授》等文章。 2018年,《中國科學(xué)報》以《由“數(shù)學(xué)大國”向“數(shù)學(xué)強(qiáng)國”邁進(jìn)始于重視數(shù)學(xué)》為題,對丁小平先生的研究成果及事跡進(jìn)行了報道。

到目前為止,在了解他學(xué)術(shù)結(jié)論的數(shù)學(xué)家中,還沒有人能指出其觀點(diǎn)在邏輯或依據(jù)使用上存在哪些錯誤。按照有條件懷疑原則,科學(xué)家有責(zé)任評價其他科學(xué)家的研究成果,也要允許別人對自己的成果的懷疑,這不僅有利于避免出現(xiàn)“寶玉而題之以石,貞士而名之以誑”現(xiàn)象,也是踐行科學(xué)家精神的題中應(yīng)有之意。

丁小平參加清華大學(xué)校慶與同學(xué)合影留念(后排左一丁小平)

青年作為社會變革中最新銳而敏感的群體,是標(biāo)志時代的最靈敏的晴雨表。我們采訪了中國科學(xué)院科學(xué)史博士研究生周芃君和中國科學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士研究生周永亮,聽一聽青年人怎么看待丁小平先生的研究成果。

問:近四百年科學(xué)技術(shù)的實(shí)踐證明,微積分是無懈可擊的,怎么會錯呢?

答:微積分是微積分原理和微積分方法的總稱。微積分方法是先被揭示的,這似乎有些奇怪,微積分方法誠如馬克思所說:“通過肯定不正確的數(shù)學(xué)途徑得出的正確的(尤其在幾何上是驚人的)結(jié)果?！睘榇?我們就要弄清:第一,微積分方法為什么行之有效?第二,揭示微積分方法的正確途徑是什么?第三,怎樣揭示更多的微積分方法?回答這些問題的邏輯體系就是微積分原理。

牛頓和萊布尼茲在揭示微積分方法的同時就試圖建立微積分原理,可是終其一生也沒能實(shí)現(xiàn)。后來,以柯西為代表的數(shù)學(xué)家們建立起了微積分原理,就是今天人們所學(xué)的微積分原理。但該原理雖經(jīng)黎曼等數(shù)學(xué)家完善,邏輯上仍不能自圓其說,進(jìn)而制約人類科技的發(fā)展。

問:能否從科學(xué)史角度對微積分發(fā)展歷程做一個簡單的介紹?

答:牛頓和萊布尼茲在1665年和1673年,分別獨(dú)自創(chuàng)建微積分方法體系,并建立各自的微積分原理,其結(jié)果是:微積分方法放之四海而皆準(zhǔn),但微積分原理始終不能自圓其說。在牛頓的微積分原理中,由于構(gòu)造流數(shù)(即導(dǎo)數(shù))的需要,牛頓人為地引入小量“o”,可是,當(dāng)流數(shù)構(gòu)造出之后,牛頓又覺得流數(shù)后“o”的組合項(xiàng)是個麻煩,于是,又人為地舍棄“o”項(xiàng)。邏輯學(xué)告訴人們,如果一個量無論多小都得引入,那它就不可以忽視;如果一個量小得可以忽視,那它就不必引入。據(jù)此,基督教北愛爾蘭地區(qū)克羅因主教貝克萊嘲笑牛頓的“o”是幽靈。

在萊布尼茲的微積分原理中,萊布尼茲定義兩個要多近就可以多近的變量的差為微分,微分的逐點(diǎn)累加就是積分(毋需區(qū)分不定積分與定積分),積分的微化就是微分,導(dǎo)數(shù)就是因變量與自變量的微分之比。萊布尼茲微積分原理的不足在于說不清“要多近就可以多近”究竟是多近。當(dāng)然,在微積分方法的揭示上,歐拉做得更多、更好。

沃利斯開創(chuàng)的極限論到十九世紀(jì)得以成體系。1821年和1823年,法國數(shù)學(xué)家柯西以極限論為工具分別出版了他的《分析教程》和《無限小計(jì)算教程概論》,以此為標(biāo)志,人類建立起第一個微積分原理。后來,又經(jīng)過黎曼、維爾斯特拉斯和達(dá)布等數(shù)學(xué)家的完善,我們現(xiàn)行的微積分原理宣布大功告成?？挛飨档奈⒎e分原理本質(zhì)上就是用極限論處理掉“o”項(xiàng)的牛頓系的微積分原理,但在解釋不了豐富多彩的微積分方法為什么行之有效時又只好把萊布尼茲的微分拼湊進(jìn)去。

可是,1875年數(shù)學(xué)家托梅對現(xiàn)行微積分原理提出挑戰(zhàn)。繼托梅的直尺函數(shù)之后,原點(diǎn)左右無限震蕩函數(shù)和越接近原點(diǎn)越無限次震蕩的衰減函數(shù)等相繼登場,此后,微積分原理再次陷入危機(jī)之中。如果我們稱貝克萊對牛頓的質(zhì)疑為微積分原理的第一次危機(jī)的話,那么,這次危機(jī)稱之為微積分原理的第二次危機(jī)。微積分原理第二次危機(jī)的化解是法國數(shù)學(xué)家勒貝格完成的,他在1902年的《積分,長度和面積》一文中提出兩個核心思想,即后人所說的“勒貝格測度”和“勒貝格積分”。但丁小平先生說,勒貝格和貝爾等數(shù)學(xué)家的所謂“化解”仍然是立不住的。

問:丁小平認(rèn)為現(xiàn)行微積分原理主要存在哪些問題?

答:丁小平先生指出,現(xiàn)行微積分原理存在三方面的問題:第一,存在錯誤;第二,依據(jù)不充分,細(xì)微之處問題甚多;第三,結(jié)構(gòu)扭曲。先說第一個問題:

當(dāng)然,還有使用張量完成這種轉(zhuǎn)換的,但這同樣是沒有意義的。因?yàn)閿?shù)學(xué)表達(dá)形式不改變事物本質(zhì),就像不用波函數(shù)而改用矩陣表達(dá)這并不改變微觀客體的本質(zhì)一樣。如上錯誤引起的問題是多方面的,首先就導(dǎo)致微分方程和微分幾何的邏輯困難。

第二,現(xiàn)行微積分原理的含糊是多方面的,以極限為例,在現(xiàn)行數(shù)-形模型之下,兩個數(shù)或兩個點(diǎn)只能無限接近,因此,極限的結(jié)果不存在。比如,正多邊形隨著邊數(shù)無限增多的極限是圓,可現(xiàn)行數(shù)-形模型下沒有圓,有的只是邊無限縮短的正多邊形。

第三,現(xiàn)行微積分原理在多元積分與多重積分問題上是含混的,除了恰當(dāng)積分外,沒有多元積分。但發(fā)展多元積分是必須的,因?yàn)榻馄⒎址匠桃慷嘣e分。

以上是扼要說明,丁小平先生在《淺談現(xiàn)行微積分原理的錯誤》(《前沿科學(xué)》2015(4))一文中有詳細(xì)的論述。

問:有數(shù)學(xué)家說丁小平指出的不過是古典微積分原理的問題,這些問題在實(shí)變函數(shù)理論和現(xiàn)代分析那里早已解決。對此觀點(diǎn)你們怎么看?

答:在《略論作為微積分原理的完善的實(shí)變函數(shù)》(《前沿科學(xué)》2016(4))一文中,丁小平先生作了專門的回答。這篇文章是發(fā)人深省的。舉幾個例子:

第一,丁小平指出測度論的錯誤。這事實(shí)上是掀翻了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。丁小平先生指出:“測度論的邏輯脈絡(luò)是:區(qū)間及其對應(yīng)的線段是有測度的,而代數(shù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的測度為0,又因?yàn)閰^(qū)間及其對應(yīng)的線段是由代數(shù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)和超越數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的,所以,超越數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)就是測度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者。事實(shí)上,區(qū)間及其對應(yīng)的線段不是由二者,而是由三者——代數(shù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與超越數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)以及點(diǎn)與點(diǎn)的間隙共同構(gòu)成的,勒貝格只排除代數(shù)數(shù)是測度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者,但卻不知道與實(shí)數(shù)一樣多的間隙存在,就武斷地說超越數(shù)或其對應(yīng)的點(diǎn)是測度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者,這樣使用排除法是錯誤的?！倍⌒∑较壬又赋?“現(xiàn)行實(shí)數(shù)從來就沒填滿過數(shù)軸,因?yàn)楝F(xiàn)行數(shù)和點(diǎn)都是無度量的,而數(shù)軸是有度量的,無度量的數(shù)或點(diǎn)不管多到何種程度,數(shù)軸都是有空隙的。因此,從這種武斷出發(fā)的任何證明都是立不住的。數(shù)是不能有測度的,只有量才可以有測度。量是數(shù)的差,盡管量也要用數(shù)來表達(dá)。超越數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與代數(shù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在解析幾何意義上沒有任何不同,代數(shù)數(shù)承擔(dān)不了測度,超越數(shù)也同樣承擔(dān)不了測度?！?/p>

前面我們說,微積分原理的第二次危機(jī)是由勒貝格測度及以之為依據(jù)的勒貝格積分解決的,既然勒貝格測度理論是立不住的,那么,問題是否解決了不是再清楚不過了嗎?

第二,數(shù)學(xué)的歷史而言,誠如丁小平先生所說:“分析數(shù)學(xué),尤其是近代分析,從來就不像對數(shù)學(xué)史知之甚少的數(shù)學(xué)工作者所理解的那個樣子,也從來不像當(dāng)代數(shù)學(xué)教科書所寫的那個樣子。以S.D.泊松(S.D.Poisson,1781-1840)為代表的數(shù)學(xué)家從來就不同意以柯西提出的微積分原理,以亨利·龐加萊(H.Poincaré、F.Klein,1849-1925)等為代表的數(shù)學(xué)家從來就不同意實(shí)變函數(shù)理論。人們似乎忘記,‘龐加萊、克萊因和希爾伯特,是在19世紀(jì)和20世紀(jì)數(shù)學(xué)交界線上聳立著的三個巨大身影’,‘三個巨大身影’中的兩個都反對的東西,竟然會向希爾伯特一邊倒,個中就沒有數(shù)學(xué)之外的原因在起作用嗎?”這是不無道理的,就像張景中院士所說:“數(shù)學(xué)家也要吃飯、穿衣?！?/p>

貝克萊指出:“在某種錯誤的補(bǔ)償中某些錯誤抵消其它錯誤,從而掩蓋其中存在的漏洞?！?9和20世紀(jì)之交就出了這樣一位數(shù)學(xué)領(lǐng)袖,他就是希爾伯特。希爾伯特通過肯定康托定理,一下子就把千瘡百孔的數(shù)學(xué)變成了完美的數(shù)學(xué)。丁小平先生說康托定理是錯誤的,他給出的證明十分簡明:

假設(shè)A、B、C、D、E為無限集合,A=B+C+D,再設(shè)C=E,則E為A的真子集。A中的真子集C足以與E一一對應(yīng)(有公理保證),故而,E中再無元素可與B和D對應(yīng)。這個簡單的證明對無限集合和有限集合都適用。

丁小平先生接著指出:“只看到A與E中的元素是無限的,就在不加區(qū)分增長速度的情況下舉出某一個對應(yīng)方式,很不妥。這種觀點(diǎn)的幼稚之處在于,因?yàn)镋中具有無限多元素,所以,E就可以與(B+C+D)中的元素一一對應(yīng)下去,可是,他們忘記了C與E是同步的無窮多,從而,B和D在E中再找不到對應(yīng)項(xiàng)?！?/p>

問:能否簡要說下丁小平在數(shù)學(xué)領(lǐng)域所做的工作及其主要意義?

答:第一,系統(tǒng)而深刻地揭示現(xiàn)行微積分原理的錯誤。首先,全面地指出現(xiàn)行微積分原理存在的錯誤和不足;其次,從數(shù)學(xué)史和科學(xué)方法論兩方面指出為什么會發(fā)生這些錯誤;最后,在傳統(tǒng)數(shù)-形模型條件下給出正確結(jié)果,以反襯的方式再次指出現(xiàn)行微積分原理確實(shí)錯了。

如果真的能夠靜下心來想,會發(fā)現(xiàn)現(xiàn)行微積分原理的錯誤是比較初級的,但為什么它是世界最難的問題之一呢?這就好比相對論原理,不是發(fā)現(xiàn)難,而是堅(jiān)信難,不是大家愛因斯坦誰敢第一個堅(jiān)信呢?丁小平先生此項(xiàng)工作的意義在于把數(shù)學(xué)寶藏的大門打開了。

第二,丁小平先生按照持之有故言之成理的準(zhǔn)則,向數(shù)學(xué)界宣布,實(shí)變函數(shù)體系錯誤很多,并且給出了從重建測度論角度重建實(shí)變函數(shù)的思路。丁小平先生曾經(jīng)說過,他人單勢孤,不想在微積分這個堡壘拿下來之前向?qū)嵶兒瘮?shù)宣戰(zhàn)。可是,在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)家把戰(zhàn)線引到這里時,他也不得不應(yīng)戰(zhàn)。他還指出柯西體系的實(shí)分析有錯誤,復(fù)分析也站不住腳。丁小平先生此項(xiàng)工作的意義在于把實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)理論引向正確的方向。

第三,重建數(shù)-形模型。丁小平先生指出現(xiàn)行實(shí)數(shù)體系以及點(diǎn)、線、面、體(當(dāng)然也可以是希爾伯特所謂的“桌子、椅子、啤酒瓶”)是現(xiàn)行數(shù)學(xué)的數(shù)-形模型。一些數(shù)學(xué)工作者只知道其它科學(xué)需要數(shù)學(xué)模型,而不知道數(shù)學(xué)自身也是建立在模型基礎(chǔ)之上的科學(xué)。

現(xiàn)行的數(shù)-形模型是存在邏輯缺陷的。舉個例子,一個有A這一點(diǎn),卻沒有下一點(diǎn)B(只要給出下一點(diǎn)B,AB兩點(diǎn)間就可以插入第三點(diǎn),B就不是下一點(diǎn))的不間斷的線。 有了新的數(shù)-形模型,數(shù)學(xué)就可以在不存在邏輯缺陷的數(shù)-形模型基礎(chǔ)上發(fā)展了。新的數(shù)-形模型將引發(fā)一場數(shù)學(xué)革命,從而引發(fā)整個科學(xué)的一場革命。

第四,重建新微積分原理。新微積分原理實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的點(diǎn)級描述,比如給出微分的數(shù)學(xué)承擔(dān)者和導(dǎo)數(shù)的瞬時比形式、實(shí)現(xiàn)積分的逐點(diǎn)累加等等,其中解決微分的數(shù)學(xué)承擔(dān)者問題不僅解決了數(shù)學(xué)自身的問題,也使得諸如虛位移原理等自然科學(xué)的核心問題得以解決。新微積分原理的建立,必將引發(fā)微分幾何、微分方程、復(fù)變函數(shù)和泛函分析等學(xué)科的迅猛發(fā)展。新微積分原理還修正了現(xiàn)行微積分體系結(jié)構(gòu)的扭曲,省略了繁瑣迂回的推理,在新微積分原理中微分就是對某區(qū)間的點(diǎn)級微化,積分是對點(diǎn)級微化結(jié)果的累加,微分與積分互為逆運(yùn)算,并不存在本質(zhì)不同的定積分和不定積分,導(dǎo)數(shù)就是微商,極其簡單易學(xué)。這對我國的高等數(shù)學(xué)教育,以及科技人才的培養(yǎng)有重要意義。

李克強(qiáng)總理多次呼吁解決我國數(shù)學(xué)卡科學(xué)的脖子問題,主要問題出在哪兒?了解自然科學(xué)和工程技術(shù)前沿問題的科研工作者都知道,就出在微分方程的求解上,新微積分原理可在這方面提供方便。

問:究竟什么樣的微積分才是滿足要求的?

答:概言之,現(xiàn)行微積分原理所做的是回答微積分方法行之有效,而不是回答微積分方法為什么行之有效。事實(shí)上,實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的根本標(biāo)準(zhǔn),近四百年的科學(xué)技術(shù)實(shí)踐早已回答了微積分方法是否行之有效的問題,不需要一個在理論上再隨聲附和的微積分原理。滿足要求的微積分原理必須回答“通過肯定是不正確的數(shù)學(xué)途徑得出了正確的(尤其在幾何上是驚人的)結(jié)果”的微積分方法為什么行之有效,還要能優(yōu)化已有微積分方法,并揭示更多微積分方法。

有的數(shù)學(xué)家肯定丁小平先生指出了現(xiàn)行微積分原理的錯誤,但是認(rèn)為意義有限。他們說:“微分錯了微積分教材就把它刪了,微積分課可以照講?！边@些數(shù)學(xué)家忽略了微積分方法和原理的區(qū)別、導(dǎo)數(shù)是瞬時比但卻寫不成瞬時比的形式的缺陷、數(shù)學(xué)自身存在的根本價值等。十八世紀(jì)初到十九世紀(jì)末是數(shù)學(xué)與自然科學(xué)交織在一起的突飛猛進(jìn)的發(fā)展時期,以歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉、高斯、泊松、哈密頓等為代表的科學(xué)家,幾乎都是精通數(shù)學(xué)、一般力學(xué)、固體力學(xué)、流體力學(xué)、天體力學(xué)、熱力學(xué)、物理學(xué)等的通才,他們又幾乎都是拒斥柯西微積分原理的。正是這個原因,這些年自然科學(xué)中所使用的微積分方法普遍沿用萊布尼茲的“無窮小量”、“微分”、“導(dǎo)數(shù)(微商)”和約翰.貝努力的“變分”等工具,不僅如此,即使時至今日,這些東西還都在繼續(xù)沿用著。現(xiàn)實(shí)要求微積分原理對這些微積分方法行之有效的機(jī)理加以說明,而不是通過削足適履的手段閹割事實(shí),更不是通過涂抹掉無窮小、微分及變分廣泛使用的科學(xué)歷史來為一個不稱職的微積分原理的存在創(chuàng)造條件。

當(dāng)今的數(shù)學(xué)工作者的歷史使命是重建滿足客觀需求的微積分原理,新的微積分原理不僅要講明現(xiàn)實(shí)中豐富的微積分方法行之有效的基本機(jī)理,而且,還要能闡釋自1665年牛頓創(chuàng)建微積分原理以來與自然科學(xué)交織在一起的微積分方法的細(xì)枝末節(jié)的正確以及不足的原因。只有滿足這些要求的微積分原理才是夠格的。對此問題,丁小平先生在《人類究竟需要什么樣的微積分原理》做了詳盡的回答。

問:如何看待丁小平成果尚未得到鑒定問題,能否從科學(xué)史角度談?wù)剬τ诳蒲谐晒⒃u定人才評價標(biāo)準(zhǔn)的看法?

答:毛澤東主席曾指出:“歷史上新的正確的東西,在開始的時候常常得不到多數(shù)人承認(rèn),只能在斗爭中曲折地發(fā)展。正確的東西,好的東西,人們一開始常常不承認(rèn)它們是香花,反而把它們看作毒草。哥白尼關(guān)于太陽系的學(xué)說,達(dá)爾文的進(jìn)化論,都曾經(jīng)被看作是錯誤的東西,都曾經(jīng)經(jīng)歷艱苦的斗爭?！笨墒?時代在進(jìn)步,可不可以把誤認(rèn)作毒草的時間縮短些?可不可以少些科學(xué)迷信、科學(xué)傲慢和嫉賢妒能?布魯諾、阿貝爾、伽羅華、陸家羲的悲劇不能再重演了。

上世紀(jì)八十年代是精英教育的時代,丁小平先生在那個時代就考取清華大學(xué)工學(xué)碩士研究生、中央民族學(xué)院哲學(xué)碩士研究生和北京大學(xué)理學(xué)碩士研究生。他的同學(xué)現(xiàn)在大多已是科學(xué)技術(shù)帶頭人了,其中不乏院士,有的還同時是北美某國科學(xué)院院士、工程院院士、歐洲科學(xué)與藝術(shù)院院士、歐洲科學(xué)院院士,這樣的外籍院士對丁小平先生的學(xué)問都贊嘆不已。丁小平先生不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有開創(chuàng)性成就,在一般哲學(xué)、馬克思主義、心理學(xué)、美學(xué)、管理學(xué)、物理學(xué)、紅樓夢學(xué)、現(xiàn)代中醫(yī)學(xué)等也有著開創(chuàng)性的成果,我所知道的他指導(dǎo)的博士研究生和博士后不下二十個研究方向。他義務(wù)教學(xué)近二十多年,從來沒有收取過學(xué)生一分錢,不管是品德還是學(xué)問,丁小平先生都是出類拔萃的。

我們還是些很幼稚的學(xué)生,沒有資格做科學(xué)裁判,甚至我們的看法可能還是偏見。我們的看法都不重要,重要的是學(xué)術(shù)界和社會能夠真正落實(shí)“深化三評”、“破除四唯”等文件精神,早日把丁小平先生的研究結(jié)論進(jìn)行鑒定。石耶?璞耶?自然見分曉。

注：本文轉(zhuǎn)載自百家號科學(xué)哲學(xué)愛好者：丁小平微積分研究成果芻議