公理1：在直線上的不同三點(diǎn)中，有且僅有一點(diǎn)介于其它兩點(diǎn)之間
公理2：如果是兩個不同的點(diǎn)，那么在直線上有無窮多點(diǎn)介于之間；同時存在無窮多點(diǎn)使介于點(diǎn)和這些點(diǎn)中任意一點(diǎn)之間
公理3：直線上的任何點(diǎn)都把直線上的其余點(diǎn)分為兩類，使得介于任何不同類兩點(diǎn)之間，且不介于任何同類兩點(diǎn)之間

定理：給定直線上五個不同的點(diǎn),若
點(diǎn)介于之間，且點(diǎn),和點(diǎn)都介于之間；
則點(diǎn)介于之間

證明:
假設(shè)點(diǎn)不介于之間,根據(jù)公理1，要么介于之間，要么介于之間；

第一種情形：
我們先假設(shè)介于之間；
根據(jù)公理3，點(diǎn)把直線上的點(diǎn)分成兩部分，由于介于之間，則必然屬于不同的兩部分，否則的話，就介于屬于相同部分的兩點(diǎn)之間，與公理3矛盾;
我們設(shè)所在的部分集合為,所在的部分集合為;
則和都屬于集合,這是因?yàn)?br> 如果屬于集合,根據(jù)公理3 ,將介于之間，而又介于之間，這與公理1矛盾；
同理也屬于集合;
再根據(jù)公理3，結(jié)合屬于集合 ,和都屬于集合，有介于之間，且介于之間；

根據(jù)介于之間，則把直線分為兩個集合和使得屬于且屬于
結(jié)合介于之間的事實(shí)，必然也屬于,否則的話根據(jù)公理3 將介于之間，這與介于之間矛盾（公理1）
同理，再結(jié)合介于之間的事實(shí)，也屬于
而不可能屬于兩個不同的集合和，所以假設(shè)介于之間是不成立的；

第二種情形：
對于介于之間的情形我們可以類似討論；

綜上，得到的結(jié)論就是 假設(shè)不介于之間 不成立；
則介于之間， 證明完畢。