故事：失蹤的彈孔

為什么學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)知識對我們有用呢？

我來給你講一個失蹤彈孔的故事。

在第二次世界大戰(zhàn)期間，美國軍方在哥倫比亞大學(xué)建立了一個秘密研究小組，叫統(tǒng)計研究小組。它的任務(wù)是組織美國的統(tǒng)計學(xué)家為打贏第二次世界大戰(zhàn)服務(wù)。這個小組里牛人無數(shù)，比如我們熟悉的控制論的創(chuàng)始人諾伯特·維納（Norbert Wiener），還有后來得過諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的米爾頓·弗里德曼。不過，在這個牛人無數(shù)的小組中，天賦最高的并不是他們，而是一位叫亞伯拉罕·瓦爾德（Abraham Wald）的數(shù)學(xué)家。?

有一次，軍方給這群數(shù)學(xué)家出了一道題。在打仗的時候，為了不讓自己的飛機被敵人的戰(zhàn)斗機擊落，需要給飛機裝上裝甲。但是，裝甲會增加飛機的重量，這樣飛機的機動性就會減弱，還要消耗更多的燃油。因此，需要解決的問題是，怎樣在防御性能和飛行性能之間找一個平衡點。軍方希望數(shù)學(xué)家?guī)椭麄兏闱宄?，在哪里加強裝甲防護是最合適的。

軍方給數(shù)學(xué)家提供了很多數(shù)據(jù)。美軍的飛機跟敵軍的飛機交火之后返回基地，飛機上會留下來很多彈孔。軍方發(fā)現(xiàn)，在返航的飛機上，機身上的彈孔比引擎上的彈孔更多。因此，軍方認為，最應(yīng)該加強防御的是飛機的機身。他們想讓統(tǒng)計學(xué)家研究一下，為了保護飛機，機身需要增加多少裝甲。

瓦爾德給出的答案卻和軍方最初的想法大不一樣。瓦爾德認為，需要加裝裝甲的地方不應(yīng)該是彈孔多的部位，而應(yīng)該是彈孔少的部位，也就是飛機的引擎。為什么會是這樣呢？我們先從一個理論假設(shè)來看。從理論上來說，飛機各個部位中彈的概率應(yīng)該是一樣的。那么，為什么返航的飛機機身上的彈孔比引擎上的彈孔更多呢？換言之，引擎上本來應(yīng)該有的彈孔去哪里了？瓦爾德認為，這是因為引擎被擊中的飛機都墜毀了?；貋淼娘w機，機身上盡管留下了很多彈孔，卻仍然能夠經(jīng)得住打擊，所以才能安全返航。打個比方來說，如果我們到戰(zhàn)地醫(yī)院去統(tǒng)計受傷的士兵，你會發(fā)現(xiàn)，腿部中彈的士兵肯定比腦部中彈的士兵要多。腦部中彈的士兵很少能夠活下來，腿部中彈的士兵才有更大的概率存活。

從這個故事我們能夠?qū)W到什么呢？瓦爾德?lián)碛械目諔?zhàn)知識肯定不如美軍的軍官，但他卻能看到軍官們無法看到的問題。這就是因為瓦爾德有數(shù)學(xué)思維。軍官們犯的錯誤在于，他們假設(shè)返航的飛機是所有飛機的隨機樣本。但事實上，這是不對的。

沃森測試

假設(shè)在你的面前有一張桌子，桌子上放著四張卡片，每個卡片有兩面，一面印的是數(shù)字，另外一面印的是字母。你能夠看到各個卡片朝上的一面。四張卡片，朝上的一面分別是四個符號：A，K，4和7。我再告訴你，這些卡片是有規(guī)律的。如果卡片的一面印的是元音字母，那么，另一面必須印的是偶數(shù)。我說的到底對不對呢？你得自己去測試。那么，問題來了。你必須要翻哪幾張卡片，才能夠保證這四張卡片都遵守我說的這個規(guī)則？

大部分人都會先翻第一張，就是朝上的一面印著A的那張卡片。如果你把這張卡片翻過去，看到后面不是偶數(shù)，那么，我說的這個規(guī)則就是不成立的。大部分人也不會去翻那張朝上的一面印著K的卡片，因為不管它的反面印的是奇數(shù)還是偶數(shù)，跟我們的規(guī)律都沒有關(guān)系。在剩下兩張卡片中，有很多人想去翻那張朝上一面印著4的卡片，因為他們想看看反面印的是不是元音。不過，你要再仔細想想：如果4的反面是元音，那么，我說的規(guī)則是對的，可是，如果4的反面是輔音，你能判斷出來我說的規(guī)則就是錯的嗎？不能的，因為我們的規(guī)則是元音的反面是偶數(shù)，并沒有說偶數(shù)的反面一定是元音。這就是這道數(shù)學(xué)測試題的“陷阱”。很少人去翻那張印著7的卡片，但這張卡片卻是最關(guān)鍵的。如果你翻開這張卡片，發(fā)現(xiàn)反面印的是元音字母，你就能篤定知道，我說的規(guī)則是錯的。因此，這道數(shù)學(xué)測試題的正確答案是：你必須翻看印著A和7的那兩張卡片。

這道題你答對了嗎？沒有答對也別灰心。這是認知心理學(xué)界赫赫有名的沃森測試，它是英國心理學(xué)家皮特·沃森提出來的。沃森發(fā)現(xiàn)，很多被測試者都會答錯。

到底誰喝了酒？

假設(shè)你是個警察，負責(zé)維護酒吧一條街的治安。假設(shè)我們規(guī)定，年齡不超過18歲的人是不能喝酒的。你走進一個酒吧，發(fā)現(xiàn)四個年輕人圍在一張桌子前聊得很嗨。他們的桌子上放著各種飲料。有啤酒，有可樂，這你一看就知道。可是，還有一些透明的飲料，這到底是七喜，還是伏特加呢？你要求這四個年輕人把身份證都拿出來，放在桌子上。年輕人嘛，都有一些逆反心理。有兩個搗蛋鬼故意把身份證倒扣在桌子上，想捉弄一下你。還有兩個比較聽話，乖乖地把身份證正面朝上，放在桌子上。

你看到身份證朝下的那兩個年輕人中，有一個點了啤酒，另一個點的是可樂。你還看到身份證朝上的兩個年輕人中，有一個超過了18歲，還有一個沒有到18歲。那么，問題來了，你該查誰的身份證，或者是誰的飲料，才能夠確保沒有人觸犯法律？

答案很簡單。你得查那個點了啤酒的家伙的身份證，看他是不是年滿18歲了。那個點了可樂的人，你根本就不用管他。剩下兩個喝透明飲料的年輕人，你需要去檢查一下那個未年滿18歲的孩子，聞聞他到底喝的是七喜還是烈酒。

表述方式不同，會導(dǎo)致理解的難度不同

德夫林講到，如果從進化的角度來看，我們在大腦中從事數(shù)學(xué)運算的功能區(qū)，實際上也是我們使用語言的那個功能區(qū)。我們在使用語言的時候，大腦的活動主要發(fā)生在額葉，所以額葉是大腦的語言中樞。德夫林有一種很獨特的觀點，他講到，人類語言的發(fā)展，并不單純是為了相互之間溝通信息而演化出來的，更為重要的是，人類面對的生存環(huán)境越來越復(fù)雜，所以必須發(fā)展出“離線思考”的能力。所謂的“離線思考”，就是以抽象的方式進行“如果……該怎么辦”的推理能力。正是對這種“離線思考”能力的追求，推動了語言和數(shù)學(xué)思維能力的出現(xiàn)。這種“離線思考”是如何推動語言的演進呢？我們在下一個學(xué)習(xí)單元，也就是“表達能力”會講到?，F(xiàn)在，你需要了解的是，數(shù)學(xué)和語言是同宗同源的，都是為了探索某種模式，而且是為了說給別人聽，并理解別人是什么意思。你天生就有的語言能力，正是你掌握數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。

語言和數(shù)學(xué)思維之間的關(guān)系，中國人應(yīng)該有更真切的體會。很多數(shù)學(xué)平平的東方孩子，到了美國，會被別的孩子驚嘆為數(shù)學(xué)天才，其實不是因為中國孩子的智商高，而是因為中文和英文對數(shù)字的表達方式不一樣。中文表達數(shù)字遠比英文簡潔。中文說11就是11，12就是12，你一聽就知道是哪個數(shù)，英語里11是eleven，12是twelve，鬼才知道說的是啥。用中文背誦九九乘法表，比用英文去背誦，容易得多。這個小小的例子也說明，表述方式不同，會導(dǎo)致理解的難度不同。

如何更好的預(yù)測？

二戰(zhàn)之后，美國軍人紛紛回家，數(shù)百萬家庭團圓。九個月之后，出現(xiàn)了百分之百可以預(yù)測的現(xiàn)象，美國出現(xiàn)了嬰兒潮。出生于1946到1964年這18年時間的美國人口約有7800萬。同樣的嬰兒潮也出現(xiàn)在二戰(zhàn)后的日本、歐洲等發(fā)達國家。人口數(shù)據(jù)也是我們看得見、可預(yù)測的硬趨勢。但是，在二戰(zhàn)結(jié)束之后，人們本來認為企業(yè)訂單會暫時減少，經(jīng)濟因此出現(xiàn)衰退，可是并沒有發(fā)生預(yù)想的經(jīng)濟衰退。這就是一種更難預(yù)測的軟趨勢。

相對來說，預(yù)測短期和預(yù)測長期技術(shù)難度相對較小，而預(yù)測中期更為復(fù)雜。不說別的，在中期會有更多的波動，而這些波動的轉(zhuǎn)折點是很難預(yù)測的。比如，即使你知道股票存在著泡沫，但泡沫什么時候崩潰是很難預(yù)測的。即使你知道股價被低估，但被低估到什么時候會出現(xiàn)反彈也是很難預(yù)測的。

在中期還有一些現(xiàn)象是周期性的，比如在農(nóng)業(yè)中的播種和收割。我們每天看到日夜交替，看到的潮汐現(xiàn)象、月盈月缺、季節(jié)更替等等，都表現(xiàn)出了周期性。

所以，在預(yù)測中期趨勢的時候，一定要慎之又慎。在預(yù)測中期趨勢的時候，噪音更多，規(guī)律更復(fù)雜。我們會遇到波動，又會遇到周期。我們很難精準(zhǔn)地預(yù)測未來的行情，不過，這沒有關(guān)系，事實上，只要你能判斷出轉(zhuǎn)折點，就已經(jīng)達到很高的水平了。

死魚能讀出人的情緒變化嗎？

我先給你講個科學(xué)界的笑話。2009年，加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校的神經(jīng)學(xué)家克雷格·巴尼特（Craig M. Bennett ）在舊金山的一次國際學(xué)術(shù)會議上做了個報告，題目是：《大西洋死鮭魚對人類神經(jīng)活動的觀察》。

他們研究的是什么呢？先介紹一個背景?，F(xiàn)在研究腦科學(xué)的時候，通常采用的辦法是用功能性磁共振成像裝置掃描人或動物的大腦，然后觀察在特定的行為、情緒下，哪一個大腦的功能區(qū)更為活躍。巴尼特和他的小伙伴們就是這么做的。他們煞有其事地把一些人類的照片給一條死魚看，然后用功能性磁共振成像裝置掃描死魚的腦袋。結(jié)果，他們發(fā)現(xiàn)這條死魚竟然能夠“正確地”判斷出照片中人類的情緒。這個研究當(dāng)之無愧地獲得了2012年搞笑諾貝爾獎。

雖然只是搞笑，但這個研究揭示了一個深刻的道理。我們在第一季“何帆大局觀”就已經(jīng)講過，人類是容易輕信的，我們會試圖尋找世間萬物的聯(lián)系，即使找到的僅僅是錯誤的聯(lián)系。我們會在找到第一個支持證據(jù)之后就放手，不再思考這種聯(lián)系到底是不是存在的，是因果關(guān)系，還是相關(guān)關(guān)系。

普通人是這樣，科學(xué)家也未能免俗。巴尼特的研究小組就是想要挖苦一下有些裝模作樣的研究。當(dāng)腦科學(xué)家掃描大腦的時候，他們會把大腦分成成千上萬個極小的區(qū)域。即使是在掃描死魚的時候，死魚大腦上每個極小的區(qū)域也會隨機出現(xiàn)一些噪音。這些噪音中，很可能會有一些看起來跟照片上人的情緒變化相匹配。說白了，這跟看見天上的白云，覺得一會兒像馬，一會兒像老頭兒，是一樣的。

?什么是零假設(shè)？

零假設(shè)好比你抓到一個犯罪嫌疑人，但你不能先假設(shè)他或她有罪，你要先假設(shè)他或她是無辜的。做研究的時候，我們也要用同樣的思路。假如你要檢測一種新藥到底有沒有療效，你不能先假設(shè)它是有效的，你只能先假設(shè)它是無效的。假如你要研究在得到學(xué)習(xí)是否真的能提升自己在職場和人生的競爭力，你不能先假設(shè)是有用的，只能先假設(shè)是沒有用的。這就是零假設(shè)，零假設(shè)是假設(shè)毫無效果，或假設(shè)絲毫不起作用，或是假設(shè)沒有任何相關(guān)關(guān)系。我們在做研究的時候，要從零假設(shè)開始，然后通過做實驗，或是搜集數(shù)據(jù)，看看能不能推翻零假設(shè)。如果能夠推翻零假設(shè)，那么，你就能講，這種新藥是有療效的，或者，在得到學(xué)習(xí)之后能夠提升你的水平。

我們再把顯著性檢驗的程序介紹一下：

第一步：開始實驗。

第二步：假定零假設(shè)成立。

第三步：觀察實驗結(jié)果中出現(xiàn)事件O的概率，我們把這個概率稱為P值。P值反映的是零假設(shè)成立的可能性。

第四步：如果P值很小，我們就認為實驗結(jié)果滿足零假設(shè)的可能性很小，你可以通過這種歸謬法判斷，你原來想檢驗的猜想具有統(tǒng)計學(xué)上的顯著性。如果P值很大，我們就得承認零假設(shè)還沒有被推翻。

你要記住以下三個陷阱：

P值多小才是顯著的呢？在顯著性與非顯著性之間并沒有一條涇渭分明的界限。在實踐中，大部分研究者都認為0.05是臨界值?？墒?，這只是一種約定俗成。你有沒有注意到，老師在改卷子的時候，更習(xí)慣把59分順手改為60分，所以59分較少，60分更多？在做研究的時候也有類似的情況，如果差一點沒有過0.05的臨界值，有的研究者就會修改數(shù)據(jù)，通過“威逼利誘”，把結(jié)果改為有顯著性。

你不能假設(shè)一種因素一定會有影響力。如果你太想得出有影響力的結(jié)論，就可能會操縱實驗。比如說，我們要研究吃糖豆會不會得痤瘡?？茖W(xué)家可能會發(fā)現(xiàn)，吃糖豆和得痤瘡之間沒有關(guān)系。但是，他們還可能會分析吃紫色的糖豆、咖啡色的糖豆、粉紅色的糖豆、紅色的糖豆和得痤瘡的關(guān)系。照這樣分析下去，很可能會像死魚讀出人的情緒一樣，偶然地發(fā)現(xiàn)某一種糖豆，比如說吃綠色的糖豆和得痤瘡之間有相關(guān)性。這種研究其實是沒有意義的。

不要誤解“顯著性”。很多科學(xué)術(shù)語都有誤導(dǎo)，顯著性這個詞就是典型的例子。在我們的日常用語中，顯著指的是很重要、很有意義。統(tǒng)計學(xué)家進行的顯著性檢驗，并不是為了檢驗它的重要性。比如，如果我們測試一種新藥的療效，零假設(shè)是這種藥沒有任何療效。如果能夠推翻零假設(shè)，我們也僅僅證明了這種藥是有療效的，但是它的療效可能非常地小。 統(tǒng)計學(xué)家認為有顯著性，但臨床的大夫卻會告訴你，這種藥在治療中其實沒有任何療效。

孩子在學(xué)習(xí)算術(shù)的時候，其實也是在運用抽象思維能力。

孩子們之所以在學(xué)校里覺得數(shù)學(xué)難，很可能不是數(shù)學(xué)真的難，而是學(xué)校的教育方式有問題。教育學(xué)家在巴西做過一個實驗，他們發(fā)現(xiàn)貧民窟學(xué)校里的孩子，有的數(shù)學(xué)成績好，有的成績不好，但這些孩子都有一個共同的特點，他們家里都很窮，孩子們下了課要幫著爸媽在市場上擺攤賣東西。在擺攤賣東西的時候，這些孩子都很會算賬，數(shù)學(xué)能力都很棒，而且他們的這種數(shù)學(xué)能力跟在學(xué)校里的數(shù)學(xué)成績之間是沒有關(guān)系的。這說明數(shù)學(xué)能力是在應(yīng)用中培養(yǎng)出來的。我們會看到有一些常年做出納、會計、售貨員這些工作的人，他們必須要跟數(shù)字打交道，所以日久天長，就鍛煉出對數(shù)字的敏感，以及非常強的計算能力。

遺憾的是，在學(xué)校里，我們并不注重數(shù)學(xué)的運用，也不知道怎么培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，于是，等學(xué)生到了高中開始學(xué)代數(shù)，或者是到了大學(xué)要學(xué)微積分的時候，會喪失本能的抽象思維能力，他們就會覺得數(shù)學(xué)太難了。不僅如此，學(xué)生們還會覺得，自己根本掌握不了數(shù)學(xué)這門學(xué)問，于是，這就變成了一種自我實現(xiàn)的預(yù)言。

我們可以把抽象思維分為四個層次。

第一個層次的抽象思維是“眼見為實”的抽象。

一把椅子，本來放在房間的這一邊，然后被挪到房間的另一邊。這還是那把椅子嗎？是的，這還是同一把椅子。在作出這樣的判斷的時候，你其實已經(jīng)運用了初級的抽象思維，而這種抽象思維能力，是不少動物都能夠掌握的。這種抽象思維思考的各種事物，是在當(dāng)前環(huán)境下能夠見到的真實的事物。

第二個層次的抽象思維是“想到為實”的抽象。

我告訴你馬。你現(xiàn)在待的房間里沒有馬，但這不妨礙你想象出一匹馬的樣子。你和你的父母已經(jīng)分開一段時間了，但你還是能夠想到他們的音容笑貌。你以前養(yǎng)過一只小狗，后來送人了，但你還是能夠記得當(dāng)時和它在一起的日子。這種抽象思維是指，我們所思考的事物，是你不能在當(dāng)前環(huán)境下親眼所見，但卻是你原本熟悉的事物。

第三種層次的抽象思維是“眼見為虛”的抽象。

到這一層級，就只有人類才能擁有了。我們思考的事物在現(xiàn)實世界中其實是沒有的，但我們能夠虛構(gòu)出來。比如，這個世界上沒有龍，但是我們可以把各種動物的特征融為一體，創(chuàng)造出一種神獸。圖騰是一種虛幻，神話也是一種虛幻。這都是有了概念之后，抽象出來的事物。

第四種層次的抽象思維是“想到為虛”的抽象。

這才是數(shù)學(xué)思維的層次。數(shù)學(xué)對象是全然抽象的，它們同現(xiàn)實世界沒有簡單或者是直接的聯(lián)系。我們在數(shù)學(xué)中用到的概念，比如“0”，比如虛數(shù)，你仔細想想，在現(xiàn)實中是沒有這些東西的。這是一種更高層次的抽象。

進入到第四境界的抽象，你會發(fā)現(xiàn)，抽象之上還有抽象。比如說，你在小學(xué)一年級就知道，1+2=2+1，這叫交換律，你還會學(xué)到結(jié)合律、分配律。再大一點，學(xué)到乘法的時候，你又學(xué)會，1*2=2*1。再大一點，你開始學(xué)幾何。你會發(fā)現(xiàn)，圓也是對稱的，把圓的一半換到另一半，圓還是不變的。等到你學(xué)函數(shù)的時候，你會學(xué)到函數(shù)的交換律和結(jié)合律，等你學(xué)集合論的時候，兩個集合之間也有交換律、結(jié)合律和分配律。等到你學(xué)到線性代數(shù)的時候，是不是又要討論矩陣的交換律？如果你上的是數(shù)學(xué)系，學(xué)到群論的時候，是不是又要講在什么時候下，群能滿足交換律？你再想想，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是不是一以貫之的？數(shù)學(xué)就是一種關(guān)于模式的科學(xué)，有的模式相對簡單，有的模式相對復(fù)雜，復(fù)雜的模式不過是模式的模式，甚至是模式的模式的模式，于是，我們就開始糊涂了。

數(shù)學(xué)家是如何解題的

著名數(shù)學(xué)家波利亞談到，解題有一些基本的技巧。

首先，從熟悉的題目出發(fā)。在解題的時候，首先要想一想有沒有你已經(jīng)知道的非常熟悉的數(shù)學(xué)題。從熟悉的題目開始，再進行更為復(fù)雜的推理。

其次，把復(fù)雜的題目簡化。當(dāng)你遇到一個看起來很復(fù)雜的題目時，首先要想怎樣把它簡化。先作出最簡單的假設(shè)，即使這樣的假設(shè)是非?；闹嚨摹淖詈唵蔚哪Ｐ统霭l(fā)，一步步地再把它復(fù)雜化。從最特殊的例子出發(fā)，再一步步地把它一般化。

再次，把抽象的題目形象化。有很多數(shù)學(xué)家的天分并不是抽象思維能力，而是形象思維能力。他們本能地會從幾何的角度找到代數(shù)的答案。形象思維和抽象思維并不矛盾，形象思維發(fā)達，會有助于你提升抽象思維。

總之，我們可以把數(shù)學(xué)設(shè)想為一個由樂高積木搭成的雄偉建筑。盡管看起來非常復(fù)雜，但如果仔細去看，你會發(fā)現(xiàn)它是由一個一個簡單的模塊拼裝起來的。數(shù)學(xué)的本質(zhì)思想就是簡單的東西是復(fù)雜的，而復(fù)雜的東西其實是簡單的。

10本書幫你具備嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維

精讀

喬丹·艾倫伯格，《魔鬼數(shù)學(xué)》

本周我們的精讀書是著名數(shù)學(xué)家喬丹·艾倫伯格（Jordan Ellenberg）的《魔鬼數(shù)學(xué)》。艾倫伯格和一般的數(shù)學(xué)家不一樣的地方是，他是個文學(xué)愛好者，曾經(jīng)寫過一本嚴(yán)肅小說，還經(jīng)常參加文學(xué)評獎。這種愛好和背景使得他更愿意把數(shù)學(xué)王國的神秘知識講給普通讀者。這本書的英文原名是：How Not To Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking.

我們本周只介紹了艾倫伯格書里的第一部分和第二部分。后面還有三部分也很精彩，我們都沒有講到。這是一件很遺憾的事情。我們的通識課如果不是僅僅一年，而是有兩三年的時間，就能講得更加系統(tǒng)了。請你有空繼續(xù)讀讀艾倫伯格這本書后面的部分，尤其是第五部分，是他作為一位數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)中形式主義的反思。

選讀

1.基思·德夫林，《數(shù)學(xué)猶聊天》

我們在本周還介紹了另一位數(shù)學(xué)家基思·德夫林的《數(shù)學(xué)猶聊天》。

這本書試圖從生物演進的角度解釋數(shù)學(xué)和語言的出現(xiàn)。作者首先介紹了動物和人類的數(shù)學(xué)本能，然后借助腦神經(jīng)科學(xué)，發(fā)現(xiàn)人類在使用數(shù)學(xué)思維的時候，大腦活躍的區(qū)域恰好是我們在說話的時候大腦活躍的區(qū)域，因此，他才得出數(shù)學(xué)其實是另一種方式表達出來的語言這樣一個假設(shè)。他的這一假設(shè)是有道理的。抽象思維、閱讀，這都是我們?nèi)祟愒诤芡斫鼤r期才進化出來的能力，這些能力一定會借助于我們以前的某些功能。德夫林在這本書里告訴我們，語言不僅僅是為了交流思想，更是為了理清思路，他還嘗試分析了語言的出現(xiàn)。他的思路和著名語言學(xué)家喬姆斯基的想法很相似，我們到“表達方式”這個學(xué)習(xí)單元會講到喬姆斯基。德夫林的這本書，我也推薦大家通讀。

2.戴維·薩爾斯伯格，《女士品茶：統(tǒng)計學(xué)如何變革了科學(xué)和生活》

本周的另一本選讀書是戴維·薩爾斯伯格的《女士品茶：統(tǒng)計學(xué)如何變革了科學(xué)和生活》。這是一本比較少見的統(tǒng)計學(xué)科普讀物。大致的線索是沿著統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展歷史來講的，你會對統(tǒng)計學(xué)的脈絡(luò)有個更清晰地了解。遺憾的是，本書每一章的篇幅太短，很多地方講得意猶未盡。我讀這本書最大的啟發(fā)是作者對統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)的反思。究竟什么是概率，其實統(tǒng)計學(xué)家自己也沒有完全想清楚。我倒覺得這是件好事，因為這意味著統(tǒng)計學(xué)很可能還會出現(xiàn)新的革命。

3&4.《大數(shù)據(jù)思維與決策》&《信號與噪聲》

本周我還推薦了兩本跟大數(shù)據(jù)有關(guān)的書。一本是經(jīng)濟學(xué)家伊恩·艾瑞斯寫的《大數(shù)據(jù)思維與決策》。另一本是非常有名的預(yù)測專家納特·西爾弗寫的《信號與噪聲》。這兩本書我以前都有書評。所以就不在本周的課程中重復(fù)了，其實這兩本書對你的思維可能會更有啟發(fā)。

5&6&7.《混沌：開創(chuàng)新科學(xué)》，《夸克與美洲豹》《大師說科學(xué)與哲學(xué)》

本周我還推薦了三本和復(fù)雜性科學(xué)有關(guān)的書，一本是當(dāng)年風(fēng)靡一時的《混沌：開創(chuàng)新科學(xué)》，是著名科學(xué)記者詹姆斯·格雷克寫的。我是上大學(xué)的時候讀的這本書，當(dāng)年激動的心情，現(xiàn)在還能回憶起來。另一本是傳奇科學(xué)家M.蓋爾曼寫的《夸克與美洲豹》。中譯本讀起來有點吃力，而且是一本老書了，不太好找。有條件的讀者還是讀原著為好。還有一本我剛剛讀完的書，是海因茨.R.帕格爾斯寫的《大師說科學(xué)與哲學(xué)：計算機與復(fù)雜性科學(xué)的興起》。很多書的中譯本書名都跟原來的書名差異很大，這樣不好。但是，這本書讀起來很有意思，不過，如果僅憑這個書名，我肯定不會去讀的。

8.G.波利亞，《如何解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》

有喜歡數(shù)學(xué)的中學(xué)生學(xué)霸嗎？我推薦一本G.波利亞寫的《如何解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》。這是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的經(jīng)典。我們本周講了數(shù)學(xué)思維，我希望你能夠破除對數(shù)學(xué)的迷信，但你也不要走到另外一個極端。數(shù)學(xué)跟打網(wǎng)球、下圍棋一樣，是需要不斷練習(xí)的，看似簡單的數(shù)學(xué)知識，其實都是不斷深思、改錯，才發(fā)現(xiàn)的。掌握數(shù)學(xué)思維的最好辦法是做題。波利亞的這本書就是介紹解題技巧的。他已經(jīng)把解題技巧，升華到哲學(xué)層面。

9.卡爾·波普爾，《猜想與反駁：科學(xué)知識的增長》

最后一本書是卡爾·波普爾的《猜想與反駁：科學(xué)知識的增長》，這本書是經(jīng)典，難度較大，但影響深遠。書里提到了一些科學(xué)發(fā)現(xiàn)，包括數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的故事，供你參考。