最優(yōu)控制

最優(yōu)控制

最優(yōu)控制理論研究的是在給定系統(tǒng)模型的條件下找到一個控制律，使得該控制系統(tǒng)達(dá)到一定的最優(yōu)性指標(biāo)的問題。它是變分（variations）的擴(kuò)展，是一種用于推導(dǎo)（求解）最優(yōu)控制策略的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法。

對一個受控的動力系統(tǒng)，從一類允許的控制方案中尋找一個最優(yōu)的控制方案，使得系統(tǒng)的運(yùn)動從由某個初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)狀態(tài)的同時其性能指標(biāo)值為最優(yōu)。

例如，對于一個給定的系統(tǒng)（狀態(tài)空間模型）和二次型性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)一個控制器u，不僅使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且使得二次型性能指標(biāo)J最小化的問題稱為二次型最優(yōu)控制問題，并且具有這樣性質(zhì)的控制器u稱為是二次型最優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制器。

性質(zhì)

  • 一般情況下，由極大值原理計(jì)算出的（根據(jù)系統(tǒng)模型離線規(guī)劃出的）最優(yōu)控制是關(guān)于時間t的函數(shù)u(t)，稱為開環(huán)控制。已知初始狀態(tài)x_0求得u_0=k_0*x_0，根據(jù)系統(tǒng)動態(tài)轉(zhuǎn)移到x_1依次前向傳遞，規(guī)劃出控制作用u_k，這是一種開環(huán)控制方式。

  • 開環(huán)控制的主要缺點(diǎn)是，不能消除或抑制由于系統(tǒng)建模不確定性或環(huán)境變化對系統(tǒng)造成的擾動，在實(shí)際的控制過程中很可能不是最優(yōu)的，也就是魯棒性較差。

這里需要注意的是，在有限時域的情況，求出的k_t是時變的，因?yàn)橄到y(tǒng)經(jīng)歷動態(tài)過程，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，此時k_t也將收斂到定值。而MPC只用了第一個控制量，基于當(dāng)前時刻的，因此可以認(rèn)為是一種閉環(huán)控制。

  • 最優(yōu)控制的另一種形式是表示為狀態(tài)變量x(t)的函數(shù)u(x)，實(shí)際上是引入了反饋，因此稱為閉環(huán)控制，其優(yōu)點(diǎn)是能有效抑制擾動。
求解方法
  • 最優(yōu)控制問題的本質(zhì)是變分為題，經(jīng)典變分理論只能解決一類簡單的最優(yōu)控制問題。
  • 現(xiàn)代變分理論最常用的就是極大值原理和動態(tài)規(guī)劃（dynamic programming）。
  • 按照控制作用的實(shí)現(xiàn)方式分為，開環(huán)控制和閉環(huán)控制。

古典變分法研究對泛函求極值的一種數(shù)學(xué)方法，只能用在控制變量的取值范圍不受限的情況。
極大值原理（Lev Pontryagin）是分析力學(xué)中哈密爾頓方法的推廣，其突出優(yōu)點(diǎn)是可以用于控制變量受限的情況。
動態(tài)規(guī)劃（Bellman）為數(shù)學(xué)規(guī)劃的一種，同樣可用于控制變量受限的情況，一種適合在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算的有效的方法，應(yīng)用十分廣泛。

線性二次型最優(yōu)控制

考慮如下線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x = Ax + Bu} \\ {y = Cx} \end{array}} \right.

其中，x是系統(tǒng)的n維狀態(tài)空間，u是系統(tǒng)的m維控制輸入，y是系統(tǒng)的r維測量輸出，A、B和C分別是適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，系統(tǒng)的初始狀態(tài)是x(0)= x_0。

系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：
J=\int _0^\infty \left[{x^{\rm T}Qx + u^{\rm T}Ru}\right] dt

這里關(guān)心的問題是：對給定的系統(tǒng)和性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)一個控制器u，使得給定的性能指標(biāo)J最小，具有這樣性質(zhì)的控制器u稱為是二次型最優(yōu)控問題的最優(yōu)控制器。

若系統(tǒng)的狀態(tài)都是可以直接測量，且考慮的控制器是狀態(tài)反饋控制器，則可以證明，使得性能指標(biāo)最小化的最優(yōu)控制器具有以下的線性狀態(tài)反饋形式：
u= -Kx

本節(jié)將基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論給出最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法。將控制器代入系統(tǒng)方程，可得：
\dot x = (A-BK)x

若系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則根據(jù)線性時不變系統(tǒng)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，閉環(huán)系統(tǒng)一定存在一個二次型的李雅普諾夫函數(shù)V(x)= x^{\rm T}Px，其中P是一個對稱正定矩陣。

利用系統(tǒng)的穩(wěn)定性，作如下推導(dǎo)：
\begin{aligned} J &= \int ({{x}^{\rm T}}Qx + {u^{\rm T}}Ru)dt \\ &= \int ({{x}^{\rm T}}Qx + {u^{\rm T}}Ru+\fracu0z1t8os{{dt}}V\left( x \right))dt - \int \fracu0z1t8os{{dt}}V\left( x \right))dt \\ &= \int( {{x}^{\rm T}}Qx + {u^{\rm T}}Ru+ x^{\rm T} \left[ {P(A-BK)+(A-BK)^{\rm T}P} \right]x ) dt - V\left. {\left[ {x\left( t \right)} \right]} \right|_{t = 0}^{t = \infty } \\ &= \int{{x}^{\rm T}}(Q +K^{\rm T}RK +PA+A^{\rm T}P-PBK-K^{\rm T}B^{\rm T}P )x dt+ x_0^{^{\rm T}}Px_0 \\ \end{aligned}

以上通過分別加上和減去一項(xiàng)\int _0^{\infty}\fracu0z1t8os{{dt}}V\left( x \right))dt，并沿閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡求V(x)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，其目的是通過引入更多包含反饋增益矩陣K的信息，采用配平方的方法來確定使得性能指標(biāo)J最小化的反饋增益矩陣K，根據(jù)：
\begin{aligned} &K^{\rm T}RK-PBK-K^{\rm T}B^{\rm T}P \\ &= K^{\rm T}RK-PBK-K^{\rm T}B^{\rm T}P +PBR^{-1}B^{\rm T}P-PBR^{-1}B^{\rm T}P \\ &= (K-R^{-1}B^{\rm T}P)^{\rm T}R(K-R^{-1}B^{\rm T}P)- PBR^{-1}B^{\rm T}P\\ \end{aligned}

可得：
\begin{aligned} J= \int &x^{\rm T}(PA+A^{\rm T}P-PBR^{-1}B^{\rm T}P+Q)xdt \\ &+ x_0^{^{\rm T}}Px_0 + \int x^{\rm T}(K-R^{-1}B^{\rm T}P)^{\rm T}R(K-R^{-1}B^{\rm T}P)xdt \\ \end{aligned}

求解最優(yōu)控制問題就是要尋找一個增益矩陣K，使得上述性能指標(biāo)J最小。由于上式中只有第三項(xiàng)依賴于矩陣K，而且還是非負(fù)的。只有當(dāng)該項(xiàng)等于零時，J才能最小，而這項(xiàng)等于零當(dāng)且僅當(dāng)K=R^{-1}B^{\rm T}P（控制器增益取決于李雅普諾夫矩陣P），此時性能指標(biāo)的最小值為：
\begin{aligned} J= \int &x^{\rm T}(PA+A^{\rm T}P-PBR^{-1}B^{\rm T}P+Q)xdt +x_0^{^{\rm T}}Px_0 \\ \end{aligned}

顯然，增益矩陣K和性能指標(biāo)J依賴于待定的對稱正定李雅普諾夫矩陣P。特別是當(dāng)可以找到一個對稱正定陣P使得：
PA+A^{\rm T}P-PBR^{-1}B^{\rm T}P+Q=0

則，此時性能指標(biāo)J^{\star}=x_0^{^{\rm T}}Px_0 = V(x_0)，上述方程稱為黎卡提矩陣方程。這里也可以看出李雅普諾夫函數(shù)也就是最優(yōu)值函數(shù)。

總結(jié)以上分析給出以下定理：

定理：若（A,B）能控，則線性二次型最優(yōu)控制問題可解，最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器為：
u = -Kx = -R^{-1}B^{\rm T}Px性能指標(biāo)的最小值J^{\star}=x_0^{^{\rm T}}Px_0。其中的P是黎卡提方程的一個對稱正定解。

性能指標(biāo)最小值依賴于系統(tǒng)初始狀態(tài)x_0和黎卡提方程的一個解矩陣。

由于最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器一定是系統(tǒng)的一個穩(wěn)定化控制器，故線性二次型最優(yōu)控制問題提供了求解系統(tǒng)穩(wěn)定化控制器的一種新方法。用該方法設(shè)計(jì)的穩(wěn)定化控制器，不僅能夠使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，而且還能保證控制系統(tǒng)具有最優(yōu)的動態(tài)性能。

參考文獻(xiàn)

1.https://blog.csdn.net/u012267725/article/details/77986517
2.https://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_control

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