微積分的產(chǎn)生與發(fā)展是近代技術(shù)文明產(chǎn)生的關(guān)鍵事件之一，它引入了若干及其成功的、對以后許多數(shù)學的發(fā)展起決定性作用的思想。事實上，無論微積分的計算法則，還是微積分的思想核心都在于極限理論。極限理論充分地發(fā)揮了數(shù)學符號表達的功效，使得數(shù)學研究的對象從常量走向變量，從靜態(tài)走向動態(tài)，從平直走向彎曲。
我們先來說說微積分的產(chǎn)生。
現(xiàn)代科學的發(fā)展得益于文藝復興。文藝復興是從重新認識古希臘文明開始的，這個重新認識恢復了人的地位和尊嚴。新的思想、新的科學、新的技術(shù)如雨后春筍，這些都構(gòu)成了微積分產(chǎn)生的背景。
新的思想主要體現(xiàn)于兩位杰出人物，一位是英國哲學家培根，另一位是法國哲學家、解析幾何的創(chuàng)始人笛卡爾。培根探求研究科學的方法，是近代歸納法的創(chuàng)始人。培根說過一句名言：知識就是力量。笛卡爾尋求建立真理的方法，強調(diào)直覺和演繹。迪卡爾的名言是：我思故我在。他們所倡導的理性精神和實證方法，無論是對自然科學還是對人文科學都產(chǎn)生了積極而深遠的影響。
新的科學是從哥白尼開始的，他的日心說劃破了歐洲中世紀千年的黑暗。
對微積分進行系統(tǒng)闡述，從而建立起這門學科的是牛頓和萊布尼茨。
微積分的核心是極限運算。一個典型的例子，就是牛頓關(guān)于瞬時速度的思考。就像高速攝影的定格，牛頓用靜態(tài)的計算非常美妙地刻畫了動態(tài)過程的瞬間。盡管還有許多問題說不清楚，但牛頓用他創(chuàng)造出來的數(shù)學方法，成功地描述了那個時代人們所關(guān)心的一切自然現(xiàn)象：物體下落、行星運動、彗星周期、海洋潮汐、光的折射、力的表達等等。這充分說明，牛頓已經(jīng)成功地完成了關(guān)于極限運算的第一步抽象。當然，為了尋求合理的解釋，人們還需要進行第二步抽象。但是，雖然第二步抽象的結(jié)果在形式上可能是美妙的，但第一步抽象卻更為本質(zhì)，因為第一步抽象發(fā)現(xiàn)新的知識，第二步抽象只是合理地表達了新的知識。
萊布尼茨研究的問題與牛頓不同，但是在本質(zhì)上是一致的，都用到了極限計算。萊布尼茨首先定義了函數(shù)，用它表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量的縱坐標，然后萊布尼茨研究用函數(shù)表達的曲線的切線，這個切線與倒數(shù)有關(guān)，并且比牛頓研究的瞬時速度更具幾何直觀。
經(jīng)過近二十年的努力，萊布尼茨于1684年在《教師學報》上發(fā)表了他關(guān)于微積分的第一篇論文，這也是第一篇系統(tǒng)闡述微積分的論文。與牛頓相同的是，萊布尼茨也不能很好地解釋極限運算的規(guī)則。與牛頓不同的是，萊布尼茨是一位偉大的哲學家，面對來自各個方面的過分苛刻的批評，他在1695年《教師學報》的文章中給出了富有哲理的、今天仍然有價值的回答：“過分的審慎不應(yīng)該使我們拋棄創(chuàng)造的成果?！?/p>
積分最初的目的是計算被曲線圍成的區(qū)域的面積。這是一個非常古老的問題，一直可以追索到古希臘的學者歐多克斯和阿基米德。到來17世紀，借助直角坐標系，人們把問題闡述得更加清晰。與求瞬時速度的想法一樣：如果令n趨于無窮大，則小矩形面積之和就會等于曲線下面積。
萊布尼茨是個制造符號的高手，他把這一系列的計算過程用符號代替，把計算方法推廣到一般。這樣，積分學就建立起來了。
由解析幾何知道，一個連續(xù)函數(shù)總能與一條曲線對應(yīng)，于是積分就有了很好的直觀解釋：一個函數(shù)的積分就是對應(yīng)曲線下面積。積分的本質(zhì)也是利用了極限運算。
由牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分的過程可以知道，他們的思想依賴的是物理直觀和幾何直觀。直觀是創(chuàng)造的源泉，但不能作為解釋創(chuàng)造的根據(jù)。極限理論嚴謹化的歷程是數(shù)學家再抽象的過程。再抽象要求數(shù)學家必須對極限給出明確的定義。理解極限運算是困難的，根本原因是要涉及無窮的概念。這將涉及極限運算、無窮小量、連續(xù)函數(shù)、導數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)等一系列概念。是瑞士數(shù)學家惠利爾給出了極限的符號，并沿用至今。
事實上，不僅創(chuàng)造需要依賴直覺，理解也需要依賴直覺。理解極限首先要從離散的、變化的量開始。當一個量以小于任何給定的量逼近另一個量時，就可以說后者是前者的極限。極限理論是微分學真正形而上學的基礎(chǔ)。
經(jīng)過柯西以及與柯西同時期數(shù)學家們的努力，終于可以理解并表達離散量的極限。但對于微積分來說，更需要的是關(guān)于連續(xù)量的極限，這將涉及函數(shù)及函數(shù)的連續(xù)性。無論是牛頓還是榮布尼茨，他們創(chuàng)建的微積分的計算對象都是函數(shù)。
函數(shù)這個詞最初出現(xiàn)在萊布尼茨的一部手稿中，用來表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量。后世數(shù)學家認識到，微積分只是一種計算方法，而要把這種計算方法的理論基礎(chǔ)研究清楚，必須建立一個從頭到尾相對成體系的學科數(shù)學分析。
對于研究者而言，事物的高度抽象有利于把握事物的本質(zhì)，分析事物間的關(guān)聯(lián)，對于學習者而言，過分抽象往往會適得其反，因為每一次抽象都必須舍去事物的一部分表象，進而舍去了事物原本的生動與直觀。
