The Substitution Rule 替換規(guī)則
找到 不定積分 很重要，但是很多時(shí)候
很難直接找到對(duì)應(yīng)的 不定積分
比如說(shuō)：
這個(gè)時(shí)候，如果我們?cè)O(shè)
那么
那么，這個(gè)時(shí)候，我們可以利用u來(lái)替換，得出結(jié)果
由 鏈?zhǔn)椒▌t
我們可以得到：
如果這里，我們用 u = g(x) 去替換
則
或者 把 F' 寫成 f，則
The Substitution Rule 替換法則
如果 u = g(x)，則
最后轉(zhuǎn)化為 du 和 dx 的運(yùn)算
例子
下面是一些例子
例子1
我們?cè)O(shè)
由
可以得到對(duì)應(yīng)的替換
所以：
例子2
-
解法1
設(shè)
則
所以：
Paste_Image.png -
解法2
設(shè)
則：
所以：
例子3
設(shè)
則
所以
例子4
設(shè)
則
所以：
例子5
設(shè)
則
有：
所以：
例子6
因?yàn)閟inx 的 導(dǎo)數(shù) 為 cosx， 則可以想到
則：
所以：
對(duì)應(yīng)的自然對(duì)數(shù)，可以化簡(jiǎn)成：
所以，可以推導(dǎo)出
tan的不定積分
Definite Integrals 定積分
定積分，也就是按不定積分變化，在帶入值去計(jì)算值
The Substitution Rule for Definite Integrals 定積分變化法則（定理6）
同理，有
注意：
這里
自變量改變，對(duì)應(yīng)范圍也會(huì)改變
不定積分的上下限，由 [a, b] 變?yōu)榱?[g(a), g(b)]
例子
一些例子
例子7
設(shè)
有
這里對(duì)應(yīng)的函數(shù)的連續(xù)可導(dǎo)的，但是，有定理6
需要注意：
自變量改變，對(duì)應(yīng)范圍也會(huì)改變
當(dāng)x=0時(shí)， u=1； 當(dāng)x=4時(shí)， u=9
所以
例子8
設(shè)
則
而，對(duì)應(yīng)的范圍
由x的[1, 2] 變?yōu)?[-2, -7]
所以：
例子9
設(shè)
則
而，對(duì)應(yīng)的范圍
由x的[1, e] 變?yōu)?[0, 1]
所以：
對(duì)應(yīng)的圖像為：
Symmetry 對(duì)稱
由前面的替換法則，可以有
- 證明：
我們可以把對(duì)應(yīng)的過(guò)程，分為2部分：
設(shè)
對(duì)應(yīng)的范圍，由x的[0, -a] 變?yōu)?[0, a]
所以：
即：
這個(gè)時(shí)候，
-
如果 f(x) 是 偶函數(shù)，有
則
-
如果 f(x) 是 奇函數(shù)，有
則
例子
一些例子
例子10
因?yàn)?br>
是偶函數(shù)，有
所以：
例子11
因?yàn)?br>
是奇函數(shù)，有
所以
