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整數(shù)劃分問題是算法中的一個經(jīng)典命題之一，有關這個問題的講述在講解到遞歸時基本都將涉及。所謂整數(shù)劃分，是指把一個正整數(shù)n寫成如下形式:</br></br>
n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數(shù)，并且1 <= mi <= n），則{m1,m2,...,mi}為n的一個劃分。</br></br>
如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬于n的一個m劃分。這里我們記n的m劃分的個數(shù)為f(n,m);</br></br>
例如但n=4時，有5個劃分，{0,0,0,4},{0,0,3,1},{0,0,2,2},{0,2,1,1},{1,1,1,1};</br></br>
注意{0,0,1,3} 和 {0,0,3,1}被認為是同一個劃分。</br></br>
該問題是求出n的所有劃分個數(shù)，即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法;
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<a>遞歸法</a></br>
根據(jù)n和m的關系，考慮以下幾種情況：</br>
（1）當 n = 1 時，不論m的值為多少（m > 0 )，只有一種劃分即 { 1 };
<pre><code> 因此 f(1, m) = 1;</code></pre></br>
（2）當 m = 1 時，不論n的值為多少，只有一種劃分即 n 個 1，{ 1, 1, 1, ..., 1 };</br>
<pre><code> 因此 f(n, 1) = 1;</code></pre></br>
（3）當 n = m 時，根據(jù)劃分中是否包含 n，可以分為兩種情況：
a. 劃分中包含n的情況，只有一個即 { n }；
b. 劃分中不包含n的情況，即劃分中最大的數(shù)字也比 n 小，也就是 n 的所有 ( n - 1 ) 劃分。
<pre><code> 因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);</code></pre></br>
（4）當 n < m 時，由于劃分中不可能出現(xiàn)負數(shù)，因此就相當于 f(n, n)， 轉至第三種情況;</br></br>
（5） 但 n > m 時，根據(jù)劃分中是否包含最大值 m，可以分為兩種情況：
a. 劃分中包含 m 的情況，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和為 （n - m），可能再次出現(xiàn) m，因此是（n - m）的 m 劃分，因此這種劃分個數(shù)為 f(n-m, m);
b. 劃分中不包含 m 的情況，則劃分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 劃分，個數(shù)為 f(n, m - 1);
<pre><code> 因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);</code></pre>
綜合以上情況，我們可以看出，上面的結論具有遞歸定義特征，其中（1）和（2）屬于回歸條件，（3）和（4）屬于特殊情況，將會轉換為情況（5）。而情況（5）為通用情況，屬于遞推的方法，其本質主要是通過減小m以達到回歸條件，從而解決問題。其遞推表達式如下：
<pre><code>
f(n, m) = 1; ( n = 1 or m = 1 )
f(n, n); ( n < m )
1+ f(n, m - 1); ( n = m )
f(n - m, m) + f(n, m - 1); ( n > m )
</code></pre>
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給出代碼如下（c/c++實現(xiàn)）
<pre>
<code>
int f(int i, int j)
{
int ret;
if (j == 1 || i == 1)//情況（1）,（2）
return 1;
else if (i == j)//情況（3）
ret = 1 + f(i,j-1);
else if (i < j)//情況（4）
ret = f(i, i);
else if (i > j)//情況（5）
ret = f(i-j,j) + f(i,j-1);
return ret;
}
</code>
</pre>
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注：本文原稿摘自http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html
