? ? ? 有一種我們熟悉到不能再熟悉的圖形：三角形。想必大家都知道三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等于180度，而且至少有一個直角。一個外角等于同內(nèi)角的另外兩個內(nèi)角之和。在三角形中，還有一種特殊三角形叫做直角三角形。直角三角形除了擁有基本三角形的性質(zhì)，還具有其他性質(zhì)。在這其中，就有一個是我們今天的主角。沒錯，就是所謂的“勾股定理”。
? ? ? （想必大家已經(jīng)知道了公式，不知道的可以詳細(xì)聽我來講。知道的可以跳過下面這段，不知道的可看）
? ? ? 直角三角形的內(nèi)角和同樣是180度。在其具有一個直角的情況下，其他兩銳角是互余的。也就是說兩銳角之和是90度。因?yàn)閮?nèi)角和減去直角度數(shù)（180-90）就是理所當(dāng)然的90度（=90）。除了上述性質(zhì)，我一直有一種直覺，覺得直角三角形的兩條直角邊可以通過某種方式得到斜邊或者是關(guān)于斜邊的數(shù)。于是我在一張方格圖上一直嘗試鼓搗出些什么來，結(jié)果，驚喜出現(xiàn)了！......
? ? ? 我是在方格圖上先畫了一個直角三角形的兩條直角邊，單位（長度）分別是3、4。然后在兩條線的端點(diǎn)做了三角形的斜線，并分別標(biāo)注了點(diǎn)A、B、C。然后我以C點(diǎn)為圓心，以AC線段為半徑畫弧，落三角形之外，如下圖：
? ? ? 哎？這條弧的落點(diǎn)為什么如此奇怪？我沒看錯的話，難道是與方格點(diǎn)重合了？我在康康：
? ? ? 的確是！這條弧竟然余方格點(diǎn)重合了，得出了另外一個點(diǎn)，我們就暫且稱之為A'。然后我又將A'鏈接了C點(diǎn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：
? ? ? 喲！竟然出現(xiàn)了一條單位為5的線段！
? ? ? 通過這個現(xiàn)象可以發(fā)現(xiàn)什么？沒錯，就是直角三角形ABC三條邊之間的關(guān)系。那么到底有什么關(guān)系？3、4、5，除了是連續(xù)整數(shù)好像什么也不是。但我嘗試了一下將三條邊分別平方，通過某種關(guān)系組合，發(fā)現(xiàn)：
? ? ? 兩條直角邊平方（分別）之和竟然是斜邊的平方！So this is勾股！這個性質(zhì)應(yīng)該就是在開頭所想的“兩條直角邊可以通過某種方式得出斜邊或者關(guān)于斜邊的數(shù)”。雖然得到了“證實(shí)”，但是還是得保持冷靜，這個性質(zhì)在所有的直角三角形上都能得到證實(shí)嗎？所以還得選取另一種方法去證明。于是我繼續(xù)在方格上鼓搗：
? ? ? 哎？試了一下的我，好想發(fā)現(xiàn)c方只能取一個近似值，雖然說3平方?3平方等于的18的確和4.3乘4.3等于的18.49大致相等，但也只能取近似的值。而且像這樣的斜線一定不能用有理數(shù)表達(dá)的，我用尺子量的肯定不準(zhǔn)確（這個點(diǎn)可以取參考根號的作用）。所以，到底該如何去證明呢？
? ? 我認(rèn)為可以通過在開頭的例子中邊長為3、4、5的直角三角形“做實(shí)驗(yàn)”，來證明：
? ? ? 沒錯，我在畫直角三角形之余，也為三條邊填上了相對應(yīng)的邊，組成了正方形。
? ? ? 在圖上，我表明了三條直角三角形的邊a、b、c。那他們相對應(yīng)的正方形就是a方、b方、c方（雖然格子有單位，但是我們這里暫且稱字母）?，F(xiàn)在我們假設(shè)要計算c方，也就是大正方形的面積，但我們不知道C等于什么，但是確定a等于3，b等于4，那我們該怎么求c？現(xiàn)在直角三角形的面積是3??4?2=6，用字母表示就是1/2ab。要求大正方形，學(xué)習(xí)過割補(bǔ)和整式的我開始行動。我決定再創(chuàng)造一個大的圖形，然后讓這個大圖形減去其他圖形得到邊長為C正方形的面積。話不多說，開搞！
? ? ? 如果是大圖形，看到直角三角形的我發(fā)現(xiàn)了什么：
? ? ? 哎嘿，用直角三角形斜邊對邊長填補(bǔ)了正方形的邊，成為了另一個大正方形！而且大正方形的邊長是直角三角形的兩直角邊之和，也就是a?b。按照此來推算邊長為c正方形的面積，得出式子再化簡，如下圖：
? ? ? 通過計算，我得出邊長為c正方形面積為a方?b方......哎？哦！這個正方形本來不就是c方嗎？所以a方?b方=c方！進(jìn)一步帶入數(shù)字，a方?b方=9?16=25，25正好是5的平方！3方?4方=5方，這不正好驗(yàn)證了勾股定理？
? ? ? 但是，這是否只是一個特例？性質(zhì)對于其他直角三角形有效嗎？就像是“同位角相等，兩直線平行”一樣，難道要找無數(shù)個特例去證明嗎？要知道如果證明起來就無邊無境了，畢竟整數(shù)可帶入a方?b方=c方的庫存可是不小（5、12、13；8、15、17；7、24、25......），如果碰到斜線為根號2這樣的“無理數(shù)”情況，你還能證嗎？所以我有個想法：字母不是可以表示任何數(shù)嗎？如果將每一種情況（數(shù)值）都帶入字母，并且用剛才的方法去證，總是正確的。
? ? ? 那么如果三角形邊的長度是小數(shù)，可以嗎？毫無疑問按照剛才的理論是可以的，但小數(shù)也有見效的時候。
? ? ? 雖然存在“略等于”的誤差，但是小數(shù)的效果還是非常明顯了，而且有字母在背后撐腰，勾股定理永遠(yuǎn)不會倒塌！哦對了，邊長可不能是負(fù)數(shù)哈......
? ? ? 那么我就有新問題了：勾股定理難道只是適用于直角三角形？可以把勾股定理當(dāng)作判定直角三角形的方法嗎？我們下期再接著討論，拜拜！
? ? ? 哦，對了，其實(shí)還有一個關(guān)于勾股的證明，那就是美國總統(tǒng)加菲爾德的證明方法：
? ? ? 證明過程：
? ? ? 不知大家能不能看懂，其實(shí)等式左邊就是整個圖形（梯形）的計算算式，右邊是通過計算一個個梯形之間的面積再加起來，就是梯形本身的面積。再化簡就得到a方?b方=c方了。
? ? ? 加菲爾德通過圖像寫出了一個等式，并且化解得到了勾股定理的公式。但是從圖中可以看出，最大的直角三角形的兩條直角邊長度相同，所以這說明此方法只對等腰直角三角形的勾股定理有效，不具有普遍性。非等腰直角三角形也可以，就比如說在文章開頭的那一個直角三角形ABC（邊長分別為3、4、5）。
? ? ? 探究到底結(jié)束，下次再見！
