第二講集合的勢(shì)

2.1 一一對(duì)應(yīng)

設(shè) $A,B$ 為兩個(gè)有限集，自然會(huì)發(fā)生下面的問(wèn)題：它們所含元素的個(gè)數(shù)是否相同。我們可以數(shù)一下每一集所含的元素的個(gè)數(shù)是多少，從所得的數(shù)字是否相同就可以解決這個(gè)問(wèn)題。但是不數(shù)也可以解決問(wèn)題。例如
$A=\{a,b,c,d,e\}\\ B=\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\}$
我們觀察下面的表：

A:	$a$	$b$	$c$	$d$	$e$
B:	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\delta$	$\epsilon$

我們雖然不數(shù)，也曉得 $A$ 與 $B$ 的元素個(gè)數(shù)是相同的。

上面所說(shuō)的比較法有這樣一個(gè)特性：對(duì)于一集的每一個(gè)元素，另一個(gè)集中有一個(gè)并且只有一個(gè)元素和它對(duì)應(yīng)，反之亦然。這個(gè)比較法的優(yōu)點(diǎn)是它可以用之于無(wú)窮集。例如：

M:	$1$	$2$	$3$	$4$	$\cdots$
N:	$1$	$1/2$	$1/3$	$1/4$	$\cdots$

立即可以看到 $N$ 與 $M$ 所含含元素是一對(duì)一地配的起來(lái)的。

現(xiàn)在我們給配對(duì)無(wú)余的概念以精確的定義：

定義1 設(shè) $A$ 與 $B$ 為兩集合，具有下面性質(zhì)的法則 $\phi$ :使 $A$ 的任一元素 $a$ ，有 $B$ 的唯一元素 $b$ 與之對(duì)應(yīng)，并且使 $B$ 的任一元素 $b$ ，也有 $A$ 的唯一元素 $a$ 與之對(duì)應(yīng)，此時(shí)稱 $\phi$ 建立了 $A$ 與 $B$ 的一對(duì)一的對(duì)應(yīng)，簡(jiǎn)稱為一一對(duì)應(yīng)。

定義2 若 $A$ 與 $B$ 間能建立一一對(duì)應(yīng)，則稱 $A$ 與 $B$ 是“對(duì)等”的，或者稱它們的"勢(shì)"是相同的。記作: $A$ ~ $B$ 。

$Example 2.1$ 自然數(shù)全體構(gòu)成的集合與偶數(shù)全體構(gòu)成的集合是對(duì)等的。
$N=\{n\},M=\{2n\}$
定理2.1

$A$ ~ $A$
若 $A$ ~ $B$ ,則 $B$ ~ $A$
若 $A$ ~ $B$ , $B$ ~ $C$ ,則 $A$ ~ $C$

定理2.2 設(shè) $A_1,A_2,A_3,\cdots$ 及 $B_1,B_2,B_3,\cdots$ 為二集系列。若這些集 $A_n$ 各不相交，這些集 $B_n$ 也各不相交，即
$A_iA_j=\emptyset,B_iB_j=\emptyset ,i\ne j$
且
$A_nB_n=\emptyset ,n=1,2,3,\cdots$
則
$\Sigma_{k=1}^{\infty}A_k對(duì)等于\Sigma_{k=1}^{\infty}B_k$

2.2 勢(shì)的比較

我們?cè)谇懊嬷v到兩個(gè)集合對(duì)等，即勢(shì)是相同的，那么什么是勢(shì)？康托曾經(jīng)對(duì)于勢(shì)的概念，有過(guò)一個(gè)相當(dāng)模糊的定義，他說(shuō)：”所謂一個(gè)集 $A$ 的勢(shì)，乃表示 $A$ 的一種一般概念，當(dāng)我們考慮這個(gè)集合時(shí)，無(wú)論是 $A$ 的元素所有性質(zhì)，還是 $A$ 的元素的次序都抽去之后，這個(gè)概念仍舊是保持的“，他用
$\bar{\bar{A}}$
表示 $A$ 的勢(shì)。

今天，我們對(duì)于康托定義勢(shì)的概念的方法不能認(rèn)為滿意，但是仍沿用他的記號(hào) $\bar{\bar{A}}$ 。我們給勢(shì)下這樣的定義：

定義3 將所有集分類，凡二集對(duì)等時(shí)且只有對(duì)等時(shí)稱為屬于同一類。對(duì)于每一類與以一個(gè)記號(hào)，稱此記號(hào)為該類中任一集的勢(shì)。若 $A$ 的勢(shì)是 $\alpha$ ，則記以
$\bar{\bar{A}}=\alpha$
用這樣的定義方法，顯然凡對(duì)等的集合，其勢(shì)相同。

定義4 設(shè)二集 $A$ 和 $B$ 的勢(shì)分別為 $\alpha$ 和 $\beta$ :
$\bar{\bar A}=\alpha,\bar{\bar B}=\beta$
如果：

$A$ 與 $B$ 不對(duì)等
$B$ 中含有一個(gè)子集 $B^*$ 與 $A$ 對(duì)等

那么說(shuō)： $A$ 的勢(shì)小于 $B$ 的勢(shì)，或者說(shuō) $B$ 的勢(shì)大于 $A$ 的勢(shì)，記作
$\alpha<\beta,or,\beta>\alpha$
$Example$
$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_{32}\},\bar{\bar A}=32\\ B=\{b_1,b_2,\cdots,b_{49}\},\bar{\bar B}=49$
顯然 $A$ 與 $B$ 不對(duì)等。但是有子集 $B*=\{b_1,b_2,\cdots,b_{32}\}$ 使 $A$ ~ $B^*$ ,所以
$32<49$
定理2.3 設(shè) $M$ 的任一集合， $T$ 是 $M$ 的一切子集所成之集合，那么
$\bar{\bar T}>\bar{\bar M}$

證明：

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=T" alt="T" mathimg="1">中含有 $M$ 的一切子集，所以 $T$ 中有 $M$ 本身，有空集，又有 $M$ 中每一元素所成的單元素集，后者成一集 $T^*$ , $T^*$ ~ $M$ ， $T^*\subset T$ 。下面只要證明 $T$ 不對(duì)等于 $M$ 就好了。

如果不然，則 $T$ ~ $M$ :設(shè) $\phi$ 使 $T$ 與 $M$ 組成一一對(duì)應(yīng)，于是對(duì)于 $M$ 中的每個(gè) $m$ , $T$ 中有唯一的 $\phi (m)$ 與之對(duì)應(yīng)，而 $T$ 中每一個(gè)元素一定有且僅有一個(gè) $m\in M$ ,使其是 $\phi (m)$ .

$M$ 中元素 $m$ ,滿足 $m\in \phi(m)$ 的姑且稱為“好”的元素。否則稱為“壞”的元素。那么，與 $M$ 本身對(duì)應(yīng)的元素便是“好”的，與空集對(duì)應(yīng)的元素便是“壞”的。

于是， $M$ 中的元素不是“好”的就是“壞”的。設(shè) $M$ 中所謂“壞”的元素的全體為 $S$ ,則 $S\in T$ .而 $M$ 中必有元素 $m_0$ 適合
$S=\phi(m_0)$
然這個(gè)元素是“好”的呢還是“壞”的呢？如果說(shuō) $m_0$ 是“好”的，那么
$m_0\in \phi(m_0)=S$
可是 $S$ 中僅含“壞”的元素，乃得矛盾。如果說(shuō) $m_0$ 是“壞”的，那么
$m_0\notin \phi(m_0)=S$
可是這樣，又表明 $m_0$ 是“好”的，亦為不可能。因此從而得到 $m_0$ 既非“好”的又非“壞”的，于是陷于矛盾。所以 $T$ 與 $M$ 不能對(duì)等。

定理2.4 設(shè) $A\supset A_1\supset A_2$ ,若 $A_2$ ~ $A$ ，則 $A_1$ ~ $A$ .

證明：設(shè)由對(duì)應(yīng)法 $\phi$ 使 $A$ 與 $A_2$ 成一一對(duì)應(yīng)。于是對(duì)于 $A$ 中每一元素，在 $A_2$ 中有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)。

所以在該對(duì)應(yīng)法則 $\phi$ 下, $A_2$ 中有子集 $A_3$ 對(duì)等于 $A_1$ ,又因 $A_2\subset A_1$ ~ $A_3$ ，所以有 $A_3$ 的子集 $A_4$ 對(duì)等于 $A_2$ .

此種手段繼續(xù)進(jìn)行，可以得到 $A$ 的一串子集
$A\supset A_1 \supset A_2\supset A_3\supset A_4\supset A_5 \supset \cdots$
具有性質(zhì)：

? $A$ ~ $A_2$

? $A_1$ ~ $A_3$

? $A_2$ ~ $A_4$

? $A_3$ ~ $A_5$

? $\cdots \cdots \cdots$

由此在相同的對(duì)應(yīng)法則 $\phi$ 下可得：

? $A-A_1$ ~ $A_2-A_3$

? $A_1-A_2$ ~ $A_3-A_4$

? $A_2-A_3$ ~ $A_4-A_5$

? $\cdots \cdots \cdots$

再設(shè)
$D=AA_1A_2A_3\cdots$
則
$A=\underline{(A-A_1)}+(A-A_2)+\underline{(A_2-A_3)}+(A_3-A_4)+(A_4-A_5)+\cdots+D,\\ A_1=(A_1-A_2)+\underline{(A_2-A_3)}+(A_3-A_4)+\underline{(A_4-A_5)}+\cdots \cdots+D,$
在上面的兩個(gè)式子，每一式子中的被加集之間兩兩無(wú)共同元素。而劃線的兩集合之間是對(duì)等的，由此推得 $A$ 與 $A_1$ 對(duì)等。

定理2.5 （伯恩斯坦定理）設(shè) $A$ 和 $B$ 為二集，如果 $A,B$ 中任何一個(gè)都與另一集合的某子集對(duì)等，則 $A$ 與 $B$ 對(duì)等.

證明：設(shè) $A$ ~ $B^*$ , $B^*\subset B$ ,而 $B$ ~ $A^*$ , $A^*\subset A$ ,

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=B%5E*%5Csubset%20B" alt="B^*\subset B" mathimg="1">~ $A^*$ ,所以 $A^*$ 有子集 $A^{**}$ 對(duì)等于 $B^*$ ,即 $A^{**}$ ~ $B^*$ 。

其中 $A\supset A^* \supset A^{**}$ ,因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=A%5E%7B**%7D" alt="A^{**}" mathimg="1">~ $B^*$ ， $B^{*}$ ~ $A$ ,

所以 $A$ ~ $A^{**}$ ,在由定理2.4可得， $A$ ~ $A^{*}$ ,又 $A^*$ ~ $B$ ,故推出

? $A$ ~ $B$

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集合的勢(shì)

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第二講 集合的勢(shì)

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