前言：本文通過先通過了解一些二叉樹基礎(chǔ)知識，然后在轉(zhuǎn)向?qū)W習(xí)二分搜索樹。

1 樹

1.1 樹的定義

樹（Tree）是n（n>=0)個節(jié)點的有限集。n=0時稱為空樹。在任意一顆非空樹中：

（1）有且僅有一個特定的稱為根（Root）的節(jié)點；
（2）當(dāng)n>1時，其余節(jié)點可分為m(m>0)個互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一個集合本身又是一棵樹，并且稱為根的子樹。
此外，樹的定義還需要強調(diào)以下兩點：
（3）n>0時根節(jié)點是唯一的，不可能存在多個根節(jié)點，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的樹只能有一個根節(jié)點。
（4）m>0時，子樹的個數(shù)沒有限制，但它們一定是互不相交的。

下圖為一棵有10個節(jié)點的一般樹的結(jié)構(gòu)：

一般樹結(jié)構(gòu).png

由樹的定義可以看出，樹的定義使用了遞歸的方式。遞歸在樹的學(xué)習(xí)過程中起著重要作用。

2 二叉樹

2.1 二叉樹定義

二叉樹是n(n>=0)個節(jié)點的有限集合，該集合或者為空集（稱為空二叉樹），或者由一個根節(jié)點和兩棵互不相交的、分別稱為根節(jié)點的左子樹和右子樹組成。
圖2.1展示了一棵一般二叉樹結(jié)構(gòu)：

一般二叉樹結(jié)構(gòu).png

2.2 二叉樹特點

由二叉樹定義以及圖示分析得出二叉樹有以下特點：

（1）每個節(jié)點最多有兩顆子樹，所以二叉樹中不存在度大于2的節(jié)點。
（2）左子樹和右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒。
（3）即使樹中某節(jié)點只有一棵子樹，也要區(qū)分它是左子樹還是右子樹。
二叉樹是動態(tài)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

可以用一下代碼來表示一個樹節(jié)點：

class Node<E>{
   E e;
  Node left;
  Node right;
}

圖代碼.png

2.2.1 特性

1.二叉樹具有天然的遞歸結(jié)構(gòu)
這是由于，每個節(jié)點的左子樹與右子樹都是二叉樹（有的情況下），如圖：

image.png

2.2.2 二分樹類型（展示）

類型1：

image.png

類型2：

image.png

image.png

類型4：

image.png

image.png

3.二叉搜索樹

3.1 定義

二叉查找樹（Binary Search Tree），也稱有序二叉樹（ordered binary tree）,排序二叉樹（sorted binary tree），是指一棵空樹或者具有下列性質(zhì)的二叉樹：

1.若任意節(jié)點的左子樹不空，則左子樹上所有結(jié)點的值均小于它的根結(jié)點的值；
2.任意節(jié)點的右子樹不空，則右子樹上所有結(jié)點的值均大于它的根結(jié)點的值；
3.任意節(jié)點的左、右子樹也分別為二叉查找樹。
4.沒有鍵值相等的節(jié)點（no duplicate nodes）。

因此使用二叉樹存儲的元素必須有可比性。

image.png

3.2二叉搜索樹的性質(zhì)：

二叉查找樹本質(zhì)上是一種二叉樹，所以上章講的二叉樹的性質(zhì)他都有。

3.3二分搜索樹的思想：

二叉排序樹的查找過程和次優(yōu)二叉樹類似，通常采取二叉鏈表作為二叉排序樹的存儲結(jié)構(gòu)。中序遍歷二叉排序樹可得到一個關(guān)鍵字的有序序列，一個無序序列可以通過構(gòu)造一棵二叉排序樹變成一個有序序列，構(gòu)造樹的過程即為對無序序列進行排序的過程。每次插入的新的結(jié)點都是二叉排序樹上新的葉子結(jié)點，在進行插入操作時，不必移動其它結(jié)點，只需改動某個結(jié)點的指針，由空變?yōu)榉强占纯?。搜?插入,刪除的復(fù)雜度等于樹高，O(log(n)),后續(xù)逐一進行學(xué)習(xí)。

4.編程實現(xiàn)二叉搜索樹

4.1 基礎(chǔ)代碼

由于使用二叉樹存儲的元素必須有可比性，因此在實現(xiàn)時需要BST類繼承Comparable。

package BST;

public class BST<E extends Comparable<E>> {

    //定義樹節(jié)點
    private class Node {
        public E e;
        public Node left, right;

        public Node(E e) {
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;//根節(jié)點
    private int size;

    public BST() {
        root = null;
        size = 0;
    }

    //二分搜索樹存儲元素個數(shù)
    public int size() {
        return size;
    }

    //二分搜索樹存儲元素是否為空
    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }
}

本節(jié)算是二叉搜索樹的一個入門，后續(xù)將繼續(xù)完善、更新。