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微分方程概念的抽象化
一般我們學(xué)習(xí)微分方程都是從現(xiàn)實的物理模型出發(fā)得到的，但是如果沒有學(xué)習(xí)過現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些基本概念（抽象代數(shù)和分析學(xué)等數(shù)學(xué)系課程），那么對微分方程的理解往往也就停留于此。
從抽象的角度看，我們應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步的把微分方程看成一種基于微分算子的代數(shù)組合得到的一類算子，將一個函數(shù)映射到另一個函數(shù)的形式。例如簡單的二階偏微分方程：
$$
\frac{\partial }{\partial^2 t} u(t) =-\omega^2u(t)
$$
理解的關(guān)鍵在于將我們對普通函數(shù)的抽象概念（數(shù)集合之間的映射）擴(kuò)展到函數(shù)集合之間的映射。上面的二階偏微分方程就可以理解為將函數(shù)$u(t)$通過微分算子$\frac{\partial}{\partial^2 t}$映射到$-\omega^2u(t)$上。
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微分方程的解是什么？
微分方程的解就像普通函數(shù)方程的解類似，微分方程的解是函數(shù)。當(dāng)然，對于條件不完備的情況下，普通函數(shù)方程解出來的是可能解取值集合，比如多項式代數(shù)方程的多個復(fù)數(shù)解；微分方程解出來的很可能是一族都滿足微分方程的函數(shù)集合，這里叫做函數(shù)族。
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邊界條件是什么？
微分方程中的邊界條件其實是對微分方程可能解的函數(shù)族的一個選擇。不同的邊界條件限制了我們對可能的函數(shù)族（作為微分方程的解的意義上）的選擇。
例如第一類邊界條件，一般要求作為解的函數(shù)過某些頂點，這就排除了那些不過該頂點的其他函數(shù)族；第二類邊界條件，往往對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)做了限定，實際上也選擇了某些函數(shù)族，排除了另一些。
邊界條件實際上還可以分為剛性條件和柔性條件，所謂剛性條件就是指要求函數(shù)滿足某個等式的限制；所謂柔性條件是指函數(shù)需要滿足某個不等式的限制。例如我們將一根彈性弦固定在兩個剛性連接點上作震動，那么這個邊界條件就屬于剛性條件；如果我們將彈性弦固定在兩個可以滑動的連接點上，連接點在一定范圍內(nèi)都被允許，那么這樣的條件就是柔性條件。
一些特殊的邊界條件很重要。
- 比如限定函數(shù)的某些泛函為一個正常數(shù)，例如自身的$L^2$范數(shù)：
$$
\int_a^b f^2(x)\textu0z1t8osx=C, C>0
$$
從基于位形坐標(biāo)（$\delta$函數(shù)作基）希爾伯特空間看，這樣的限定其實就是將函數(shù)族限定在希爾伯特空間的一個無限維的球面上。
- 比如限定要求上述范數(shù)達(dá)到一個最小值
$$
\min \int_a^b f^2(x) \textu0z1t8osx
$$
這對應(yīng)于物理中的能量最低原理
- 更為普遍的是最小作用量原理，其一般形式
$$
\min \int_Lg(u,f(u),f'(u),\ldots)\cdot f(u)du
$$
即沿著函數(shù)可能的路徑進(jìn)行積分，積分核函數(shù)$g$與坐標(biāo)、函數(shù)值、函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)均有關(guān)系。
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微分方程和線性代數(shù)的關(guān)系
微分方程如果由線性算子構(gòu)造而得，那么就和線性代數(shù)有著密切的聯(lián)系。特別的微分算子本身如果具備線性性質(zhì)，這樣的算子是線性算子。所謂的線性性質(zhì)是，微分算子將原函數(shù)映射為象函數(shù)，原函數(shù)所在定義域（domain）本身是線性空間（這一點非常重要，即函數(shù)空間作為線性空間），而值域也是線性空間，線性算子（未必需要微分）保持了這樣的線性結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)形式如下：
$$
\begin{align}
H(\lambda f) &= \lambda H(f) \
H(f + g) &= H(f) + H(g)
\end{align}
$$
- 對于這種映射，更多的時候我們用態(tài)射（morphism）來表達(dá)。
- 所謂線性結(jié)構(gòu)，是指線性空間里的元素可以被另一些元素的線性組合表示。特別的，線性空間的基可以表示該線性空間里所有的元素。
一個非常重要的概念是，對于最簡單的一些微分算子，其本身是線性的，例如直接求導(dǎo)、偏導(dǎo)都是線性微分算子。在線性空間的意義上來理解，一個線性微分算子，相當(dāng)于對原函數(shù)空間中每個函數(shù)的附近（注意：[函數(shù)]的附近，未必指函數(shù)坐標(biāo)的附近，可以指某種意義上附近，例如函數(shù)距離趨向于0）張出了一個額外的線性空間，沿著線性空間的基（微分，諸如$\textu0z1t8osu$或者$\alpha \textu0z1t8osu + \beta\textu0z1t8osv$之類）作一個變化（或“運動”），其象函數(shù)也會沿著該空間線性比例的“變化”（注意是變化本身線性縮放，而不是函數(shù)自己線性縮放）。
邊界條件能夠限定微分算子的線性空間結(jié)構(gòu)。例如能量守恒約束條件將導(dǎo)致該微分空間的變化僅能在希爾伯特空間的球面上移動。
- 線性映射和矩陣的對應(yīng)關(guān)系
學(xué)習(xí)過線性代數(shù)的知道，線性映射可以由矩陣表示，特別的可逆線性映射與可逆矩陣表示。在態(tài)射的語義下，可逆線性映射其實是同構(gòu)態(tài)射（Isomorphism），通俗的說就是信息不損失的態(tài)射。
在態(tài)射中，同態(tài)態(tài)射（Homomorphism）可以保持結(jié)構(gòu)不變性，例如線性映射保持線性結(jié)構(gòu)不變，但是同態(tài)態(tài)射不能夠保證信息不損失，因為定義域（domain）中的不同元素可能被態(tài)射轉(zhuǎn)換到值域（codomain）中的相同元素，實際上值域的結(jié)構(gòu)信息就比定義域的結(jié)構(gòu)信息要少。而同構(gòu)態(tài)射是一一對應(yīng)的（單射Injective + 滿射Surjective -> 雙射Bijective），因此可逆。
- 時間演化的偏微分方程
典型的時間演化的偏微分方程，在每一個時間點附近看，其時變部分由空間微分（這里不討論那些更復(fù)雜的情況）確定，因此整個時間演化過程可以看成一連串的線性空間微分算子的復(fù)合作用過程。下面是一個例子，其中函數(shù)$f(u,t)$是空間坐標(biāo)$u$和時間的函數(shù)，$f_u$表示對空間$u$的偏導(dǎo)：
$$
\frac{\textu0z1t8osf}{\textu0z1t8ost}=h(u) + a_0f+a_1f_u+a_2f_{uu}+\ldots
$$
此類方程可以用矩陣的自連乘來表示，在數(shù)學(xué)上可以用矩陣的指數(shù)來表示（$M_{nn}$表示$n\times n$階矩陣集合）：
$$
e^{nA}x， n\in N, A\in M_{nn}, x \in R^n \text{or} \ C^n
$$
即線性變換的矩陣表示A被迭代n次。具體情況請查閱wikipedia有關(guān)Matrix exponential內(nèi)容。
