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語(yǔ)音交互將會(huì)成為新的入口，也是各大公司務(wù)必爭(zhēng)奪的資源之一，資源是指數(shù)據(jù)，不是技術(shù)，因?yàn)榧夹g(shù)會(huì)開放，而有價(jià)值的有標(biāo)注的數(shù)據(jù)才是制勝法寶。

所以，pm們需要了解語(yǔ)音識(shí)別技術(shù)的基礎(chǔ)，總有一天你會(huì)用到，并且這一天不會(huì)太遠(yuǎn)。

我會(huì)從以下幾個(gè)方面介紹語(yǔ)音識(shí)別：

語(yǔ)音識(shí)別基礎(chǔ).png

一、 語(yǔ)音識(shí)別的基礎(chǔ)概念

1. 概念

自動(dòng)語(yǔ)音識(shí)別（Automatic Speech Recognition，ASR）技術(shù)是一種將人的語(yǔ)音轉(zhuǎn)換為文本的技術(shù)。

這項(xiàng)技術(shù)被當(dāng)做是可以使人與人、人與機(jī)器更順暢交流的橋梁，已經(jīng)在研究領(lǐng)域活躍了50多年。

2. 發(fā)展

ASR在近幾年的流行，與以下幾個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域的進(jìn)步有關(guān)：

• 摩爾定律持續(xù)有效
  使得多核處理器、通用計(jì)算圖形處理器GPGPU、CPU/GPU集群等技術(shù)，為訓(xùn)練復(fù)雜模型提供了可能，顯著降低了ASR系統(tǒng)的錯(cuò)誤率。
• 大數(shù)據(jù)時(shí)代
  借助互聯(lián)網(wǎng)和云計(jì)算，獲得了真實(shí)使用場(chǎng)景的大數(shù)據(jù)訓(xùn)練模型，使得ASR系統(tǒng)更具魯棒性(健壯性、穩(wěn)定性)。
• 移動(dòng)智能時(shí)代
  移動(dòng)設(shè)備、可穿戴設(shè)備、智能家居設(shè)備、車載信息娛樂(lè)系統(tǒng)，變得越來(lái)越流行，語(yǔ)音交互成為新的入口。

3. 研究領(lǐng)域分類

根據(jù)在不同限制條件下的研究任務(wù)，產(chǎn)生了不同的研究領(lǐng)域。如圖：

研究領(lǐng)域分類

4. 語(yǔ)音識(shí)別任務(wù)分類

根據(jù)不同任務(wù)，語(yǔ)音識(shí)別可分為4類：

任務(wù)分類

5. 應(yīng)用

語(yǔ)音交互作為新的入口，主要應(yīng)用于上圖中的兩大類：幫助人與人的交流和人與機(jī)器的交流。

• 幫助人與人的交流 HHC
  應(yīng)用場(chǎng)景如，如翻譯系統(tǒng)，微信溝通中的語(yǔ)音轉(zhuǎn)文字，語(yǔ)音輸入等功能。

  語(yǔ)音到語(yǔ)音（speech-to-speech，S2S）翻譯系統(tǒng)，可以整合到像Skype這樣的交流工具中，實(shí)現(xiàn)自由的遠(yuǎn)程交流。

  S2S組成模塊主要是，語(yǔ)音識(shí)別-->機(jī)器翻譯-->文字轉(zhuǎn)語(yǔ)音，可以看到，語(yǔ)音識(shí)別是整個(gè)流水線中的第一環(huán)。

• 幫助人與機(jī)器的交流 HMC
  應(yīng)用場(chǎng)景如，語(yǔ)音搜索VS，個(gè)人數(shù)碼助理PDA，游戲，車載信息娛樂(lè)系統(tǒng)等。

6. 對(duì)話系統(tǒng)

要注意的是，我們上面所說(shuō)的應(yīng)用場(chǎng)景和系統(tǒng)討論，都是基于【語(yǔ)音對(duì)話系統(tǒng)】的舉例。

語(yǔ)音識(shí)別技術(shù)只是其中關(guān)鍵的一環(huán)，想要組建一個(gè)完整的語(yǔ)音對(duì)話系統(tǒng)，還需要其他技術(shù)。

語(yǔ)音對(duì)話系統(tǒng)：（包含以下系統(tǒng)的一個(gè)或多個(gè)）
1）語(yǔ)音識(shí)別系統(tǒng)： 語(yǔ)音-->文字
2）語(yǔ)義理解系統(tǒng)：提取用戶說(shuō)話的語(yǔ)音信息
3）文字轉(zhuǎn)語(yǔ)音系統(tǒng)：文字-->語(yǔ)音
4）對(duì)話管理系統(tǒng)：1）+ 2）+3）完成實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景的溝通

語(yǔ)音對(duì)話系統(tǒng)

二、語(yǔ)音識(shí)別系統(tǒng)

語(yǔ)音識(shí)別問(wèn)題，其實(shí)是一個(gè)模式識(shí)別的問(wèn)題。給你一段聲波，機(jī)器判別是a還是b。

這個(gè)過(guò)程有兩大塊，一個(gè)是生成機(jī)器能理解的聲音向量。第二個(gè)是通過(guò)模型算法識(shí)別這些聲音向量，最終給出識(shí)別結(jié)果。

每一塊中間都有很多細(xì)小的步驟，我們后面會(huì)提到。

1. 系統(tǒng)架構(gòu)概述

下圖是語(yǔ)音識(shí)別系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)，主要分4部分：
信號(hào)處理和特征提取、聲學(xué)模型（AM）、語(yǔ)言模型（LM）和解碼搜索部分。

語(yǔ)音識(shí)別系統(tǒng)的架構(gòu)

左半部分可以看做是前端，用于處理音頻流，從而分隔可能發(fā)聲的聲音片段，并將它們轉(zhuǎn)換成一系列數(shù)值。

聲學(xué)模型就是識(shí)別這些數(shù)值，給出識(shí)別結(jié)果。后面我們會(huì)詳細(xì)解釋。

右半邊看做是后端，是一個(gè)專用的搜索引擎，它獲取前端產(chǎn)生的輸出，在以下三個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行搜索：一個(gè)發(fā)音模型，一個(gè)語(yǔ)言模型，一個(gè)詞典。

【發(fā)音模型】表示一種語(yǔ)言的發(fā)音聲音 ,可通過(guò)訓(xùn)練來(lái)識(shí)別某個(gè)特定用戶的語(yǔ)音模式和發(fā)音環(huán)境的特征。
【語(yǔ)言模型】表示一種語(yǔ)言的單詞如何合并 。
【詞典】列出該語(yǔ)言的大量單詞 ，以及關(guān)于每個(gè)單詞如何發(fā)音的信息。

a）信號(hào)處理和特征提取：
以音頻信號(hào)為輸入，通過(guò)消除噪聲和信道失真對(duì)語(yǔ)音進(jìn)行增強(qiáng)，將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)化到頻域，并為后面的聲學(xué)模型提取合適的有代表性的特征向量。

b）聲學(xué)模型：
將聲學(xué)和發(fā)音學(xué)的知識(shí)進(jìn)行整合，以特征提取部分生成的特征為輸入，并為可變長(zhǎng)特征序列生成聲學(xué)模型分?jǐn)?shù)。

c）語(yǔ)言模型：
語(yǔ)言模型估計(jì)通過(guò)訓(xùn)練語(yǔ)料學(xué)習(xí)詞與詞之間的相互關(guān)系，來(lái)估計(jì)假設(shè)詞序列的可能性，又叫語(yǔ)言模型分?jǐn)?shù)。如果了解領(lǐng)域或任務(wù)相關(guān)的先驗(yàn)知識(shí)，語(yǔ)言模型的分?jǐn)?shù)通?？梢怨烙?jì)的更準(zhǔn)確。

d）解碼搜索：
綜合聲學(xué)模型分?jǐn)?shù)與語(yǔ)言模型分?jǐn)?shù)的結(jié)果，將總體輸出分?jǐn)?shù)最高的詞序列當(dāng)做識(shí)別結(jié)果。

2. 語(yǔ)音識(shí)別技術(shù)詳解

看完上面的架構(gòu)圖，你應(yīng)該有個(gè)大致的印象，知道整個(gè)語(yǔ)音識(shí)別是怎么回事兒了。下面我們?cè)敿?xì)說(shuō)一些重要的過(guò)程。

2.1 語(yǔ)音識(shí)別單元

我們的語(yǔ)音內(nèi)容，由基本的語(yǔ)音單元組成。選擇要識(shí)別的語(yǔ)音單元是語(yǔ)音識(shí)別研究的第一步。

就是說(shuō)，你要識(shí)別的結(jié)果是以什么為基礎(chǔ)單位的？是單詞還是元音字母？

語(yǔ)音識(shí)別單元有單詞 (句) 、音節(jié)和音素三種，具體選擇哪一種，根據(jù)具體任務(wù)來(lái)定，如詞匯量大小、訓(xùn)練語(yǔ)音數(shù)據(jù)的多少。

語(yǔ)音識(shí)別單元

【音素】：在漢語(yǔ)里，最小的語(yǔ)音單位是音素，是從音色的角度分出來(lái)的。

【音節(jié)】：一個(gè)音素單獨(dú)存在或幾個(gè)音素結(jié)合起來(lái)，叫做音節(jié)。可以從聽覺上區(qū)分，漢語(yǔ)一般是一字一音節(jié)，少數(shù)的有兩字一音節(jié)（如“花兒”）和兩音節(jié)一字。

語(yǔ)音識(shí)別單元

2.2 信號(hào)的數(shù)字化和預(yù)處理

接下來(lái)就要將收集到的語(yǔ)音轉(zhuǎn)化為一系列的數(shù)值，這樣機(jī)器才可以理解。

1）數(shù)字化

聲音是作為波的形式傳播的。將聲波轉(zhuǎn)換成數(shù)字包括兩個(gè)步驟：采樣和量化。

為了將聲波轉(zhuǎn)換成數(shù)字，我們只記錄聲波在等距點(diǎn)的高度，這被稱為采樣（sampling）。

采樣定理（Nyquist theorem）規(guī)定，從間隔的采樣中完美重建原始聲波——只要我們的采樣頻率比期望得到的最高頻率快至少兩倍就行。

經(jīng)過(guò)采樣，我們獲取了一系列的數(shù)字，這些數(shù)字才可以在機(jī)器上進(jìn)行建?；蛴?jì)算。

我們每秒讀取數(shù)千次，并把聲波在該時(shí)間點(diǎn)的高度用一個(gè)數(shù)字記錄下來(lái)。把每一秒鐘所采樣的數(shù)目稱為采樣頻率或采率，單位為HZ（赫茲）。

「CD 音質(zhì)」的音頻是以 44.1khz（每秒 44100 個(gè)讀數(shù)）進(jìn)行采樣的。但對(duì)于語(yǔ)音識(shí)別，16khz（每秒 16000 個(gè)采樣）的采樣率就足以覆蓋人類語(yǔ)音的頻率范圍了。

2）采樣信號(hào)預(yù)處理

這里的預(yù)處理主要指，分幀處理。
因?yàn)檎Z(yǔ)音信號(hào)是不平穩(wěn)的、時(shí)長(zhǎng)變化的，如下圖：

我們把它分隔為一小段一小段（10毫秒-40毫秒）的短語(yǔ)音，我們認(rèn)為這樣的小片段是平穩(wěn)的，稱之為【幀】。

在每個(gè)幀上進(jìn)行信號(hào)分析，稱為語(yǔ)音的短時(shí)分析。

圖中，每幀的長(zhǎng)度為25毫秒，每?jī)蓭g有25-10=15毫秒的交疊。我們稱為幀長(zhǎng)25ms、幀移10ms的分幀。

幀移的事情就不詳細(xì)解釋了，它是為了保證語(yǔ)音信息的完整性。感興趣的同學(xué)可以查一下，加窗/窗函數(shù)。

那為什么需要平緩的分幀呢？因?yàn)槲覀冃枰龈道锶~變化，它適用于分析平穩(wěn)的信號(hào)。（想弄明白傅里葉變換的，之后可以參考文章末尾的鏈接）

人類是根據(jù)振動(dòng)頻率判斷聲音的，而以時(shí)間為橫軸（時(shí)域）的波形圖沒(méi)有振幅描述，我們需要做傅里葉變換，將它變成以頻率為橫軸（頻域）的振幅描述。

2.3 特征提取

特征提取就是從語(yǔ)音波形中提取出能反映語(yǔ)音特征的重要信息，去掉相對(duì)無(wú)關(guān)的信息（如背景噪聲），并把這些信息轉(zhuǎn)換為一組離散的參數(shù)矢量 。

1）特征提取

如何提取呢？我們經(jīng)過(guò)采樣，預(yù)處理，將這些數(shù)字繪制為簡(jiǎn)單的折線圖，如下所示，我們得到了 20 毫秒內(nèi)原始聲波的大致形狀：

這樣的波形圖對(duì)機(jī)器來(lái)說(shuō)沒(méi)有任何描述信息。這個(gè)波形圖背后是很多不同頻率的波疊加產(chǎn)生的。（準(zhǔn)確的講，它在時(shí)域上沒(méi)有描述能力）

我們希望一段聲紋能夠給出一個(gè)人的特性，比如什么時(shí)候高，什么時(shí)候低，什么時(shí)候頻率比較密集，什么時(shí)候比較平緩等等。

就是我們上面所說(shuō)的，用傅里葉變化來(lái)完成時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換。

這就需要對(duì)每一幀做傅里葉變化，用特征參數(shù)MFCC得到每一幀的頻譜（這個(gè)過(guò)程就是特征提取，結(jié)果用多維向量表示），最后可以總結(jié)為一個(gè)頻譜圖（語(yǔ)譜圖）。

如下圖所示，是“hello”的頻譜圖，很酷是吧~
橫軸是時(shí)間，縱軸是頻率。顏色越亮，表示強(qiáng)度越大。

2）常用的特性參數(shù)

特性提取時(shí)，我們有常用的特征參數(shù)作為提取模板，主要有兩種：

• 線性預(yù)測(cè)系數(shù)（LPC）

  LPC 的基本思想是，當(dāng)前時(shí)刻的信號(hào)可以用若干個(gè)歷史時(shí)刻的信號(hào)的線性組合來(lái)估計(jì)。通過(guò)使實(shí)際語(yǔ)音的采樣值和線性預(yù)測(cè)采樣值之間達(dá)到均方差最小，即可得到一組線性預(yù)測(cè)系數(shù)。

  求解LPC系數(shù)可以采用自相關(guān)法 (德賓 durbin 法) 、協(xié)方差法、格型法等快速算法。

• 倒譜系數(shù)

  利用同態(tài)處理方法，對(duì)語(yǔ)音信號(hào)求離散傅立葉變換后取對(duì)數(shù)，再求反變換就可得到倒譜系數(shù)。

  其中，LPC倒譜(LPCCEP)是建立在LPC譜上的。而梅爾倒譜系數(shù)（Mel Frequency Cepstrum Coefficient, MFCC）則是基于MEL譜的。不同于LPC等通過(guò)對(duì)人的發(fā)聲機(jī)理的研究而得到的聲學(xué)特征，MFCC 是受人的聽覺系統(tǒng)研究成果推動(dòng)而導(dǎo)出的聲學(xué)特征。

  簡(jiǎn)單的說(shuō)，經(jīng)過(guò)梅爾倒譜分析，得到的參數(shù)更符合人耳的聽覺特性。

3）短語(yǔ)音識(shí)別為單詞

有了上面的特征提取，每一幀都可以表述為一個(gè)多維向量，接下來(lái)就是把向量識(shí)別為文本。

這里我們需要多介紹一個(gè)概念，叫【狀態(tài)】。
你可以理解為，是比音素更細(xì)致的語(yǔ)音單位。通常把一個(gè)音素劃分成3個(gè)狀態(tài)。

如上圖所示，識(shí)別過(guò)程無(wú)非是：
1）把幀識(shí)別成狀態(tài)（難點(diǎn)）。
2）把狀態(tài)組合成音素。
3）把音素組合成單詞。

那每個(gè)音素應(yīng)該對(duì)應(yīng)哪種狀態(tài)呢？這就需要用到聲學(xué)模型了。

2.4 聲學(xué)模型

聲學(xué)模型是識(shí)別系統(tǒng)的底層模型，其目的是提供一種計(jì)算語(yǔ)音的特征矢量序列和每個(gè)發(fā)音模板之間的距離的方法。

也就是說(shuō)，提取到的語(yǔ)音特性，與某個(gè)發(fā)音之間的差距越小，越有可能是這個(gè)發(fā)音。

或者說(shuō)，某幀對(duì)應(yīng)哪個(gè)狀態(tài)的概率最大，那這幀就屬于哪個(gè)狀態(tài)。這個(gè)可以用GMM（混合高斯模型，就是一種概率分布）或DNN（深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）來(lái)識(shí)別。

但這樣識(shí)別出來(lái)的結(jié)果會(huì)比較亂，因?yàn)橐粋€(gè)人講話的速度不一樣，每一幀識(shí)別出的結(jié)果可能是：....HHH_EE_LL__LLLL__OOO.....，如下圖：

這個(gè)問(wèn)題可以用DTW（動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整）或HMM（隱馬爾科夫模型）或CTC（改進(jìn)的RNN模型）來(lái)對(duì)齊識(shí)別結(jié)果，知道單詞從哪里開始，從哪里結(jié)束，哪些內(nèi)容是重復(fù)的沒(méi)有必要的。

1）常用的聲學(xué)建模方法包含以下三種：

• 基于模式匹配的動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整法(DTW)；
• 隱馬爾可夫模型法(HMM)；
• 基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識(shí)別法(ANN)；

在過(guò)去，主流的語(yǔ)音識(shí)別系統(tǒng)通常使用梅爾倒譜系數(shù)（Mel-Frequency Cepstral Coefficient, MFCC）或者線性感知預(yù)測(cè)（Perceptual Linear Prediction, PLP）作為特征，使用混合高斯模型-隱馬爾科夫模型（GMM-HMM）作為聲學(xué)模型。

近些年，分層鑒別模型比如DNN，變得可行起來(lái)，比如上下文相關(guān)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-隱馬爾可夫模型（context-dependent DNN-HMM，CD-DNN-HMM）就比傳統(tǒng)的GMM-HMM表現(xiàn)要好得多。

如下圖，你可以清晰的看到被替換的部分。

2）主要問(wèn)題：

我們要了解的是，聲學(xué)模型存在2個(gè)問(wèn)題：
1. 特征向量序列的可變長(zhǎng)；
每個(gè)人說(shuō)同一個(gè)單詞的時(shí)間長(zhǎng)度都不一樣，聲學(xué)模型要能從不同的時(shí)間長(zhǎng)度的語(yǔ)音信號(hào)中識(shí)別出是同一個(gè)單詞。

解決方法就是DTW（動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整）、 HMM（隱馬爾可夫模型）。
2. 音頻信號(hào)的豐富變化性；
如說(shuō)話人的性別，健康狀況，緊張程度，說(shuō)話風(fēng)格、語(yǔ)速，環(huán)境噪音，周圍人聲，信道扭曲，方言差異，非母語(yǔ)口音等。

3）HMM 聲學(xué)建模：

對(duì)語(yǔ)音識(shí)別系統(tǒng)而言，HMM 的輸出值通常就是各個(gè)幀的聲學(xué)特征 。 為了降低模型的復(fù)雜度，通常 HMM 模型有兩個(gè)假設(shè)前提，一是內(nèi)部狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只與上一狀態(tài)有關(guān)，一是輸出值只與當(dāng)前狀態(tài)或當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)移有關(guān)。除了這兩個(gè)假設(shè)外，HMM 模型還存在著一些理論上的假設(shè)，其中之一就是，它假設(shè)語(yǔ)音是一個(gè)嚴(yán)格的馬爾科夫過(guò)程 。

2.5 語(yǔ)言模型

如何將識(shí)別出的單詞，組成有邏輯的句子，如何識(shí)別出正確的有歧義的單詞，這些就用到語(yǔ)言模型了。

由于語(yǔ)音信號(hào)的時(shí)變性、噪聲和其它一些不穩(wěn)定因素，單純靠聲學(xué)模型無(wú)法達(dá)到較高的語(yǔ)音識(shí)別的準(zhǔn)確率。在人類語(yǔ)言中，每一句話的單詞直接有密切的聯(lián)系，這些單詞層面的信息可以減少聲學(xué)模型上的搜索范圍，有效地提高識(shí)別的準(zhǔn)確性，要完成這項(xiàng)任務(wù)語(yǔ)言模型是必不可少的，它提供了語(yǔ)言中詞之間的上下文信息以及語(yǔ)義信息。

隨著統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言處理方法的發(fā)展，統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言模型成為語(yǔ)音識(shí)別中語(yǔ)言處理的主流技術(shù)，其中統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言模型有很多種，如N-Gram語(yǔ)言模型、馬爾可夫N元模型(Markov N-gram)、指數(shù)模型( Exponential Models)、決策樹模型(Decision Tree Models)等。而N元語(yǔ)言模型是最常被使用的統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言模型，特別是二元語(yǔ)言模型（bigram）、三元語(yǔ)言模型（trigram）。

2.6 字典

字典是存放所有單詞的發(fā)音的詞典，它的作用是用來(lái)連接聲學(xué)模型和語(yǔ)言模型的。

識(shí)別出音素，利用字典，就可以查出單詞了。

例如，一個(gè)句子可以分成若干個(gè)單詞相連接，每個(gè)單詞通過(guò)查詢發(fā)音詞典得到該單詞發(fā)音的音素序列。相鄰單詞的轉(zhuǎn)移概率可以通過(guò)語(yǔ)言模型獲得，音素的概率模型可以通過(guò)聲學(xué)模型獲得。從而生成了這句話的一個(gè)概率模型。

2.7 解碼器

解碼器的作用就是將上述訓(xùn)練好的模型按照一定的規(guī)則組合起來(lái)，將新輸入的語(yǔ)音識(shí)別出來(lái)。

三、 語(yǔ)音識(shí)別評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)

在語(yǔ)音識(shí)別中，常用的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)為詞錯(cuò)誤率（Word Error Rate，WER)。

我們上面講了幀向量識(shí)別為單詞，需要用聲學(xué)模型。因?yàn)樽R(shí)別出來(lái)的整個(gè)詞序列是混亂的，需要進(jìn)行替換、刪除、插入某些詞，使得次序列有序完整。

WER就是反映上述過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)，能直接反映識(shí)別系統(tǒng)聲學(xué)模型的性能，也是其他評(píng)估指標(biāo)如句錯(cuò)誤率SER的基礎(chǔ)。

傳統(tǒng)的詞錯(cuò)誤率評(píng)估算法在語(yǔ)音識(shí)別中存在三種典型的詞錯(cuò)誤：
1）替換錯(cuò)誤（Substitution）
在識(shí)別結(jié)果中，正確的詞被錯(cuò)誤的詞代替；
2）刪除錯(cuò)誤（Deletion）
在識(shí)別結(jié)果中，丟失了正確的詞；
3）插入錯(cuò)誤（Insertion）
在識(shí)別結(jié)果中，增加了一個(gè)多余的詞；

所以，詞錯(cuò)誤率為：

S 為替代錯(cuò)誤詞數(shù)，D 為刪除錯(cuò)誤詞數(shù)，I 為插入錯(cuò)誤詞數(shù)。T為參照句子中的所有詞數(shù)。
需要注意的是，因?yàn)橛胁迦朐~，所以WER有可能大于100%。

以上。

參考文章：

《實(shí)用語(yǔ)音識(shí)別基礎(chǔ)》 王炳錫，2005
《解析深度學(xué)習(xí)-語(yǔ)音識(shí)別實(shí)踐》鄧力，2016
http://dwz.cn/73TZx8 語(yǔ)音識(shí)別技術(shù)綜述，馬志欣，2006
http://blog.csdn.net/eaglex/article/details/6376826 隱馬爾科夫模型系列（國(guó)外經(jīng)典論文翻譯）
https://zhuanlan.zhihu.com/wille/19763358 傅里葉掐死教程
https://www.zhihu.com/question/20398418 知乎問(wèn)答系列

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