線性方程組（二）- 行化簡(jiǎn)與階梯形矩陣

行化簡(jiǎn)與階梯形矩陣

矩陣中非零行或列指矩陣中至少包含一個(gè)非零元素的行或列。非零行的先導(dǎo)元素是指該行中最左邊的非零元素。

一個(gè)矩陣稱為階梯形（或行階梯形）矩陣，若它有一下三個(gè)性質(zhì)：

  1. 每一非零行都在每一零行之上。
  2. 某一行的先導(dǎo)元素所在的列位于前一先導(dǎo)元素的右邊。
  3. 某一先導(dǎo)元素所在列下方元素都是零。
    若一個(gè)階梯形矩陣還滿足一下性質(zhì)，則稱它為簡(jiǎn)化階梯形（或簡(jiǎn)化行階梯形）矩陣。
  4. 每一非零行的先導(dǎo)元素是1.
  5. 每一先導(dǎo)元素1是該元素所在列的唯一非零元素。

階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組就是三角形形式。

任何非零矩陣都可以行化簡(jiǎn)（即用初等行變換）變?yōu)殡A梯形矩陣，但用不同的方法可化為不同的階梯形矩陣。然而，一個(gè)矩陣只能化為唯一的簡(jiǎn)化階梯形矩陣。

每個(gè)矩陣行等價(jià)于唯一的簡(jiǎn)化階梯形矩陣。

若矩陣\boldsymbol{A}行等價(jià)于階梯形矩陣\boldsymbol{U}，則稱\boldsymbol{U}為\boldsymbol{A}的階梯形矩陣；若\boldsymbol{U}是簡(jiǎn)化階梯形矩陣，則稱\boldsymbol{U}為\boldsymbol{A}的簡(jiǎn)化階梯形矩陣。

主元位置

矩陣中的主元位置是矩陣\boldsymbol{A}中對(duì)應(yīng)于它的簡(jiǎn)化階梯形中先導(dǎo)元素1的位置。主元列是矩陣\boldsymbol{A}的含有主元位置的列。

把矩陣\begin{bmatrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7\end{bmatrix}化為階梯形矩陣，并確定主元列。
解：使用用初等行變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化。記號(hào)“～“表示它前面和后面的兩個(gè)矩陣是行等價(jià)的。

  1. 將第一行于第四行對(duì)換（對(duì)換變換）
    \begin{bmatrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ \end{bmatrix}～\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}
  2. 將第一行的倍數(shù)加到其他各行，以使第一個(gè)主元位置下面各元素變成0。（倍乘變換和倍加變換）
    \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}～\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}
  3. 將第一行的倍數(shù)加到其他各行，以使第一個(gè)主元位置下面各元素變成0。（倍乘變換和倍加變換）
    \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}～\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ \end{bmatrix}
  4. 將第三行于第四行對(duì)換（對(duì)換變換）
    \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ \end{bmatrix}～\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}
  5. 矩陣\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}
    是所求階梯形矩陣。第1、2、4列是主元列。

主元是在主元位置上的非零元素。在矩陣轉(zhuǎn)換過(guò)程中，通過(guò)初等行變換用主元將下面的元素化為0。上述轉(zhuǎn)換過(guò)程中，我們使用的主元是1，2，5。

行簡(jiǎn)化算法

用初等行變換把矩陣\left[\begin{matrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ \end{matrix}\right]先化為階梯形矩陣，再化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣。
解：

  1. 確定主元列
    由最左的非零列\left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 3 \\ \end{matrix}\right]開(kāi)始。這是一個(gè)主元列。主元位置（0所在位置）在該列頂端。
  2. 選取主元
    在主元列中選取一個(gè)非零元素作為主元。若有必要的話，對(duì)換兩行使這個(gè)元素移動(dòng)主元位置上。
    \left[\begin{matrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ \end{matrix}\right]～\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]
  3. 主元下面元素化0
    用初等行變換將主元下面的元素變成0。
    \left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]～\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]
  4. 迭代處理子矩陣
    除去主元位置所在的行以及它上面的各行，對(duì)剩下的子矩陣使用上述的三個(gè)步驟，直到子矩陣無(wú)非零列。
    \left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]～\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{matrix}\right]
    此矩陣即為所求階梯形矩陣。
  5. 所有主元上面元素化0，主元化1
    由最右邊的主元開(kāi)始，把每個(gè)主元上面的各元素變成0。若某個(gè)主元不是1，先用倍乘變換變成1。
    \quad \left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ \end{matrix}\right]～\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 0 & -9 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]
    ～\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]～\left[\begin{matrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]
    ～\left[\begin{matrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right] ～\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 & -24 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]
    此矩陣即為所求簡(jiǎn)化階梯形矩陣。

第一至四步稱為行化簡(jiǎn)算法的向前步驟，產(chǎn)生唯一的簡(jiǎn)化階梯形矩陣的第五步稱為向后步驟。

行化簡(jiǎn)算法通常稱為高斯消去法。在第二步選取主元時(shí)，計(jì)算機(jī)程序通常選擇一列中絕對(duì)值最大的元素作為主元。這種方法通常稱為部分主元法，可以減少計(jì)算中的舍入誤差。

線性方程組的解

行化簡(jiǎn)算法應(yīng)用于方程組的增廣矩陣時(shí)，可以得出線性方程組解集的一種顯示表示法。

設(shè)某個(gè)線性方程組的增廣矩陣已化為行等價(jià)的簡(jiǎn)化階梯形矩陣\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]。因?yàn)樵鰪V矩陣有4列，所有有3個(gè)變量。對(duì)應(yīng)的線性方程組是\begin{cases}{ x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0}\end{cases}。對(duì)應(yīng)于主元列的變量x_1和x_2稱為基本變量。其它變量x_3稱為自由變量。

只要一個(gè)線性方程組是相容的，其解集就可以顯式表示。（若有自由變量，用自由變量表示基本變量。）簡(jiǎn)化階梯形矩陣使每個(gè)基本變量?jī)H包含在一個(gè)方程中，容易解出簡(jiǎn)化階梯形矩陣\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]的解集的表示式：\begin{cases}{ x_1 = 1 + 5x_3 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3為自由變量}\end{cases}。
表示式給出的解稱為方程組的通解。（因?yàn)樗o出了所有解的顯示表達(dá)。）這種解集的表示式稱為解集的參數(shù)表示。解方程組就是要求出解集的這種參數(shù)表示或確定它無(wú)解。

求解線性方程組的通解，該方程組相容且其增廣矩陣已經(jīng)化為\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right] 。
解：該矩陣已是階梯形矩陣。使用行化簡(jiǎn)算法將其化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣。
\quad \left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]～\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]
～\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]～\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]
增廣矩陣有6列，所以原方程組有5個(gè)變量，對(duì)應(yīng)的方程組為\begin{cases} {x_1 + 6x_2 + 3x_4 = 0 \\ x_3 - 4x_4 = 5 \\ x_5 = 7 } \end{cases}
矩陣的主元列是第1、3、5列，所以基本變量為x_1，x_3，x_5，剩下的變量x_2和x_4為自由變量。我們得到通解為\begin{cases} x_1 = -6x_2 - 3x_4 \\ x_2為自由變量 \\ x_3 = 5 + 4x_4 \\ x_4為自由變量 \\ x_5 = 7 \\ \end{cases}

當(dāng)一個(gè)方程組是相容的且具有自由變量時(shí)，它的解集具有多種參數(shù)表示。例如線性方程組\begin{cases}{ x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0}\end{cases}的解集的另一種參數(shù)表示\begin{cases}{ x_1 = 21 - 5x_2 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3為自由變量}\end{cases}。不過(guò)，我們總是約定使用自由變量作為參數(shù)來(lái)表示解集。
當(dāng)方程組步相容時(shí)，解集是空集。無(wú)論方程組是否有自由變量，解集無(wú)參數(shù)表示。

存在與唯一性問(wèn)題

確定線性方程組\begin{cases}{ 3x_2 - 6x_3 + 6x_4 + 4x_5 = -5 \\ 3x_1 - 7x_2 + 8x_3 - 5x_4 +8x_5 = 9 \\ 3x_1 - 9x_2 + 12x_3 -9x_4 + 6x_5 = 15 }\end{cases}的解是否存在且唯一
解：上面案例中已化出其階梯形矩陣
\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{matrix}\right]
主元列是第1、2、5列，所以基本變量是x_1，x_2和x_5，自由變量是x_4和x_5。

當(dāng)一個(gè)方程組的增廣矩陣化為階梯形矩陣，且主元列不包含最右列（對(duì)應(yīng)方程形如0 = b）時(shí)，每個(gè)非零方程包含一個(gè)基本變量，它的系數(shù)非零?；蛘哌@些基本變量已完全確認(rèn)（此時(shí)無(wú)自由變量），或者至少有一個(gè)基本變量可用一個(gè)或多個(gè)自由變量表示。對(duì)于前一種情形，有唯一的解；對(duì)后一種情形，有無(wú)窮多個(gè)解（對(duì)應(yīng)于自由變量的每一個(gè)選擇都有一個(gè)解。）

故方程組的解存在，且有無(wú)窮多個(gè)解。

線性方程組相容的充要條件是增廣矩陣的最右列不是主元列。也就是說(shuō)，增廣矩陣的階梯形沒(méi)有形如\left[\begin{matrix} 0 & \cdots & 0 & b \end{matrix}\right],\ b \neq 0的行。若線性方程組相容，則它的解集可能有兩種情形：

  1. 當(dāng)沒(méi)有自由變量時(shí)，有唯一解；
  2. 若至少有一個(gè)自由變量，則有無(wú)窮多解。

應(yīng)用行化簡(jiǎn)算法解線性方程組的步驟

  1. 寫出方程組的增廣矩陣。
  2. 應(yīng)用行化簡(jiǎn)算法把增廣矩陣化為階梯形矩陣。確定方程組是否相容。如果不相容，則方程組無(wú)解并停止；否則進(jìn)行下一步。
  3. 繼續(xù)行化簡(jiǎn)算法得到它的簡(jiǎn)化階梯形矩陣。
  4. 寫出由第3步所得矩陣對(duì)應(yīng)的方程組。
  5. 寫出解集的參數(shù)表示。

小結(jié)

  1. 階梯形（或簡(jiǎn)化階梯形）矩陣的定義
  2. 主元位置的定義
  3. 行化簡(jiǎn)算法的定義
  4. 應(yīng)用行化簡(jiǎn)算法解線性方程組
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