大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽微分幾何部分

第五屆

設(shè)\Gamma是三維歐式空間中一張平面上的一條拋物線，l是\Gamma的準(zhǔn)線。將\Gamma繞其準(zhǔn)線l旋轉(zhuǎn)一周，得到旋轉(zhuǎn)面S。求S的兩個(gè)主曲率的比值。

第六屆

設(shè)三維空間的曲面S滿足
(1)P_{0}=(0,0,-1) \in S
(2)對(duì)任意P \in S, \quad|\vec{O P}| \leq 1,其中O是原點(diǎn)
證明：曲面S在P_0的Gauss曲率K(P_0)\geq 1

第七屆

設(shè)\gamma(s),s\in[0,l]是空間中的一條光滑閉曲線，以弧長為參數(shù)，且曲率k>0。設(shè)\beta:[0,l]\rightarrow S^2為單位球面上由\gamma(s)的單位主法向量構(gòu)成的一條簡(jiǎn)單閉曲線B。證明：B將球面分成面積相等的兩個(gè)部分。

第八屆

設(shè)S為三維歐式空間的一張連通光滑的正則曲面，過S上每一點(diǎn)都存在不同的三條直線落在曲面S上。
證明：S是平面的一部分

第九屆

已知橢圓柱面S：
\mathbf{r}(u, v)=\{a \cos u, b \sin u, v\}, \quad-\pi \leqslant u \leqslant \pi, \quad-\infty<v<+\infty
(1)求S上任意測(cè)地線的方程；
(2)設(shè)a=b取P=(a,0,0),Q=(a\cos u_0,a\sin u_0)(-\pi<u_0<\pi,-\infty<v_0<+\infty)。寫出S上連接P,Q兩點(diǎn)的最短曲線的方程。

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  • 答案 初賽 第一屆：求經(jīng)過三平行直線，的圓柱面方程第二屆：已知二次曲面（非退化）過以下九點(diǎn)：,,問是哪一類曲面？第...
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