線性插值

已知兩點(diǎn)

A(x_1, y_1)

和

B(x_2, y_2)

，以及插值參數(shù)

t (0 \leq t \leq 1）

，可以通過(guò)以下公式計(jì)算任意中間點(diǎn)

C(x_t, y_t)

的坐標(biāo)。

x 坐標(biāo)的插值：
中間點(diǎn)的 x 坐標(biāo) $x_t$ 是 $A$ 和 $B$ 的 $x$ 坐標(biāo)按照比例 $t$ 插值的結(jié)果，公式為：
$x_t = (1 - t) \cdot x_1 + t \cdot x_2$
- 當(dāng) $t = 0$ 時(shí)， $x_t = x_1$ 。
- 當(dāng) $t = 1$ 時(shí)， $x_t = x_2$ 。
- 在 $0 \leq t \leq 1$ 的范圍內(nèi)， $x_t$ 線性分布在 $x_1$ 和 $x_2$ 之間。
y 坐標(biāo)的插值：
中間點(diǎn)的 $y$ 坐標(biāo) $y_t$ 是 $A$ 和 $B$ 的 $y$ 坐標(biāo)按照比例 $t$ 插值的結(jié)果，公式為：
$y_t = (1 - t) \cdot y_1 + t \cdot y_2$
- 當(dāng) $t = 0$ 時(shí)， $y_t = y_1$ 。
- 當(dāng) $t = 1$ 時(shí)， $y_t = y_2$ 。
- 在 $0 \leq t \leq 1$ 的范圍內(nèi)， $y_t$ 線性分布在 $y_1$ 和 $y_2$ 之間。
y 坐標(biāo)的插值：
中間點(diǎn)的 y 坐標(biāo) $y_t$ 是 $A$ 和 $B$ 的 y 坐標(biāo)按照比例 $t$ 插值的結(jié)果，公式為：
$y_t = (1 - t) \cdot y_1 + t \cdot y_2$
綜合表示：
中間點(diǎn) $C(x_t, y_t)$ 的坐標(biāo)公式為：
$C(x_t, y_t) = \big((1 - t) \cdot x_1 + t \cdot x_2, \, (1 - t) \cdot y_1 + t \cdot y_2 \big)$

雙線性插值 bilinear

雙線性插值

雙線性插值公式推導(dǎo)

雙線性插值是一種常見(jiàn)的插值方法，主要用于二維網(wǎng)格中根據(jù)已知點(diǎn)的值來(lái)估算某個(gè)未知點(diǎn)的值。

1. 問(wèn)題描述

給定四個(gè)已知網(wǎng)格點(diǎn) $Q_0, Q_1, Q_2, Q_3$ 的值 $z_{00}, z_{10}, z_{01}, z_{11}$ ，以及目標(biāo)插值點(diǎn) $P(tx, ty)$ 的相對(duì)位置，要求插值點(diǎn) $P(tx, ty)$ 的值 $z$ 。在這里剛好 $m=tx, n=ty$ ，一般來(lái)說(shuō) $tx,ty$ 是 $m,n$ 的小數(shù)部分

四個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：
$Q_0: (0, 0), \quad Q_1: (1, 0), \quad Q_2: (0, 1), \quad Q_3: (1, 1)$
插值點(diǎn) $P(tx, ty)$ 的坐標(biāo)為：
$P(tx, ty), \quad 其中 tx, ty \in [0, 1]$

目標(biāo)是根據(jù) $tx, ty$ 對(duì) $z$ 進(jìn)行估算。

2. 計(jì)算 $P_1$ 和 $P_2$

步驟 1：對(duì) $x$ 方向插值

在 $Q_0$ 和 $Q_1$ 之間插值，計(jì)算 $P_1(tx, 0)$ 的值：
$P_1(tx, 0) = z_{00} \cdot (1 - tx) + z_{10} \cdot tx$

同理，在 $Q_2$ 和 $Q_3$ 之間插值，計(jì)算 $P_2(tx, 1)$ 的值：
$P_2(tx, 1) = z_{01} \cdot (1 - tx) + z_{11} \cdot tx$

3. 根據(jù) $P_1$ 和 $P_2$ 計(jì)算 $P(tx, ty)$

步驟 2：對(duì) $y$ 方向插值

在 $P_1(tx, 0)$ 和 $P_2(tx, 1)$ 之間插值，計(jì)算 $P(tx, ty)$ 的值：
$P(tx, ty) = P_1(tx, 0) \cdot (1 - ty) + P_2(tx, 1) \cdot ty$

將 $P_1(tx, 0)$ 和 $P_2(tx, 1)$ 的表達(dá)式代入上式，得到：
$P(tx, ty) = \big[ z_{00} \cdot (1 - tx) + z_{10} \cdot tx \big] \cdot (1 - ty) + \big[ z_{01} \cdot (1 - tx) + z_{11} \cdot tx \big] \cdot ty$

展開(kāi)化簡(jiǎn)：
$P(tx, ty) = z_{00} \cdot (1 - tx) \cdot (1 - ty) + z_{10} \cdot tx \cdot (1 - ty) + z_{01} \cdot (1 - tx) \cdot ty + z_{11} \cdot tx \cdot ty$

4. 雙線性插值公式

最終公式為：
$P(tx, ty) = z_{00} \cdot (1 - tx) \cdot (1 - ty) + z_{10} \cdot tx \cdot (1 - ty) + z_{01} \cdot (1 - tx) \cdot ty + z_{11} \cdot tx \cdot ty$

5. 總結(jié)

雙線性插值公式分兩步：

$x$ 方向插值，計(jì)算 $P_1$ 和 $P_2$ 的值。
$y$ 方向插值，根據(jù) $P_1$ 和 $P_2$ 的值計(jì)算目標(biāo)點(diǎn) $P(tx, ty)$ 。

這是一種對(duì)二維網(wǎng)格點(diǎn)的插值方法，假設(shè) $x$ 和 $y$ 方向是線性變化的，因此公式基于線性插值的原則推導(dǎo)而來(lái)。

用面積理解雙線性插值示意圖

面積理解雙線性插值

雙三次插值 bicubic

雙三次插值

步驟 1：計(jì)算 $x$ 方向的中間插值點(diǎn) $P_0, P_1, P_2, P_3$

確定插值點(diǎn)和網(wǎng)格點(diǎn)
- 插值點(diǎn)為 $P(n, m)$ ，位于 $(n, m)$ 。
- 最近的左上角網(wǎng)格點(diǎn)為 $Q_{11} = (\lfloor n \rfloor, \lfloor m \rfloor)$ 。
- 選擇 $P$ 點(diǎn)周?chē)? $4 \times 4$ 網(wǎng)格點(diǎn)：
  $q_{i,j} = (\lfloor n \rfloor + j, \lfloor m \rfloor + i), \quad i, j \in \{-1, 0, 1, 2\}$
計(jì)算 $x$ 方向的偏移
- 計(jì)算 $t_x = n - \lfloor n \rfloor$ ，即插值點(diǎn)在 $x$ 方向上相對(duì)于網(wǎng)格點(diǎn)的偏移。
計(jì)算 $x$ 方向的中間值 $P_0, P_1, P_2, P_3$
- 對(duì)于每一行 $i \in \{-1, 0, 1, 2\}$ ，使用 $x$ 方向的插值權(quán)重 $w_x(j, t_x)$ 計(jì)算中間插值點(diǎn)：
  $P_i = \sum_{j=-1}^{2} w_x(j, t_x) \cdot q_{i,j}$
- $w_x(j, t_x)$ 的權(quán)重函數(shù) $w(x)$ 定義如下（見(jiàn)權(quán)重公式部分）。

步驟 2：計(jì)算 $y$ 方向的最終插值點(diǎn) $P$

計(jì)算 $y$ 方向的偏移
- 計(jì)算 $t_y = m - \lfloor m \rfloor$ ，即插值點(diǎn)在 $y$ 方向上相對(duì)于網(wǎng)格點(diǎn)的偏移。
計(jì)算 $y$ 方向的插值值 $P$
- 使用 $y$ 方向的插值權(quán)重 $w_y(i, t_y)$ 和中間插值點(diǎn) $P_0, P_1, P_2, P_3$ 計(jì)算最終插值點(diǎn)的值：
  $P(n, m) = \sum_{i=-1}^{2} w_y(i, t_y) \cdot P_i$

雙三次插值的權(quán)重函數(shù)

權(quán)重函數(shù) $w(x)$ 的定義為：
$w(x) = \begin{cases} 1.5 |x|^3 - 2.5 |x|^2 + 1, & \text{if } 0 \leq |x| < 1 \\ -0.5 |x|^3 + 2.5 |x|^2 - 4 |x| + 2, & \text{if } 1 \leq |x| < 2 \\ 0, & \text{if } |x| \geq 2 \end{cases}$

權(quán)重函數(shù)中的變量說(shuō)明

$x$ 表示插值點(diǎn)與網(wǎng)格點(diǎn)之間的相對(duì)距離，定義為：
$x = j - t_x \quad \text{或} \quad x = i - t_y$
根據(jù) $x$ 的絕對(duì)值范圍，選擇對(duì)應(yīng)的公式計(jì)算權(quán)重。

總結(jié)步驟

計(jì)算 $x$ 方向的中間插值點(diǎn)
- 使用 $t_x$ 和 $w(x)$ 對(duì)每一行進(jìn)行插值，得到 $P_0, P_1, P_2, P_3$ 。
計(jì)算 $y$ 方向的最終插值點(diǎn)
- 使用 $t_y$ 和 $w(x)$ 對(duì) $P_0, P_1, P_2, P_3$ 進(jìn)行插值，得到插值點(diǎn) $P$ 。
核心公式
- $x$ 方向中間值：
  $P_i = \sum_{j=-1}^{2} w_x(j, t_x) \cdot q_{i,j}$
- $y$ 方向最終值：
  $P(n, m) = \sum_{i=-1}^{2} w_y(i, t_y) \cdot P_i$
權(quán)重函數(shù)：
$w(x) = \begin{cases} 1.5 |x|^3 - 2.5 |x|^2 + 1, & \text{if } 0 \leq |x| < 1 \\ -0.5 |x|^3 + 2.5 |x|^2 - 4 |x| + 2, & \text{if } 1 \leq |x| < 2 \\ 0, & \text{if } |x| \geq 2 \end{cases}$

cuda 仿射變換實(shí)現(xiàn)

雙線性插值

static .,__device__ float bicubic_weight(float x) {
    const float a = -0.5f;  // 常見(jiàn)的值，通常取-0.5f
    if (x < 0) x = -x;
    if (x < 1) return (a + 2.0f) * powf(x, 3) - (a + 3.0f) * powf(x, 2) + 1.0f;
    if (x < 2) return a * powf(x, 3) - 5.0f * a * powf(x, 2) + 8.0f * a * x - 4.0f * a;
    return 0.0f;
}

static __global__ void warp_affine_bicubic_plane_kernel(uint8_t *src,
                                                        int src_line_size,
                                                        int src_width,
                                                        int src_height,
                                                        uint8_t *dst,
                                                        int dst_width,
                                                        int dst_height,
                                                        uint8_t const_value_st,
                                                        float *warp_affine_matrix_2_3)
{
    int dx = blockDim.x * blockIdx.x + threadIdx.x;
    int dy = blockDim.y * blockIdx.y + threadIdx.y;
    if (dx >= dst_width || dy >= dst_height)
        return;

    float m_x1 = warp_affine_matrix_2_3[0];
    float m_y1 = warp_affine_matrix_2_3[1];
    float m_z1 = warp_affine_matrix_2_3[2];
    float m_x2 = warp_affine_matrix_2_3[3];
    float m_y2 = warp_affine_matrix_2_3[4];
    float m_z2 = warp_affine_matrix_2_3[5];

    float src_x = m_x1 * dx + m_y1 * dy + m_z1;
    float src_y = m_x2 * dx + m_y2 * dy + m_z2;

    if (src_x <= 1 || src_x >= src_width - 2 || src_y <= 1 || src_y >= src_height - 2)
    {
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3] = const_value_st;
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3 + 1] = const_value_st;
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3 + 2] = const_value_st;
    }
    else
    {
        // 直接在插值時(shí)獲取像素值
        float wts_x[4], wts_y[4];
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            wts_x[i] = bicubic_weight(src_x - ((int)floorf(src_x) - 1 + i));
            wts_y[i] = bicubic_weight(src_y - ((int)floorf(src_y) - 1 + i));
        }

        // x 方向插值
        float p_x[4][3] = {{0}};
        for (int i = 0; i < 4; i++) 
        {
            float px_r = 0, px_g = 0, px_b = 0;
            for (int j = 0; j < 4; j++) 
            {
                int y = (int)floorf(src_y) - 1 + i;
                int x = (int)floorf(src_x) - 1 + j;
                // 邊界檢查并計(jì)算像素
                if (y >= 0 && y < src_height && x >= 0 && x < src_width)
                {
                    uint8_t* pixel = &src[y * src_line_size + x * 3];
                    px_r += pixel[0] * bicubic_weight(src_x - x);
                    px_g += pixel[1] * bicubic_weight(src_x - x);
                    px_b += pixel[2] * bicubic_weight(src_x - x);
                }
                else
                {
                    px_r += const_value_st * bicubic_weight(src_x - x);
                    px_g += const_value_st * bicubic_weight(src_x - x);
                    px_b += const_value_st * bicubic_weight(src_x - x);
                }
            }
            p_x[i][0] = px_r;
            p_x[i][1] = px_g;
            p_x[i][2] = px_b;
        }

        // y 方向插值并輸出到目標(biāo)圖像
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3]     = (uint8_t)min(max(wts_y[0] * p_x[0][0] + wts_y[1] * p_x[1][0] + wts_y[2] * p_x[2][0] + wts_y[3] * p_x[3][0] + 0.5f, 0.0f), 255.0f);
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3 + 1] = (uint8_t)min(max(wts_y[0] * p_x[0][1] + wts_y[1] * p_x[1][1] + wts_y[2] * p_x[2][1] + wts_y[3] * p_x[3][1] + 0.5f, 0.0f), 255.0f);
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3 + 2] = (uint8_t)min(max(wts_y[0] * p_x[0][2] + wts_y[1] * p_x[1][2] + wts_y[2] * p_x[2][2] + wts_y[3] * p_x[3][2] + 0.5f, 0.0f), 255.0f);
    }
}

雙三次插值

static __device__ float bicubic_weight(float x) {
    const float a = -0.5f;  // 常見(jiàn)的值，通常取-0.5f
    if (x < 0) x = -x;
    if (x < 1) return (a + 2.0f) * powf(x, 3) - (a + 3.0f) * powf(x, 2) + 1.0f;
    if (x < 2) return a * powf(x, 3) - 5.0f * a * powf(x, 2) + 8.0f * a * x - 4.0f * a;
    return 0.0f;
}

static __global__ void warp_affine_bicubic_plane_kernel(uint8_t *src,
                                                        int src_line_size,
                                                        int src_width,
                                                        int src_height,
                                                        uint8_t *dst,
                                                        int dst_width,
                                                        int dst_height,
                                                        uint8_t const_value_st,
                                                        float *warp_affine_matrix_2_3)
{
    int dx = blockDim.x * blockIdx.x + threadIdx.x;
    int dy = blockDim.y * blockIdx.y + threadIdx.y;
    if (dx >= dst_width || dy >= dst_height)
        return;

    float m_x1 = warp_affine_matrix_2_3[0];
    float m_y1 = warp_affine_matrix_2_3[1];
    float m_z1 = warp_affine_matrix_2_3[2];
    float m_x2 = warp_affine_matrix_2_3[3];
    float m_y2 = warp_affine_matrix_2_3[4];
    float m_z2 = warp_affine_matrix_2_3[5];

    float src_x = m_x1 * dx + m_y1 * dy + m_z1;
    float src_y = m_x2 * dx + m_y2 * dy + m_z2;

    if (src_x <= 1 || src_x >= src_width - 2 || src_y <= 1 || src_y >= src_height - 2)
    {
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3] = const_value_st;
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3 + 1] = const_value_st;
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3 + 2] = const_value_st;
    }
    else
    {
        // 直接在插值時(shí)獲取像素值
        float wts_y[4];
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            wts_y[i] = bicubic_weight(src_y - ((int)floorf(src_y) - 1 + i));
        }

        // x 方向插值
        float p_x[4][3] = {{0}};
        for (int i = 0; i < 4; i++) 
        {
            float px_r = 0, px_g = 0, px_b = 0;
            for (int j = 0; j < 4; j++) 
            {
                int y = (int)floorf(src_y) - 1 + i;
                int x = (int)floorf(src_x) - 1 + j;
                // 邊界檢查并計(jì)算像素
                if (y >= 0 && y < src_height && x >= 0 && x < src_width)
                {
                    uint8_t* pixel = &src[y * src_line_size + x * 3];
                    px_r += pixel[0] * bicubic_weight(src_x - x);
                    px_g += pixel[1] * bicubic_weight(src_x - x);
                    px_b += pixel[2] * bicubic_weight(src_x - x);
                }
                else
                {
                    px_r += const_value_st * bicubic_weight(src_x - x);
                    px_g += const_value_st * bicubic_weight(src_x - x);
                    px_b += const_value_st * bicubic_weight(src_x - x);
                }
            }
            p_x[i][0] = px_r;
            p_x[i][1] = px_g;
            p_x[i][2] = px_b;
        }

        // y 方向插值并輸出到目標(biāo)圖像
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3]     = (uint8_t)min(max(wts_y[0] * p_x[0][0] + wts_y[1] * p_x[1][0] + wts_y[2] * p_x[2][0] + wts_y[3] * p_x[3][0] + 0.5f, 0.0f), 255.0f);
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3 + 1] = (uint8_t)min(max(wts_y[0] * p_x[0][1] + wts_y[1] * p_x[1][1] + wts_y[2] * p_x[2][1] + wts_y[3] * p_x[3][1] + 0.5f, 0.0f), 255.0f);
        dst[(dy * dst_width + dx) * 3 + 2] = (uint8_t)min(max(wts_y[0] * p_x[0][2] + wts_y[1] * p_x[1][2] + wts_y[2] * p_x[2][2] + wts_y[3] * p_x[3][2] + 0.5f, 0.0f), 255.0f);
    }
}

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插值算法

插值算法

線性插值

雙線性插值 bilinear

雙線性插值公式推導(dǎo)

1. 問(wèn)題描述

2. 計(jì)算 $P_1$ 和 $P_2$

3. 根據(jù) $P_1$ 和 $P_2$ 計(jì)算 $P(tx, ty)$

4. 雙線性插值公式

5. 總結(jié)

用面積理解雙線性插值示意圖

雙三次插值 bicubic

步驟 1：計(jì)算 $x$ 方向的中間插值點(diǎn) $P_0, P_1, P_2, P_3$

步驟 2：計(jì)算 $y$ 方向的最終插值點(diǎn) $P$

雙三次插值的權(quán)重函數(shù)

權(quán)重函數(shù)中的變量說(shuō)明

總結(jié)步驟

cuda 仿射變換實(shí)現(xiàn)

雙線性插值

雙三次插值

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雙線性插值 bilinear

雙線性插值公式推導(dǎo)

1. 問(wèn)題描述

2. 計(jì)算 和

3. 根據(jù) 和 計(jì)算

4. 雙線性插值公式

5. 總結(jié)

用面積理解雙線性插值示意圖

雙三次插值 bicubic

步驟 1：計(jì)算 方向的中間插值點(diǎn)

步驟 2：計(jì)算 方向的最終插值點(diǎn)

雙三次插值的權(quán)重函數(shù)

權(quán)重函數(shù)中的變量說(shuō)明

總結(jié)步驟

cuda 仿射變換實(shí)現(xiàn)

雙線性插值

雙三次插值

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2. 計(jì)算 $P_1$ 和 $P_2$

3. 根據(jù) $P_1$ 和 $P_2$ 計(jì)算 $P(tx, ty)$

步驟 1：計(jì)算 $x$ 方向的中間插值點(diǎn) $P_0, P_1, P_2, P_3$

步驟 2：計(jì)算 $y$ 方向的最終插值點(diǎn) $P$