一、數(shù)字的解放

生活在美索不達(dá)米亞平原上的人發(fā)明了黏土籌碼系統(tǒng)，隨著楔形文字被發(fā)明出來(lái)，最初的數(shù)學(xué)符號(hào)也開(kāi)始逐漸轉(zhuǎn)變。這影響了臨近的埃及人，從公元前3千紀(jì)初期開(kāi)始，他們?cè)谛ㄐ挝淖值幕A(chǔ)上發(fā)展出屬于自己文明的計(jì)數(shù)系統(tǒng)。公元前2000年左右，古巴比倫人雄霸西北地區(qū)，包括美索不達(dá)米亞平原，他們繼續(xù)發(fā)展楔形文字的計(jì)數(shù)系統(tǒng)。古巴比倫學(xué)者創(chuàng)造出無(wú)與倫比的先進(jìn)知識(shí)：加、減、乘、除、平方根、乘方、倒數(shù)，他們還發(fā)展出了運(yùn)算表格，列出方程并給出巧妙的解法。

二、幾何的進(jìn)擊

數(shù)字被發(fā)明了出來(lái)，數(shù)學(xué)在不久之后也將面臨學(xué)科分支的出現(xiàn)。在所有分支之中，幾何學(xué)迅速地脫穎而出，吸引古典時(shí)期最偉大的先哲們的注意力。同時(shí)，公元前11世紀(jì)，中國(guó)文明也已經(jīng)具有了數(shù)學(xué)知識(shí)，與古巴比倫文明、古埃及文明和古希臘文明恰好同時(shí)。
公元前6世紀(jì)起，古希臘世界進(jìn)入了一個(gè)前所未有的、文化與科學(xué)的沸騰階段。古希臘數(shù)學(xué)的出現(xiàn)，并不是在某一個(gè)固定的區(qū)域，而是在一個(gè)幅員遼闊的地理和文化區(qū)域中形成的。古希臘文明與其他古老文明的接觸會(huì)產(chǎn)生傳承和自身多樣性的交融，這是古希臘數(shù)學(xué)革命的原動(dòng)力之一，它是對(duì)古巴比倫和古印度的數(shù)學(xué)知識(shí)的吸收和擴(kuò)展。古希臘人認(rèn)為，幾何學(xué)因其嚴(yán)謹(jǐn)性和能夠訓(xùn)練頭腦而尊貴。相傳，在柏拉圖學(xué)院的正門(mén)上，刻著這樣的座右銘：“不習(xí)幾何者不得入內(nèi)?！?br> 公元前7世紀(jì)末期，古希臘歷史上第一位偉大的數(shù)學(xué)家泰勒斯降生了。據(jù)說(shuō)，他測(cè)量出了大金字塔的高度，他所用到的幾何方法是非常真實(shí)的，這種方法衍生出了一種特殊的情況，其具有的屬性使我們今天稱(chēng)其為“泰勒斯定理”：如果一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)落在一個(gè)圓周之上，并且其中一條邊穿過(guò)圓心，那么這個(gè)三角形必然是直角三角形。
他的另一條數(shù)學(xué)結(jié)論，看起來(lái)更顯而易見(jiàn)：一個(gè)圓的任意直徑將該圓分為等面積的兩部分。然而，這種陳述是了不起的，并不是因?yàn)樗膬?nèi)容，而是它的表達(dá)方式。泰勒斯敢說(shuō)，所有的圓都這樣，毫無(wú)例外！而同樣是表達(dá)這一規(guī)則，古巴比倫人、古埃及人、古代中國(guó)人都只是舉了一個(gè)個(gè)例。
通過(guò)這樣的操作，泰勒斯明確地給幾何圖形賦予了抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象的地位。這種思維階段正類(lèi)似于美索不達(dá)米亞人首次將數(shù)字從被計(jì)數(shù)的對(duì)象身上獨(dú)立出來(lái)。從此以后，數(shù)學(xué)真理可以用簡(jiǎn)潔又概括的方式表述，無(wú)論對(duì)于所包含的哪一種個(gè)別情況來(lái)說(shuō)，都是成立的。自此，古希臘人給這些表述起了一個(gè)名字，叫作“定理”。
公元前6世紀(jì)初期，畢達(dá)哥拉斯出生在薩摩斯島，在青年時(shí)期作為學(xué)徒游歷了古代世界之后，他最終選擇了克羅托內(nèi)城作為定居地。在那里，他于公元前532年開(kāi)創(chuàng)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），人類(lèi)有史以來(lái)最著名的定理之一，就是以他的名字命名的。
為了避免“定理”頻繁地出現(xiàn)意外，“證明”將是古希臘的數(shù)學(xué)家們需要攻堅(jiān)的主戰(zhàn)場(chǎng)之一。如果沒(méi)有相應(yīng)的驗(yàn)證過(guò)程，那么一個(gè)“定理”則不能被承認(rèn)。當(dāng)然，這一切都離不開(kāi)歐幾里得和他的《幾何原本》。歐幾里得的《幾何原本》被毫無(wú)爭(zhēng)議地認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上最偉大的著作之一，15世紀(jì)末期古登堡使用新印刷術(shù)印刷成書(shū)的第一批書(shū)籍之一，是今天再版次數(shù)第二多的著作，僅次于《圣經(jīng)》。
14世紀(jì)的阿爾·卡西建立了著名的三角函數(shù)表（不同角度三角形的余弦值、正弦值、正切值），在《算數(shù)之鑰》中他還描述了一個(gè)從畢達(dá)哥拉斯定理推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論，通過(guò)巧妙地運(yùn)用余弦，最終創(chuàng)造出一條對(duì)所有三角形都絕對(duì)適用的定理。直到今天，卡西定理依然是經(jīng)常使用的三角學(xué)結(jié)論之一。

三、代數(shù)的壯大

波斯數(shù)學(xué)家穆罕默德·伊本·花拉子米，出生在公元8世紀(jì)80年代，他撰寫(xiě)了一本具有革命性的書(shū)籍，確保了他躋身人類(lèi)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家行列，可以與阿基米德和婆羅摩笈多比肩。這本書(shū)是阿拉伯帝國(guó)的哈里發(fā)馬蒙下令花拉子米撰寫(xiě)的，他希望能夠給他的人民提供一本數(shù)學(xué)指南，每個(gè)人都能夠通過(guò)學(xué)習(xí)這本書(shū)的內(nèi)容來(lái)解決日常生活中可能出現(xiàn)的問(wèn)題?；ɡ用捉o出的答卷出乎意料，在這本《還原與對(duì)消計(jì)算概要》中，花拉子米開(kāi)創(chuàng)了代數(shù)學(xué)，他以一種獨(dú)立于問(wèn)題本身的抽象方法，詳細(xì)地介紹了解決問(wèn)題的過(guò)程。
花拉子米的方法完美地滿足了數(shù)學(xué)發(fā)展的整體動(dòng)態(tài)，即趨向于抽象性和普遍性。很長(zhǎng)一段時(shí)間以來(lái)，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象已經(jīng)從它們所代表的現(xiàn)實(shí)事物中脫離出來(lái)并獨(dú)立存在了。因?yàn)榛ɡ用椎难芯?，我們有了充分的依?jù)，將具體的對(duì)象從那些被認(rèn)為可以解決的問(wèn)題中抽離出來(lái)。
公元1219年，成吉思汗率領(lǐng)的蒙古鐵騎沖進(jìn)了花拉子米的故鄉(xiāng)花刺子模。1258年，蒙古人在成吉思汗之孫旭烈兀的帶領(lǐng)下，兵臨巴格達(dá)的城門(mén)之下。為了在帝國(guó)的重重崩潰下不使研究中斷，阿拉伯世界的科學(xué)組織開(kāi)始分散到世界各地。一直到16世紀(jì)，阿拉伯世界還在創(chuàng)造著領(lǐng)先世界的科學(xué)研究，但是很快，歷史之風(fēng)轉(zhuǎn)了向，歐洲已經(jīng)做好了準(zhǔn)備，即將接過(guò)數(shù)學(xué)的圣火。中世紀(jì)時(shí)期，數(shù)學(xué)并沒(méi)有在歐洲蓬勃發(fā)展，然而，也有個(gè)別的例外。讓意大利人斐波那契聲名遠(yuǎn)揚(yáng)的，是一組特殊的數(shù)列，即一系列可以無(wú)限延長(zhǎng)的數(shù)字序列，有趣的是，這個(gè)數(shù)列的增長(zhǎng)率在無(wú)限層面上與黃金分割率幾乎一致。
在卡爾達(dá)諾證明過(guò)程中，包括諸如“-15的平方根的情況”。這在婆羅摩笈多發(fā)明的十進(jìn)制數(shù)學(xué)符號(hào)下是絕對(duì)不可能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)檎龜?shù)的平方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)！這吸引了另一位來(lái)自博洛尼亞的數(shù)學(xué)家拉斐爾·邦貝利，他總結(jié)整理了《大術(shù)》中的發(fā)現(xiàn)，并且介紹了這些新型數(shù)字，他稱(chēng)之為“復(fù)雜的數(shù)”。
邦貝利所做的事情，和婆羅摩笈多當(dāng)年“創(chuàng)造”出負(fù)數(shù)時(shí)的情況一樣。他在書(shū)中詳細(xì)介紹了“復(fù)雜的數(shù)”的所有計(jì)算規(guī)則，尤其指出其平方是負(fù)數(shù)。后來(lái)，17世紀(jì)的笛卡爾賦予了它沿用至今的新名字：虛數(shù)。然而，虛數(shù)不像負(fù)數(shù)，它們與我們的直覺(jué)相悖，負(fù)數(shù)至少能通過(guò)債務(wù)被理解，虛數(shù)呢？它還要再等上漫長(zhǎng)的兩個(gè)世紀(jì)，才會(huì)最終被數(shù)學(xué)界所接受，在19世紀(jì)，先驗(yàn)的認(rèn)為“經(jīng)典意義上的數(shù)字才是數(shù)字”的想法被摒棄了。
負(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)與虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)有著相似的意義，它們都揭示了數(shù)學(xué)中簡(jiǎn)潔的美感。我們的語(yǔ)言，根據(jù)某件事情的“是”或“非”而使用不同的結(jié)構(gòu)，比如肯定句式“我曾經(jīng)在火星上漫步過(guò)”，否定則是“我沒(méi)有在火星上漫步過(guò)”。而數(shù)學(xué)為了將它們歸并到一個(gè)同樣的句式之中，則會(huì)刪除這些差異，寫(xiě)作“我在火星上漫步了若干次”，這個(gè)“若干”可能是數(shù)字零。

四、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的獨(dú)立與發(fā)展

16世紀(jì)的歐洲是熱血沸騰的。文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)在席卷了意大利之后，開(kāi)始向整個(gè)歐洲大陸蔓延。借著文藝復(fù)興的“春風(fēng)”，數(shù)學(xué)終于在法國(guó)“登陸”。1591年，韋達(dá)出版了他最著名的著作，即《分析方法入門(mén)》，這是另一部里程碑式的著作。
韋達(dá)是一種新型代數(shù)學(xué)的主要引導(dǎo)者，而這種新的代數(shù)學(xué)在未來(lái)的幾十年內(nèi)，將產(chǎn)生出一種全新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。讓我們將時(shí)鐘往回?fù)?，古代的學(xué)者們其實(shí)并沒(méi)有一種特殊的語(yǔ)言來(lái)撰寫(xiě)數(shù)學(xué)知識(shí)。在長(zhǎng)達(dá)5000年的歲月中，從古代美索不達(dá)米亞人到古希臘人、古代中國(guó)人、古代印度人，再到古代阿拉伯人，人們書(shū)寫(xiě)數(shù)學(xué)公式的時(shí)候，使用的一直是日常生活中的語(yǔ)言。這種方式不但寫(xiě)起來(lái)非常冗長(zhǎng)，而且還因?yàn)槭芟抻谡Z(yǔ)言而具有一定的歧義，隨著數(shù)學(xué)推理和論證的過(guò)程變得越來(lái)越復(fù)雜，這種寫(xiě)作模式漸漸地顯露了弊端。為了解決這個(gè)變得日益復(fù)雜的問(wèn)題，數(shù)學(xué)家們逐漸地開(kāi)始簡(jiǎn)化代數(shù)語(yǔ)言。
這個(gè)過(guò)程開(kāi)始于中世紀(jì)晚期的西方伊斯蘭世界，不過(guò)，在15世紀(jì)至16世紀(jì)的歐洲，這個(gè)運(yùn)動(dòng)得到了格外充分的開(kāi)展。韋達(dá)是這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中的催化劑，他在《分析方法入門(mén)》中發(fā)起了一項(xiàng)龐大的“代數(shù)現(xiàn)代化”計(jì)劃，笛卡爾在這個(gè)基礎(chǔ)上優(yōu)化了數(shù)學(xué)的表達(dá)方式，成為我們至今仍在使用的方法：用字母表的前幾個(gè)字母（a,b,c……）表示已知數(shù)，用最后幾個(gè)字母（x,y,z)表示未知數(shù)。
從此之后，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始有意識(shí)地列舉各種情況，并建立處理字母化方程的相關(guān)規(guī)則，很快代數(shù)學(xué)從幾何學(xué)中脫離出來(lái)，成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科。接著，由于笛卡爾坐標(biāo)的出現(xiàn)，字母運(yùn)算將顛覆整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的權(quán)重關(guān)系，很快，幾何學(xué)就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己需要大量依靠代數(shù)學(xué)的論證了。
1623年伽利略在其《試金者》一書(shū)中記錄了數(shù)學(xué)與物理學(xué)之間日益緊密的關(guān)系。在這一時(shí)期，最顯著的成就是牛頓發(fā)現(xiàn)的萬(wàn)有引力定律，它計(jì)算出了哈雷彗星的回歸周期。萬(wàn)有引力的發(fā)展是第一批需要數(shù)學(xué)創(chuàng)新的物理課題之一。
牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書(shū)中，走上了“無(wú)限細(xì)致的細(xì)分”這條研究道路，隨后，德國(guó)數(shù)學(xué)家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨厘清了在牛頓那里尚不太清楚的問(wèn)題。通過(guò)牛頓和萊布尼茨的探索，“微積分”誕生了。不過(guò)，關(guān)于微積分的“著作權(quán)”問(wèn)題，牛頓和萊布尼茨打了好幾年口水仗。牛頓認(rèn)為，他才是微積分第一人，因?yàn)樗麖?669年起就開(kāi)始研究這個(gè)問(wèn)題，可惜的是，他在發(fā)表成果方面，比萊布尼茨足足晚了3年，萊布尼茨在1684年發(fā)表了自己對(duì)于微積分的研究。

讓我們回顧整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展趨向于抽象性和普遍性。最開(kāi)始，美索不達(dá)米亞人（蘇美爾人與巴比倫人的共同努力）發(fā)明數(shù)字符號(hào)，使數(shù)學(xué)從被計(jì)量的物體中抽象出來(lái)；歐幾里得總結(jié)公理和定理的研究方法，使數(shù)學(xué)擁有了普遍性；花拉子米開(kāi)創(chuàng)代數(shù)學(xué)又使數(shù)學(xué)從問(wèn)題中抽象出來(lái)；再到韋達(dá)發(fā)起的“代數(shù)現(xiàn)代化”運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)又從日常生活的語(yǔ)言中抽象出來(lái)，成為一種可以通過(guò)諸如愛(ài)因斯坦“E = mc2”的公式描述世界的語(yǔ)言。通過(guò)抽象性和普遍性，它逐漸地?fù)碛辛撕?jiǎn)潔的力量。