3blue1brown系列課程，精美的動(dòng)畫，配上生動(dòng)的講解，非常適合幫助建立數(shù)學(xué)的形象思維，非常值得反復(fù)觀看：
嗶哩嗶哩：
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作者還把制作視頻的用到的代碼放到了 github 上，有興趣的同學(xué)可以研究看看
Github: https://github.com/3b1b/manim
我們節(jié)選其中一部分內(nèi)容，領(lǐng)略一下微積分的奧妙
要了解微積分的本質(zhì)，我們從一個(gè)大家都知道的公式說起。這個(gè)公式就是求圓的面積公式：A=πr2
我們將用微積分的方式來推導(dǎo)這個(gè)公式，在這個(gè)過程中，我們將利用到微分，積分，和兩者的互逆。
首先我們先將一個(gè)圓如下圖切分成數(shù)個(gè)圓環(huán)。我們獲得每個(gè)圓環(huán)的面積，然后將他們相加不就得到圓的面積了。
所以我們以相同的距離dr將圓切分成若干個(gè)同心圓環(huán)。
比如圓環(huán)的半徑是3，dr取0.1 那么我們就將一個(gè)圓換分成了30個(gè)寬度都是0.1的同心圓環(huán)：
每一個(gè)圓環(huán)拉直會(huì)得到一個(gè)新的形狀，我們將這個(gè)形狀近似看做一個(gè)矩形
那么這個(gè)矩形的面積就是這個(gè)圓環(huán)的周長乘以dr，圓環(huán)的周長為圓環(huán)到圓心的距離*2π
那么每個(gè)圓環(huán)的近似面積面積就為：2πrdr*(這里的r是每個(gè)圓環(huán)到圓心的距離)
你會(huì)發(fā)現(xiàn)我們的dr 取值越小，那么我們計(jì)算出來的圓的面積也就越精確。
現(xiàn)在如果我們把所有近似矩從小到大一個(gè)接一個(gè)的排列在一起，我們會(huì)有一些全新的發(fā)現(xiàn)：
注意，為了方便觀察我們y軸與x軸的比例為5：1
現(xiàn)在我們?nèi)サ膁r是0.1，而我們?nèi)〉膁r值越小，獲得的圓環(huán)的數(shù)量就越多，而這些圓環(huán)的近似矩形面積相加起來的面積就靠近原來的圓的面積。
若是無限多個(gè)圓環(huán)，那么我們獲得的近似值越來越靠近真實(shí)值。
可是我們?nèi)〉膱A環(huán)越多，那么計(jì)算量不就越大，無限多的就代表根本沒法計(jì)算。
但注意，當(dāng)dr取值無限小的時(shí)候，我們將所有圓環(huán)的面積加起來與下圖三角形的面積是相同的。
這個(gè)三角形的底是3 而高最大圓環(huán)的周長，也就是圓的周長：2π*3
如果圓的半徑是r，那么它對(duì)應(yīng)的三角形就是一個(gè)底為r，高為2π*r的三角形。根據(jù)三角形面積公式，我們得到
圓的面積為：πr2
對(duì)于數(shù)學(xué)家來說，你不光要找到答案，你還想要能發(fā)展處解決一般問題的工具和技巧
我們回想一下剛剛發(fā)生了什么。為什么這樣做是可行的。這個(gè)從近似值到精確值的過程，通過這個(gè)過程，我們可以了解微積分的本質(zhì)。
最開我們將問題化解為許多微小值的和，來獲得一個(gè)近似的結(jié)果。
首先我們?nèi)∶块g隔dr值，取一個(gè)圓環(huán)。我們將一個(gè)圓換分成若干個(gè)小圓環(huán)，將其近似看成若干個(gè)矩形，我們就能獲得近似的圓形面積。
這里的dr 不僅是圓環(huán)的寬度，也是每個(gè)圓環(huán)半徑的間距。
我們將這個(gè)這個(gè)dr越縮小，dr值取的越小，所有矩形相加的面積就越接近于一個(gè)三角形的面積。
我們可以得出結(jié)論，原來的原型的面積恰好就是這個(gè)三角形的面積。
注意此時(shí)已經(jīng)不是近似值，而是完全準(zhǔn)確。
通過這種方法，我們重新推導(dǎo)了計(jì)算圓的面積的公式。
現(xiàn)在我們看看這種方法在其他的地方如何發(fā)揮作用。
例如，已知騎車在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的速度，求這段時(shí)間騎車走了多遠(yuǎn)的距離。
我們可以用每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的速度乘以這段微小的時(shí)間，然后相加求和，就是這一整段時(shí)間走的距離的近似值。
從圖中，我們可以看出，最后我們將一個(gè)物理學(xué)的問題，變成了幾何學(xué)的問題。這是不是很有趣？
還有很多的問題都可以這樣來計(jì)算，我們將一個(gè)復(fù)雜的問題，拆解為若干近似于a*b然后相加求和的問題(如上面的速度乘以時(shí)間)，
其中每一個(gè)乘法計(jì)算中的a都是相同的。（如上一例子中，每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的距離是相同的，也就是vt中的t是相同的）
那么我們就可以將問題轉(zhuǎn)化為若干細(xì)長的矩形面積(a*b不就是求矩形面積的公式？)相加取得近似值的問題。
若是我們?nèi)〉腶（在這個(gè)汽車?yán)又械膖）取值越小，我們最終獲得的值就越精確，而且越發(fā)靠近求下圖面積的問題的。
等等，這個(gè)形狀的面積似乎也不是那么好求得。
似乎我們不會(huì)像求圓的面積的時(shí)候那么的幸運(yùn)，得到圖形正好是一個(gè)三角形。
如上題我們求一個(gè)汽車從發(fā)動(dòng)到停止這段時(shí)間經(jīng)過的距離，最后我們得到的這樣一個(gè)形狀，我們要怎么求它的面積呢？
一個(gè)二次函數(shù)的曲線下的面積要怎么求呢？
視頻告訴我們，當(dāng)你在數(shù)學(xué)上遇到一個(gè)特別難解的問題是，不要想著正面硬解，這樣你往往會(huì)撞上南墻。
相反，你應(yīng)該帶著不明確的目的不斷把玩這些概念。
我們將二次函數(shù)，x2函數(shù)曲線下的面積設(shè)置A(x)
那么A(x)與x2之間有什么特殊關(guān)系呢？
如果我們將x的值增加一點(diǎn)點(diǎn)，那A(x2)的值回發(fā)生怎樣的變化呢？
我們把增加的面積叫做dA，x的增加值叫做dx
我們將這個(gè)增加的面積近似看做一個(gè)矩形。
我們可以得到：
dA≈x2*dx 由此我們得到： dA/dx≈x2
這里我們dx的值取的越小，那么這個(gè)dA的面積就越接近矩形的面積。dA/dx也就越接近x2
我們將x=3,dx0.001代入這個(gè)公式可以得到
現(xiàn)在我們還是不知道神秘的A(x)，但是我們有了這樣一個(gè)一個(gè)公式：dA/dx≈f(x)
dx取值越小，這個(gè)公式就越精確。
作者：guolaomao@cnblogs
