————— 第二天 —————
題目是什么意思呢？比如給定的無序數(shù)組如下：
如果 k=6，也就是要尋找第6大的元素，這個元素是哪一個呢？
顯然，數(shù)組中第一大的元素是24，第二大的元素是20，第三大的元素是17 ...... 第6大的元素是9。
方法一：排序法
這是最容易想到的方法，先把無序數(shù)組從大到小進行排序，排序后的第k個元素，自然就是數(shù)組中的第k大元素。
方法二：插入法
維護一個長度為k的數(shù)組A的有序數(shù)組，用于存儲已知的k個較大的元素。
接下來遍歷原數(shù)組，每遍歷到一個元素，和數(shù)組A中最小的元素相比較，如果小于等于數(shù)組A的最小元素，繼續(xù)遍歷；如果大于數(shù)組A的最小元素，則插入到數(shù)組A中，并把曾經(jīng)的最小元素“擠出去”。
比如k=3，先把最左側的7,5,15三個數(shù)有序放入數(shù)組A當中，代表當前最大的三個數(shù)。
這時候，遍歷到3， 由于3<5，繼續(xù)遍歷。
接下來遍歷到17，由于17>5，插入到數(shù)組A的合適位置，類似于插入排序，并把原先最小的元素5“擠出去”。
繼續(xù)遍歷原數(shù)組，一直遍歷到數(shù)組的最后一個元素......
最終，數(shù)組A中存儲的元素是24,20,17，代表著整個數(shù)組中最大的3個元素。此時數(shù)組A中的最小的元素17就是我們要尋找的第k大元素。
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什么是二叉堆？不太了解的小伙伴可以先看看這一篇：
漫畫：什么是二叉堆？（修正版）
簡而言之，二叉堆是一種特殊的完全二叉樹，它包含大頂堆和小頂堆兩種形式。
其中小頂堆的特點，是每一個父節(jié)點都小于等于自己的子節(jié)點。要解決這個算法題，我們可以利用小頂堆的特性。
方法三：小頂堆法
維護一個容量為k的小頂堆，堆中的k個節(jié)點代表著當前最大的k個元素，而堆頂顯然是這k個元素中的最小值。
遍歷原數(shù)組，每遍歷一個元素，就和堆頂比較，如果當前元素小于等于堆頂，則繼續(xù)遍歷；如果元素大于堆頂，則把當前元素放在堆頂位置，并調(diào)整二叉堆（下沉操作）。
遍歷結束后，堆頂就是數(shù)組的最大k個元素中的最小值，也就是第k大元素。
假設k=5，具體的執(zhí)行步驟如下：
1.把數(shù)組的前k個元素構建成堆。
2.繼續(xù)遍歷數(shù)組，和堆頂比較，如果小于等于堆頂，則繼續(xù)遍歷；如果大于堆頂，則取代堆頂元素并調(diào)整堆。
遍歷到元素2，由于 2<3，所以繼續(xù)遍歷。
遍歷到元素20，由于 20>3，20取代堆頂位置，并調(diào)整堆。
遍歷到元素24，由于 24>5，24取代堆頂位置，并調(diào)整堆。
以此類推，我們一個一個遍歷元素，當遍歷到最后一個元素8的時候，小頂堆的情況如下：
3.此時的堆頂，就是堆中的最小值，也就是數(shù)組中的第k大元素。
這個方法的時間復雜度是多少呢？
1.構建堆的時間復雜度是 O（k）
2.遍歷剩余數(shù)組的時間復雜度是O（n-k）
3.每次調(diào)整堆的時間復雜度是 O（logk）
其中2和3是嵌套關系，1和2,3是并列關系，所以總的最壞時間復雜度是O（（n-k）logk + k）。當k遠小于n的情況下，也可以近似地認為是O（nlogk）。
這個方法的空間復雜度是多少呢？
剛才我們在詳細步驟中把二叉堆單獨拿出來演示，是為了便于理解。但如果允許改變原數(shù)組的話，我們可以把數(shù)組的前k個元素“原地交換”來構建成二叉堆，這樣就免去了開辟額外的存儲空間。
因此，方法的空間復雜度是O（1）。
/**
* 尋找第k大的元素
* @param array 待調(diào)整的堆
* @param k 第幾大
*/
public static int findNumberK(int[] array, int k){
//1.用前k個元素構建小頂堆
buildHeap(array, k);
//2.繼續(xù)遍歷數(shù)組，和堆頂比較
for(int i=k; i<array.length;i++){
if(array[i] > array[0]){
array[0] = array[i];
downAdjust(array, 0, k);
}
}
//3.返回堆頂元素
return array[0];
}
/**
* 構建堆
* @param array 待調(diào)整的堆
* @param length 堆的有效大小
*/
private static void buildHeap(int[] array, int length) {
// 從最后一個非葉子節(jié)點開始，依次下沉調(diào)整
for (int i = (length-2)/2; i >= 0; i--) {
downAdjust(array, i, length);
}
}
/**
* 下沉調(diào)整
* @param array 待調(diào)整的堆
* @param index 要下沉的節(jié)點
* @param length 堆的有效大小
*/
private static void downAdjust(int[] array, int index, int length) {
// temp保存父節(jié)點值，用于最后的賦值
int temp = array[index];
int childIndex = 2 * index + 1;
while (childIndex < length) {
// 如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值，則定位到右孩子
if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] < array[childIndex]) {
childIndex++;
}
// 如果父節(jié)點小于任何一個孩子的值，直接跳出
if (temp <= array[childIndex])
break;
//無需真正交換，單向賦值即可
array[index] = array[childIndex];
index = childIndex;
childIndex = 2 * childIndex + 1;
}
array[index] = temp;
}
public static void main(String[] args) {
int[] array = new int[] {7,5,15,3,17,2,20,24,1,9,12,8};
System.out.println(findNumberK(array, 5));
}
方法四：分治法
大家都了解快速排序，快速排序利用分治法，每一次把數(shù)組分成較大和較小的兩部分。
我們在尋找第k大元素的時候，也可以利用這個思路，以某個元素A為基準，把大于于A的元素都交換到數(shù)組左邊，小于A的元素都交換到數(shù)組右邊。
比如我們選擇以元素7作為基準，把數(shù)組分成了左側較大，右側較小的兩個區(qū)域，交換結果如下：
包括元素7在內(nèi)的較大元素有8個，但我們的k=5，顯然較大元素的數(shù)目過多了。于是我們在較大元素的區(qū)域繼續(xù)分治，這次以元素12位基準：
這樣一來，包括元素12在內(nèi)的較大元素有5個，正好和k相等。所以，基準元素12就是我們所求的。
這就是分治法的大體思想，這種方法的時間復雜度甚至優(yōu)于小頂堆法，可以達到O（n）。有興趣的小伙伴可以嘗試用代碼實現(xiàn)一下。
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