歐幾里德算法
歐幾里德算法又稱輾轉(zhuǎn)相除法，用于計算兩個整數(shù)a,b的最大公約數(shù)。
基本算法：設(shè)a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數(shù)，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
證明：
a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
　　假設(shè)d是a,b的一個公約數(shù)，則有
　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
　　因此d是(b,a mod b)的公約數(shù)
　　假設(shè)d 是(b,a mod b)的公約數(shù)，則
　　d | b , d |r ，但是a = kb +r
　　因此d也是(a,b)的公約數(shù)
　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數(shù)是一樣的，其最大公約數(shù)也必然相等，得證

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

擴(kuò)展歐幾里德算法
基本算法：對于不完全為 0 的非負(fù)整數(shù) a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數(shù)，必然存在整數(shù)對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
證明：設(shè) a>b。
　　1，顯然當(dāng) b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
　　2，ab!=0 時
　　設(shè) ax1+by1=gcd(a,b);
　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
　　根據(jù)樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
　　則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)b)y2=ay2+bx2-(a/b)by2;
　　根據(jù)恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
　 上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以結(jié)束。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}