補一年前的坑~~><

亞里士多德的邏輯是古典邏輯。此外還有現代邏輯即符號邏輯。以三段論為核心的古典邏輯看重 category、class。而符號邏輯不關心這個，只關心兩個陳述之間的關系，并用邏輯連結詞（符號）表現。

符號

圖片發(fā)自簡書App

以上4個是符號邏輯的核心符號。另外注意兩個，一是圖中提及的否定符號，它只是一個運算符，不是核心的體現邏輯關系的符號。另一個是邏輯等價的符號，它所表達的，超越邏輯關系（表達真值），還代表兩個陳述 meaning 上的含義，下面會再詳述。

4個符號中最重要的是表示蘊含關系的馬蹄號。

實質蘊含 （Material Implication）

這個符號打不出來，先用大括號代替。
p } q （英文是 p implies q )

蘊含的邏輯含義

imply /蘊含/如果…那么… 在邏輯上的意義要區(qū)別于日常語言中的意義。

日常語言中有4類含義。

1. 如果所有人都有死且蘇格拉底是人，那么蘇格拉底有死。
2. 如果萊士里是單身漢，那么萊士里是未婚的。
3. 如果把這張藍色石蕊試紙放在酸液中，那么這張藍色的石蕊試紙會變紅。
4. 如果斯塔德輸掉了這場比賽，那么我就吞下我的帽子。

第1條里，后件由前件“邏輯地”推出；2中，后件由前件中術語“單身漢”的定義而來；3中，后件和前件是因果關系；4表示的是說話者在特定情形下以特定方式行事的決策。自然語言中的 imply 考慮 p,q 的 meaning，若 p q 完全不相關，就不存在 imply 與否的問題。

而邏輯上的蘊含，不考慮 meaning，它單純地定義了p、q的關系。對于 p } q，僅表示如果 p 為真，q 必為真。它不 care p和q有什么邏輯、因果、定義、決策的聯系。因此，它被稱作“實質蘊含”，以區(qū)別于普通的蘊含。

蘊含的表達式

p } q 也可寫作 ~ ( p · ~q )

它很好地表達了 如果 p 為真，q 必為真?？吹竭@里我在想為什么 p } q 不能用 p · q （合取）表達？

“如果 p 那么 q”表示的是如果 p 為真，q 必為真。如果 p 為假，q 可真可假。如果q為假，p必為假。如果q為真，p可真可假。
這些含義 p · q 都無法表達。

Again, p } q 并不關注p、q 的 meaning, 也不關注真假，只是定義p、q關系。

再看一個例子理解一下：

符號邏輯1.png

這個定義后兩句，把 3，4 看成是其他東西，是個饅頭。則如果定義饅頭<2 那么 饅頭<4。所以當你定義了4<2 那么必然也成立4<4。雖然兩個都是假的。

實質蘊含怪論

根據:
“如果 p 那么 q”表示的是如果 p 為真，q 必為真。如果 p 為假，q 可真可假。如果q為假，p必為假。如果q為真，p可真可假。

可以得出:
假陳述蘊含一切陳述。真陳述被一切陳述蘊含。

邏輯表達式為~p } ( p } q ) 和 p } (q } p)
后續(xù)文章證明。

再談一下充分必要條件的概念。
“如果 p 那么 q”表示的是如果 p 為真，q 必為真。如果q為假，p必為假。P 因此，若 p 成立，q 一定成立；q 成立當且僅當 p。因此可以認為，p 是 q 的充分條件，q 是 p 的必要條件。

實質等值 （Material Equivalence）

指的是兩個陳述真值相等。

邏輯等價（Logical Equivalence）

指兩個陳述不僅真值相等，meaning 也一樣，在任何場景可以互相替換。
例如 p 和 ~~p （雙重否定）就是邏輯等價的

德·摩根定理（De Morgan’s Theorems）

~（p v q）= ~ p · ~ q
~（p · q）= ~ p v ~ q
（中間的符號要換成邏輯等價的符號）

• 兩個陳述析取的否定邏輯等價于兩個陳述的否定的合取
• 兩個陳述的合取的否定邏輯等價于兩個陳述的否定的析取

該定理由數學家兼邏輯學家奧古斯塔·德·摩根（Augustus De Morgan）（1806-1871）提出。

怎么推論的？p v q 若為真，則表示至少一個是真的，因此它的反面是兩個都是假的，因此是 p 的否定和 q 的否定的合取。同樣，p · q 若為真，則表示p,q 同真。因此它的反面是p,q至少有一個是假的，因此是 p 的否定和 q 的否定的析取。
另外這個定理也可以通過真值表論證。

再看實質蘊含
p } q 也可寫作 ~ ( p · ~q )，而根據 ~（p · q）= ~ p v ~ q，可得出：

符號邏輯2.png

可見 p implies q 表示的是 either q is true or p is false。Again, 實質蘊含只規(guī)定了 p, q的關系，不關心他們的 meaning.

論證

論證及論證有效性現在看起來已經習以為常，但還是有必要對它的基本含義做一個梳理。

基本概念

變元（variable）

一個可以被陳述代入的字母。英文其實是變量。

論證形式（argument form）

任何一列包含陳述變元而不包含陳述的符號序列，當用陳述代入陳述變元時——同一陳述始終代入同一陳述變元——其結果就是一個論證。

特征形式 （specific form）

只要一個論證是通過一致地以不同的簡單陳述代入一個論證形式中每個不同的陳述變元而產生的，該論證形式就是這個論證的特征形式。

意思是陳述和變元越是一一對應，越是特征形式。
具體可看13版本中文版 P365-366

有效性

一個論證有效，當且僅當，該論證的特征形式，是一個有效論證形式。

陳述形式

要區(qū)分事實／歷史的真 vs 邏輯的真

• 重言式 （Tautology）
  一個只有真代入例的陳述形式叫重言的陳述形式，或重言式。
  例如 p V ~ p

• 矛盾式（Contradiction）
  一個只有假代入例的陳述形式叫矛盾的陳述形式，或矛盾式。

• 偶真的（Contingent）
  既有真代入例又有假代入例的陳述形式叫偶真陳述形式。

那么邏輯等價的概念，可以表達為：若兩個陳述的實質等值陳述是一個重言式，則兩個陳述邏輯等價。

論證的表達式

之所以說蘊含是最重要的符號。是因為任何一個論證起始可以看作一個條件陳述。即其前件式是該論證形式的前提的合取，其后件是該論證形式的結論。

那么，一個論證形式有效，當且僅當，其條件陳述表達式是一個重言式。

三大思想法則（The Three “Laws of Thought”）

• 同一原理（The principle of identity）：如果一個陳述是真的，那么它就是真的。
• 不矛盾原理（The principle of noncontradiction.）：沒有陳述是既真又假的。
• 排中原理（The principle of excluded middle）：每個陳述或者是真的或者是假的。

這三大原理確實是真的，邏輯地為真的。但說他們具有最基本的思想法則這一特權地位，是值得懷疑的。在邏輯學中也有很多必為真的法則，有人認為更重要。

有人質疑同一原理：例如原來，美國有13個州是真的，但現在有50個州。
前一個的表述是省略的，完整形式應該是：1970年的美國有13個州。

同一原理為真，并不妨礙我們對連續(xù)性的認識。

排中原理被質疑，反對者認為它意味著事物非黑即白。但實際上，對于一個東西的陳述“這是黑的”，若它為假，并不是“這是白的”，而是：這是非黑的。“這是黑的”和“這是白的”可以同時為假。這也是《改變》里的重要思路。