五一回家，經(jīng)過兩天的長談，我徹底被妻子說服了，同意讓小孩參加明年 “華杯少年賽” 。

在一次偶然的機會，我通過和兒子的同學溝通，了解到現(xiàn)在的培訓機構為了提高學生的解題能力和速度，采用相對機械地方法開展數(shù)學教育，他們按照事先分解好的步驟，嚴格地一步步教小朋友。傳授新知識，所用的方法不能拋棄了知識背后所蘊含的思維方式，不能全然拋棄知識產(chǎn)生的歷史背景，也必須要顧及小朋友的認知特性。完整的教育不能僅限于在學生在規(guī)定的時間內做出正確的答案，還必須教會他們良好的思維方式和完整的知識視野，同時要培養(yǎng)他們對學習對象的樂趣，幫助他們形成自我學習的內在驅動力。

認真分析了華杯賽的試題，然后在圖書館和網(wǎng)絡找了兩天的相關書籍，我嘗試寫下這次為期一年的教學提綱，清晰地指導學習的順序和思路。

教學目的與方法

1. 利用數(shù)形結合，培養(yǎng)對數(shù)學的直觀理解
   ** 在小學和初中階段，小朋友還無法形成深刻的抽象思維，抽象的數(shù)學如果能與幾何的直觀結合起來，就能讓小朋友更深入理解抽象的數(shù)學概念，同時直觀是思考數(shù)學的另一眼，數(shù)與形則是一個硬幣的兩個面。
   ** 比如所有奇數(shù)之和，就可以用一個不斷增加的正方形來表示；比如帕斯卡爾三角能幫助小朋友理解二項式展開式各項系數(shù)的規(guī)律。

2. 結合高等觀點，培養(yǎng)對數(shù)學的抽象和整體理解
   ** “有許多初等數(shù)學的現(xiàn)象只有在非初等的理論結構內才能深刻地理解”，在《高觀點下的初等數(shù)學》一書中，克萊因一直強調結合高等觀點和數(shù)學發(fā)展史來加強學生對數(shù)學的深入和整體的理解；
   ** 比如一些基本定律和法則出發(fā)增加對現(xiàn)有概念的認知，比如所有的數(shù)（包括負數(shù)，無理數(shù)，虛數(shù)）其實都來源于運算方式和運算律，通過對運算律的推導來展開數(shù)存在的意義，讓小朋友能在簡單認知的基礎上升華對數(shù)的認知；

3. 結合 1 和 2 ，從個別性的解題技巧到普遍性建模能力的提升
   ** “數(shù)學是一門關于模式的科學”，數(shù)學家Keith Devlin在他的暢銷科普書《數(shù)學的語言:化無形為可見》開宗明義就這么說。建模是數(shù)學思維方式的核心，是數(shù)學描繪這個世界的不二法門。
   ** 能夠學會用未知的、抽象的元素替代已知的、具體的元素并建立元素之間的聯(lián)系，從而建立簡單的數(shù)學模型；
   ** 學習用二項式來表示數(shù)的性質并整體性的研究數(shù)的性質，就能培養(yǎng)簡單的建模能力和意識。方程式本身也是通過對已知事物建模來了解未知事物的方式.

4. 學習與應用相結合，在實際運用數(shù)學知識中培養(yǎng)對數(shù)學的長期興趣
   ** 學以致用能更生動地鞏固所學的知識，并極大的激發(fā)小朋友的好奇心，培養(yǎng)他們數(shù)學世界里長期探險的興趣。
   ** 例如可以通過簡單的道具在適當?shù)臅r間和地點就可以測量地球與月球的距離（無法很精確，但能準確到數(shù)量級），這也是古希臘科學家嘗試解決的問題。

教學內容：

1. 算術與7則運算
    * 重點
        * 了解運算法則和運算律，認知無理數(shù)、超越數(shù)和虛數(shù)
        * 了解乘方與乘方的兩個逆運算以及意義
    * 參考書目
        * 高觀  C1~C2
        * 數(shù)學寫真集：無需語言的證明
        * 趣味代數(shù)學

2. 初等數(shù)論
    * 重點：
        * 了解不定方程，數(shù)的同余等基本性質
        * 學會用抽象的方式研究數(shù)的性質，并建模解題
    * 參考書目
               * Basic Algebra I 
                   * Algebra I For Dummies
               * 高觀  C3
               * 快樂相遇數(shù)論
               * 初等數(shù)論的知識與問題

   3、初等代數(shù)
* 重點
    * 了解斐波那契等常見的數(shù)列，多元一次方程式等
    * 了解基本的排列與組合問題
* 參考書目
    * Algebra I For Dummies
    * Algebra I: 1,001 Practice Problems For Dummies
    * 趣味代數(shù)


   4. 平面幾何
* 重點
    * 了解點、線、面、平行、角等基本概念
    * 了解三角形、四邊形、圓的基本概念和性質，會做基本證明
    * 初步了解歐幾里得幾何的公理體系
* 參考書目
    * Geometry For Dummies
    * 幾何學教程（平面幾何卷）
    * 趣味幾何學

教學參考
* 古今數(shù)學思想
* 華杯賽試題與各類講座（參加培訓班）

最后的話
**掌握節(jié)奏和方法，一年完成這么多內容的學習是有跡可循的?？偨Y兒子以往學習的經(jīng)歷，如果我們抓住其中的關鍵點，用清晰，透徹的語言展開，反復闡釋再加針對關鍵點的反復練習，它其實可以讓小朋友在不增加很大負擔的前提下掌握關鍵點。掌握了關鍵點之后，可以定期地出一些習題，通過習題結果反饋他的解題思路，對習題的解答不能局限于做對題目，還需要升華他對數(shù)學的理解和判斷力。比如在教兒子負數(shù)的加減法的時候，我在糾正他的答案正確與否之前，會教他通過找到答案在數(shù)軸中的位置來判斷自己的答案是否正確，在這個過程中讓他理解負數(shù)加減法的含義。
**從兒子學習方程式的經(jīng)歷來看，經(jīng)歷了兩個階段。第一階段是用抽象的字母a, b, c 或者x, y, z等來替代具體的數(shù)字，一開始他習慣性用具體的數(shù)字來組織運算，很難轉變?yōu)槌橄蟮姆?。于是我利用講解運算律的過程讓他開始接觸并練習用抽象符號表達運算律，等他習慣運算律的抽象表達，接下來把求未知數(shù)的方法教給他，因為那些方法也是對運算律的應用。第二階段是設立未知數(shù)，并用含有未知數(shù)的等式來替代應用題中的已知條件，有了第一個階段的扎實基礎，很快就完成了第二階段的學習。
**這是一份不完整的提綱，每一個版塊還需要進一步完善。但目的是清晰的，思路是完整的。練習與考試永遠是教育最好的反饋，我的上一篇文章同樣強調，80%的時間都是在做題和練習，它決定了小朋友掌握知識的深度，剩下20%的教育與輔導拓展了知識的廣度和高度。