事實(shí)上在中學(xué)階段，我對自然常數(shù)e是很反感的，因?yàn)橐坏┯龅絜基本上就是要對它進(jìn)行平方或者立方計(jì)算，要不然就是求以自然常數(shù)e為底的對數(shù)是多少，而偏偏e這個(gè)東西又是個(gè)無理數(shù)，截取小數(shù)點(diǎn)后兩位的話則是2.71，算起來很麻煩，自然對它沒什么好的態(tài)度，直到研究生畢業(yè)依然沒有建立起對e的直觀概念。
直到在工作中，因?yàn)橐玫礁道锶~變化，便重新學(xué)習(xí)傅里葉變化，學(xué)著學(xué)著，發(fā)現(xiàn)是因?yàn)槲覜]有理解傅里葉變化里面的歐拉公式，才導(dǎo)致的我不能完全明白傅里葉變化，于是便開始看有關(guān)歐拉公式的資料。雖然歐拉公式很簡單，就五個(gè)元素組成e、π、i、1和0，但是我卻對e和i是什么完全沒有概念，這才回過頭來看我高中就學(xué)習(xí)到的知識(shí)e和i，而在這個(gè)過程中，我才明白為什么e會(huì)被叫做自然常數(shù)。
那么e是什么呢？答案非常簡單，就是增長的極限。如果我們用銀行利息來做例子，會(huì)很直觀的看到什么是增長的極限。
假設(shè)銀行的存款利率達(dá)到了100%，意味著如果我今年存了1塊錢，我明年能拿到1塊錢本金和1塊錢的利息，也就是說年底我會(huì)拿到2塊錢。
假如銀行可以每半年地付息，那么我們就可以在半年后拿到1.5塊錢，然后再用這1.5塊錢，繼續(xù)利滾利，滿一年之后，我們就可以拿到2.25元。
那如果銀行還能提供每季度地付息，那我們年底的收入會(huì)更高，能拿到2.37呢。 日息的話，我們則可以拿到2.7145塊錢，那如果每秒都付息呢？答案是2.7182817813塊錢。
看到這里我想大家也差不多明白了，那就是在100%的年利率下，無論是每秒付息，還是每毫秒付息甚至是每微秒付息，利滾利之下永遠(yuǎn)不可能超過一個(gè)極限，而這個(gè)極限就是e。
數(shù)學(xué)上，我們可以用 下面這個(gè)公式
來表達(dá)其中的含義。
所以這么看來，e也就意味著在單位時(shí)間內(nèi)，持續(xù)翻倍所能達(dá)到的極限。在自然界里比如細(xì)胞的繁殖，在工程上比如閉環(huán)電路里電壓穩(wěn)態(tài)建立的時(shí)間，都跟e息息相關(guān)。
事實(shí)上關(guān)于e還有兩個(gè)非常有趣的特性，第一個(gè)就是ex的導(dǎo)數(shù)還是ex，無論求多少次導(dǎo)ex都巋然不動(dòng)，仍是自己。所以有的時(shí)候，我們會(huì)在計(jì)算的過程中乘上一個(gè)ex，然后對其求導(dǎo)，再進(jìn)行處理。
第二個(gè)特性則直接體現(xiàn)了e的美麗。在上高數(shù)的時(shí)候，我們學(xué)過一種坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。如果我們把ex放到極坐標(biāo)系里面變成eΘ，那么會(huì)發(fā)生什么呢？
答案就是下面這個(gè)圖片
那么自然界中有什么相似的圖形嗎？
這些圖片是不是看著很眼熟？
在工程上，我們一般用10也好，2也好，都是為了方便而人為選用的。但是只有e不是人為造出來的而是從大自然中觀察到的。按照古希臘的自然思想來看，對于一個(gè)完美的圓，π才是自然的。同樣對于最快速的指數(shù)增長，e才是自然的，它是指數(shù)增長的本身的屬性。
文章寫到這里，在這里我要感謝張英峰老師在網(wǎng)絡(luò)上無私的分享，也正是他的文章才讓我看到了何為自然常數(shù)e以及它的含義，同時(shí)本文也是整理自張英峰老師在知乎上的分享，在此特別聲明。同時(shí)也不禁感嘆，正是古人們對數(shù)學(xué)孜孜不倦的探究才讓我們能夠感受到大自然里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)之美。
