《為生長而教：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)新探索》
杜威曾經(jīng)說過“教育即生長”這一句看上去非常簡(jiǎn)單，卻有著十分豐富內(nèi)涵的話。
“孩子在課堂上學(xué)習(xí)不應(yīng)該像生產(chǎn)機(jī)器那樣，一個(gè)部件一個(gè)部件做好后再來拼裝；不應(yīng)該像生產(chǎn)家具一樣，是先做好桌面，再做桌腿，然后拼裝組合。人的生命自始至終都是一個(gè)整體發(fā)育生長的過程，在媽媽肚子里不會(huì)是先長頭，再長手和腳，一定都是在同步發(fā)育，而且一定是自我生長。人在牙牙學(xué)語時(shí)也是如此，是一個(gè)自我感應(yīng)后的自然長成。到了學(xué)齡時(shí)更應(yīng)該是如此，他們?cè)谡n堂上的汲取、理解、掌握、運(yùn)用、創(chuàng)造應(yīng)該也是整體的發(fā)育和生長，無論知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，無論方法與思想！”恩師的一席話點(diǎn)醒了我。是啊，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該遵循人的發(fā)育規(guī)律，應(yīng)該是一個(gè)自然的、主動(dòng)的生長過程。我生在農(nóng)村，從小到大見多了莊稼的生長。我們的莊稼不就是自己在努力發(fā)育生長嗎？因此，我認(rèn)為教和學(xué)的關(guān)系不應(yīng)該是“工匠和產(chǎn)品”，更像是“農(nóng)夫和小苗”。與工匠產(chǎn)品相比最大的區(qū)別是，小苗是有生命的，農(nóng)夫只是幫助小苗自己成長。知識(shí)、能力、興趣、習(xí)慣等各方面的素養(yǎng)，就是他成長的內(nèi)容和表現(xiàn)，而且花開有季，他一定能成長，能充盈在允許他成長的全部空間，最后結(jié)出豐花碩果。
為生長而教，就是把課堂比做農(nóng)田，我要為我的“小苗們”創(chuàng)造陽光、水分、沃土，讓他們能自由努力地自己生長！兒童有探索和生長的本能，學(xué)習(xí)只有與兒童生命機(jī)制相結(jié)合，利用兒童天賦的學(xué)習(xí)本能，才能使兒童的學(xué)習(xí)天性得以發(fā)揚(yáng)，借助于先天的悟性和情感，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)自主！而生長，恰好就是生命形態(tài)的最好表達(dá)式。
那么，生長應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂的抓手是什么？牽動(dòng)學(xué)生去努力生長的載體是什么？
對(duì)于數(shù)學(xué)課而言，思維應(yīng)該是其間最本質(zhì)的載體。而要讓它有所成長，實(shí)屬不易。把它看成容器吧，那會(huì)忽略生命的意義；把它看成工具吧，那又強(qiáng)化了機(jī)械的意味。每個(gè)生命個(gè)體的思維方式、思維習(xí)慣、思維品質(zhì)都有不同，對(duì)一線教師而言，這才是最直接的挑戰(zhàn)。
“我們研究課一定要先研究學(xué)生，學(xué)生絕非一張白紙，而是一顆種子，他帶有能量，隨時(shí)都在生長，隨時(shí)都在準(zhǔn)備生長。我們不研究學(xué)生，上出來的課就是完成數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，而沒有數(shù)學(xué)思考。沒有數(shù)學(xué)思考的教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)比較單薄，學(xué)生會(huì)感覺沒有新鮮感，他就不來理睬你了。所以我們上數(shù)學(xué)課一定要想辦法貼近學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的所有經(jīng)驗(yàn)會(huì)支撐他們?nèi)ニ伎?、去突破，他們的思維一定會(huì)被打開。有思維就會(huì)有疑惑，有疑惑就會(huì)有味道，讓他們自己慢慢地在思考中完成對(duì)經(jīng)驗(yàn)的改造和重組。我們的任務(wù)是設(shè)計(jì)好‘材料’、安排好‘序’，讓學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)和思維中體悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)?！?/p>
孩子的成長一直與自身思維的生長時(shí)刻交織在一起，孩子的經(jīng)驗(yàn)是他們思考的源泉！我們常常忽視學(xué)生自己的經(jīng)驗(yàn)和思考，把我們成人的設(shè)想努力地教給孩子。于是學(xué)生沒有空間來呈現(xiàn)他們的想法，沒有機(jī)會(huì)來完成自我實(shí)現(xiàn)，課堂還是教師演繹和炫技的舞臺(tái)。讓課堂從“生產(chǎn)”走向“生長”，首先要改變我們自己！
由此讓我感悟到，在尊重生命個(gè)體的同時(shí)，也要尊重生命個(gè)體的思維特征，還應(yīng)尊重其原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的起點(diǎn)和延伸。與生命的培育不同，僅提供知識(shí)“食糧”給思維是不夠的，這不是給多給少的問題，而是怎么給的問題。找準(zhǔn)學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)，舒展學(xué)生的思維，順學(xué)而教，實(shí)現(xiàn)自我拓展，這種教學(xué)方式，或者我們可以把它稱為導(dǎo)學(xué)方式，應(yīng)該充滿童趣、步步攀登，帶給師生由內(nèi)而外的變化。這不禁讓我想起德國教育家第斯多惠說過的話：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在善于激勵(lì)、喚醒和鼓舞?！币虼?，激勵(lì)孩子的內(nèi)心學(xué)習(xí)渴求，喚醒孩子的內(nèi)心生長因子，鼓舞孩子的內(nèi)心成長動(dòng)力，是我們一線老師最應(yīng)該下血本的地方，決不能在題海訓(xùn)練中迷失教育的方向。我們的期待應(yīng)該是讓每個(gè)孩子在數(shù)學(xué)課上能夠發(fā)現(xiàn)自己的潛能與天賦，在和新事物新問題的相遇過程中發(fā)現(xiàn)自我、成就自我，長成最好的自己。
一年又一年的生長數(shù)學(xué)教學(xué)探索，我逐漸明白，促進(jìn)生長的關(guān)鍵是基于經(jīng)驗(yàn)的自我反思、基于體驗(yàn)的自我感悟，從而讓學(xué)生自主完成經(jīng)驗(yàn)的改造和重組。我們教育的工作不是為了訓(xùn)練出答題的“工具”，而是讓每個(gè)孩子能自我覺醒，讓他養(yǎng)成激發(fā)自己、突破自己的習(xí)慣去努力生長。有覺醒和努力的生長課堂，是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)的交換場(chǎng)，一個(gè)思維的碰撞場(chǎng)，是一個(gè)能聽到“拔節(jié)聲音”的“小農(nóng)場(chǎng)”。
生長數(shù)學(xué)
什么是生長呢？從物理的角度看，生長是動(dòng)物體尺寸的增長和體重的增加；從生理的角度看，生長則是機(jī)體細(xì)胞的增殖和增大，組織器官的發(fā)育和功能的日趨完善；從生物化學(xué)的角度看，生長又是機(jī)體化學(xué)成分即蛋白質(zhì)、脂肪、礦物質(zhì)和水分等的積累；從熱力學(xué)角度看，生長是能量輸入與能量輸出的差值。
在教育教學(xué)中，杜威曾在《民主主義與教育》中提出：“教育即生長?！彼岢觥敖逃瓷L”的根本目的在于，將兒童從被動(dòng)的、被壓抑的狀態(tài)下解放出來?！吧L論”要求尊重兒童，使一切教育和教學(xué)適合兒童的心理發(fā)展水平和興趣、需要的要求。兒童有4種本能：社交的本能、制造的本能、表現(xiàn)的沖動(dòng)、探究和發(fā)現(xiàn)事物的興趣或本能。教育要尊重兒童的自然天性，引導(dǎo)兒童獨(dú)立自主地塑造自我，促使個(gè)性的自我實(shí)現(xiàn)。可見，兒童的潛能和經(jīng)驗(yàn)為我們的教育提供了素材，也指出了起點(diǎn)。因此，在教育中提出“生長”，是為了突出兒童的天性；而把“生長”運(yùn)用到數(shù)學(xué)上，是為了突出過程與結(jié)果的統(tǒng)一，體現(xiàn)生命與數(shù)學(xué)的統(tǒng)一，佐證獲得與發(fā)展的統(tǒng)一。
小學(xué)數(shù)學(xué)與日常生活有著緊密的聯(lián)系。雖然數(shù)學(xué)具有一定的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，但它都來源于生活。教師如果將抽象的數(shù)學(xué)與具體的生活相對(duì)接，可以很好地激發(fā)小學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和潛能。學(xué)生憑借自身的努力和交流就能完成對(duì)數(shù)學(xué)的理解，從而提高他們的思維能力和學(xué)習(xí)興趣。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀強(qiáng)調(diào)：“知識(shí)并不能簡(jiǎn)單地由教師或其他人傳授給學(xué)生，而只能由每個(gè)孩子依據(jù)自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地加以建構(gòu)。”生長數(shù)學(xué)教學(xué)秉承了這些認(rèn)知和理念，強(qiáng)調(diào)學(xué)生嘗試獨(dú)立學(xué)習(xí)和互動(dòng)交流，突出經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)不斷地被改造和重組。在這一過程中，教師只是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的推動(dòng)者和促進(jìn)者。
教師普遍認(rèn)為，當(dāng)新的學(xué)習(xí)任務(wù)出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)會(huì)被激活，他們根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行觀察、反思，產(chǎn)生認(rèn)知沖突。通過比較、探究、推理、應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)，他們會(huì)形成更豐富的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)，歸納出新的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，從而完成對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)的改造或重組，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)隨著新知的充實(shí)而不斷調(diào)整、擴(kuò)展。當(dāng)二次習(xí)得的理解、經(jīng)驗(yàn)與原有的知識(shí)建立意義上的對(duì)接時(shí)，學(xué)生就會(huì)用某種方式加以組織和內(nèi)化，轉(zhuǎn)化成便于儲(chǔ)存、提取和遷移的新知識(shí)結(jié)構(gòu)。其內(nèi)在關(guān)系見圖1-1：
我們把“生長”定義為：學(xué)生的學(xué)力獲得長進(jìn)。具體表現(xiàn)在：個(gè)體突破原有水平、形成新的結(jié)構(gòu)、獲得多元長進(jìn)（即在知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、能力、品質(zhì)等多方面有所長進(jìn)）。生長數(shù)學(xué)，立足已有基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生在自然狀態(tài)下根據(jù)自己的力量學(xué)會(huì)思考，從而獲得知識(shí)、增強(qiáng)學(xué)力。
所謂“生長數(shù)學(xué)”，它是相對(duì)“生產(chǎn)數(shù)學(xué)”而界定的。“生產(chǎn)數(shù)學(xué)”強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的復(fù)制和操練，是一種“照樣子做”的數(shù)學(xué)。而“生長數(shù)學(xué)”強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展，是一種“有道理講”的數(shù)學(xué)。因此，生長數(shù)學(xué)是一種動(dòng)力和追求，“生長”是形式、是需要，它通過具體活動(dòng)的抽象、創(chuàng)造來完成數(shù)學(xué)化、模型化。這不僅符合數(shù)學(xué)本身發(fā)展的規(guī)律，也符合兒童認(rèn)知數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。
生長數(shù)學(xué)教學(xué)
作為一線教師，研究數(shù)學(xué)的最根本目的，是為了更好地開展數(shù)學(xué)教學(xué)。面對(duì)一群充滿生命活力和無限潛能的個(gè)體，教師應(yīng)當(dāng)讓每個(gè)獨(dú)立的生命體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自我形成豐富的數(shù)學(xué)意義，這也應(yīng)該是課堂教學(xué)的遠(yuǎn)大追求。因此，遵循數(shù)學(xué)的內(nèi)在原理與規(guī)律，遵循兒童學(xué)習(xí)的認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律，“用生長的方式”教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)，是我們多年以來一直倡導(dǎo)并踐行的教學(xué)過程和方法。
很多時(shí)候，低效的數(shù)學(xué)教學(xué)是因?yàn)榻處煴唤滩氖`了思想和手腳：他們的著眼點(diǎn)和著力點(diǎn)都立足于教材的執(zhí)行，他們很少關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，他們以“教材為中心”、以“教師為主體”，他們經(jīng)歷的教學(xué)過程有許多乏善可陳的陋習(xí)。許多教師僅僅傳授學(xué)生知識(shí)，并不關(guān)注學(xué)生在問題上的想法，沒有顯現(xiàn)學(xué)生的“個(gè)性思考”。只關(guān)注預(yù)設(shè)不注重生成，只關(guān)注情境不注重內(nèi)容，只關(guān)注形式不注重實(shí)質(zhì)，只關(guān)注知識(shí)不注重思維……造成學(xué)生知其然而不知其所以然，缺乏知識(shí)組塊和自覺內(nèi)化。
這種忽略數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生生命存在的教師，其自身的職業(yè)生涯成長也一直被抑制著。這既不利于學(xué)生的持續(xù)學(xué)習(xí)，也不利于教師的專業(yè)發(fā)展。學(xué)生和教師作為獨(dú)立的生命個(gè)體，具有充分的創(chuàng)造性和生長性。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)不僅僅局限于傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)或結(jié)論，而更應(yīng)關(guān)注學(xué)生作為一個(gè)社會(huì)中的人的發(fā)展，特別是學(xué)生個(gè)性和創(chuàng)造力的發(fā)展。讓學(xué)生親身經(jīng)歷探索獲取的過程，使學(xué)生學(xué)會(huì)提問、學(xué)會(huì)探索、學(xué)會(huì)合作，去解決問題，去適應(yīng)環(huán)境。
同時(shí)，還應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者，是數(shù)學(xué)教學(xué)的主導(dǎo)者。數(shù)學(xué)教學(xué)不再是教師單純地為學(xué)生而付出，而應(yīng)是教師創(chuàng)造性生活的一部分。教師可以在教學(xué)實(shí)踐中提高能力、發(fā)展專業(yè)，以致改善教學(xué)生活、提升生命質(zhì)量。人的生命歷程從教育層面來看就是一個(gè)不斷成長發(fā)展的過程，學(xué)生在教師的引領(lǐng)下成長，教師在教書育人的過程中促進(jìn)自己的再成長。課堂是教學(xué)的主陣地，促進(jìn)師生共同成長是課堂教學(xué)的核心價(jià)值追求。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的過程是師生雙方實(shí)現(xiàn)自己生命價(jià)值和共同發(fā)展的舞臺(tái)。只有學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，才能學(xué)會(huì)生存；只有敢于創(chuàng)新，才能贏得發(fā)展?；诖耍L數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，更有現(xiàn)實(shí)的價(jià)值追求。
一、生長數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值追求
生長數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值追求是促進(jìn)學(xué)生學(xué)力獲得長進(jìn)。即學(xué)生能夠立足已有基礎(chǔ)，在課堂活動(dòng)中自由舒展思維，根據(jù)自己的力量學(xué)會(huì)思考，從而獲得知識(shí)，實(shí)現(xiàn)一種內(nèi)化于心、外化于形的自我超越，增強(qiáng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)和應(yīng)用的能力。具體可以表現(xiàn)在學(xué)生的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、能力、品質(zhì)等多方面獲得長進(jìn)。
數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該是工業(yè)生產(chǎn)，不應(yīng)該把學(xué)生比作是“工業(yè)產(chǎn)品”，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)、統(tǒng)一要求、批量生產(chǎn)。這樣“工業(yè)化”教學(xué)的危害使學(xué)生成了教師思想的俘虜。學(xué)生沒有個(gè)性自由的創(chuàng)見，沒有思考對(duì)話的平臺(tái)，沒有豁然貫通的快樂。學(xué)生的大腦只是被動(dòng)接受知識(shí)灌輸?shù)娜萜?，分析問題、自主創(chuàng)新等功能被弱化，大大降低思考力和學(xué)習(xí)力。
數(shù)學(xué)教學(xué)可以被看成是農(nóng)業(yè)生長，學(xué)生可以比作是“苗木”。因?yàn)槊缒就ㄟ^享受陽光、水分轉(zhuǎn)化成養(yǎng)料儲(chǔ)備在身體里，不斷扎根土壤，擴(kuò)展枝葉。數(shù)學(xué)教學(xué)不就是要培養(yǎng)我們的學(xué)生能夠自己把知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法、體會(huì)、品質(zhì)儲(chǔ)存在自己的心智中，為今后的學(xué)習(xí)和生活提供豐富的儲(chǔ)備和有力的支持嗎？這就一定要讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程，實(shí)現(xiàn)自我教育，讓學(xué)生自主生長。教師不可功利地拔苗助長，也不可盲目地遏制其發(fā)展，應(yīng)該想辦法讓課堂適應(yīng)學(xué)生，尊重知識(shí)發(fā)展的規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律，讓課堂真正成為“增長知識(shí)的沃土、生長智慧的田園”。教師的全部任務(wù)是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)符合其成長規(guī)律的學(xué)習(xí)環(huán)境，支持和幫助學(xué)生完成對(duì)知識(shí)的建構(gòu)。教師通過激發(fā)學(xué)生的探究欲，讓他們根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)背景對(duì)外部信息進(jìn)行主動(dòng)地選擇、加工和處理，從而獲得自己的意義、展示自己的思維、增長自己的學(xué)力。
由此可見，教師不僅是“播音器”，學(xué)生也不單是“收音機(jī)”，教學(xué)過程并不只是傳遞信息的過程。當(dāng)前我國小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要從以教師為中心轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為中心，從單一的傳遞教科書上的知識(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)榕囵B(yǎng)能適應(yīng)社會(huì)進(jìn)步和時(shí)代發(fā)展所需要的人！學(xué)習(xí)應(yīng)該是最生動(dòng)、最自然的生長活動(dòng)，它既是人的生活過程，也應(yīng)該是人的成長過程。要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中增強(qiáng)思考和交流、求異和創(chuàng)新的能力，真正能學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)交流、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。教師的全部任務(wù)是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)符合成長規(guī)律的學(xué)習(xí)環(huán)境，支持和幫助學(xué)生完成對(duì)知識(shí)的建構(gòu)。我們認(rèn)為，要實(shí)現(xiàn)生長即學(xué)力的長進(jìn)，至少要做到以下4個(gè)“自”：
1．自由。自由是生命個(gè)體意愿力的生長。因?yàn)槭瞧降?、民主的師生關(guān)系，師生在課堂教學(xué)活動(dòng)中是可以自由想象、自由交流、自由分享的。需要指出的是，這里的自由并不等同于可以隨心所欲、天馬行空，而主要強(qiáng)調(diào)的是思考和對(duì)話上可以自由無拘、不循常規(guī)。有了這樣的課堂文化或課堂氛圍，師生都會(huì)在輕松、安全的心境中參與教學(xué)活動(dòng)，這有利于互動(dòng)和生成，有利于思辨和發(fā)展。我們的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂一定要摒棄沉悶、拘謹(jǐn)、呆板的教學(xué)。
2．自主。自主是生命個(gè)體內(nèi)驅(qū)力的生長。自主的提出就是確定在我們的數(shù)學(xué)課堂上需要每一位參與者積極開動(dòng)腦筋進(jìn)行思考，沒有了積極主動(dòng)的思考，任何交流和活動(dòng)都將是低效的。因此，我們要倡導(dǎo)師生獨(dú)立思考、積極探索、相互質(zhì)疑、思維碰撞，反對(duì)簡(jiǎn)單的知識(shí)傳遞或模仿操練。
3．自立。自立是生命個(gè)體構(gòu)造力的生長。何為自立？自立就是靠自己的勤奮勞動(dòng)、努力進(jìn)取來實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的收獲和能力的提升。通過自己的行為參與、認(rèn)知參與、情感參與來建立起自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并賦予其具有個(gè)性化的意義理解。簡(jiǎn)而言之，學(xué)習(xí)者不是被動(dòng)地接受外在信息，不是靠外部力量塑造自己，而在于他本身有所悟、有所得。
4．自創(chuàng)。自創(chuàng)是生命個(gè)體突破力的生長。學(xué)習(xí)者通過透視實(shí)踐、改造經(jīng)驗(yàn)、提升自我的能力，從而實(shí)現(xiàn)新的突破和創(chuàng)造。他的發(fā)現(xiàn)或觀點(diǎn)，也許對(duì)于成人來說不是新的發(fā)現(xiàn)，也許對(duì)于其他學(xué)習(xí)者來說不是最優(yōu)的辦法，但是對(duì)于他自己來說一定是一種超越和創(chuàng)新。數(shù)學(xué)本身就是一門思維深邃、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，因此學(xué)生在上數(shù)學(xué)課尤其是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，需進(jìn)行復(fù)雜的心智活動(dòng)，如聯(lián)想、分析、分類、想象、推理等。每個(gè)人也可能處于不同的思維水平，因而不同的人可以追求并達(dá)到不同的水平。對(duì)于學(xué)生的各種獨(dú)特的解法，要讓他們充分發(fā)展，充分享有“再創(chuàng)造”的快樂。
二、生長數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)內(nèi)容
生長數(shù)學(xué)教學(xué)是指教師通過激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)去嘗試分析問題，在尋求結(jié)果、解決問題的過程中經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、形成、應(yīng)用的過程，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的改造或重組，建立合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)形態(tài)。
其實(shí)質(zhì)是，學(xué)習(xí)是“我的建構(gòu)”，是學(xué)生主動(dòng)尋求和積極構(gòu)建的過程，是學(xué)生自主完成改組經(jīng)驗(yàn)和擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的過程，是學(xué)生經(jīng)歷“混沌、朦朧、積聚、清晰”的過程。這樣的教學(xué)，學(xué)生不僅可以快樂地學(xué)到知識(shí)，還可以知道知識(shí)的來龍去脈，知其所以然，更重要的是學(xué)生可以增強(qiáng)思考和遷移的功能。我們的教學(xué)是立足已有基礎(chǔ)、強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)興趣的教學(xué)，是注重學(xué)生在自然狀態(tài)下，根據(jù)自己的力量去學(xué)會(huì)思考，從而獲得知識(shí)、增強(qiáng)學(xué)力的過程。這個(gè)過程是動(dòng)態(tài)的，是師生共同發(fā)展，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)雙贏為目標(biāo)的課堂教學(xué)形態(tài)。
生長教學(xué)強(qiáng)調(diào)的是主體能動(dòng)性，強(qiáng)調(diào)思考的過程性和富有個(gè)性的建構(gòu)。在課堂教學(xué)中，行為主體在相互作用的過程中，憑借自身的經(jīng)驗(yàn)，有意或無意地對(duì)外在信息進(jìn)行選擇、加工和處理，自發(fā)地形成對(duì)新信息意義的建構(gòu)以及對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)的重組和改造。
生長教學(xué)追求學(xué)生的生命成長，試圖使一個(gè)個(gè)鮮活的、靈動(dòng)的生命個(gè)體，在課堂教學(xué)的改變中獲得全面、均衡的發(fā)展。以此為出發(fā)點(diǎn)，生長數(shù)學(xué)教學(xué)特別關(guān)注課堂中的時(shí)空安排，關(guān)注課堂教學(xué)的動(dòng)態(tài)過程，關(guān)注課堂教學(xué)中的資源生成與過程生成。要求教師認(rèn)識(shí)到課堂教學(xué)中蘊(yùn)涵著豐富的生命資源，包括學(xué)生現(xiàn)有的生存狀態(tài)、學(xué)生之間的差異性、學(xué)科自身的教育價(jià)值等潛在資源和課堂教學(xué)中其他的生成資源。
因此，這里有必要對(duì)生長數(shù)學(xué)教學(xué)中的“生長點(diǎn)”和“生長素”這兩個(gè)概念作一個(gè)定義。
1．生長點(diǎn)。在植物學(xué)里，生長點(diǎn)是位于植物芽軸的頂端或植物根的頂端，由一個(gè)頂生細(xì)胞或一團(tuán)具有很強(qiáng)分化能力的細(xì)胞組成，它產(chǎn)生初生組織，由此分化為新的組織，使之不斷生長。
在生長數(shù)學(xué)教學(xué)中把“生長點(diǎn)”定義為：它是能夠連接課程與學(xué)生，并幫助學(xué)生沖破“被動(dòng)式學(xué)習(xí)”的封閉，引發(fā)主動(dòng)地投入到探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中的“種子”。它可以是教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵或關(guān)聯(lián)，也可以是學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)或沖突，還可以是問題解決的方法或過程等?？傊哂幸韵乱恍┨攸c(diǎn)：①能夠緊扣目標(biāo)本質(zhì)、貫穿教學(xué)始終。②具有挑戰(zhàn)性。能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，吸引學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，有助于積極思維和交流。③具有良好的發(fā)展和生長趨勢(shì)，能夠煥發(fā)生命活力，促進(jìn)動(dòng)態(tài)發(fā)展。
2．生長素。生長素（auxin）是一類含有一個(gè)不飽和芳香族環(huán)和一個(gè)乙酸側(cè)鏈的內(nèi)源激素。生長素在農(nóng)業(yè)上的運(yùn)用是促進(jìn)營養(yǎng)器官的伸長，促進(jìn)細(xì)胞分裂和根的分化，維持植物的頂端優(yōu)勢(shì)，促進(jìn)果實(shí)發(fā)育。
在生長數(shù)學(xué)教學(xué)中把“生長素”定義為：促進(jìn)學(xué)生思考和理解的內(nèi)驅(qū)因素。比如已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)探究的興趣和求知欲，數(shù)學(xué)理解的自我教育意識(shí)，數(shù)學(xué)交流的熱情和能力等。
美國太平洋橡樹學(xué)院的約翰·尼莫教授用排除的方式說明生成課程的做法，在很大程度上也適用于生長數(shù)學(xué)教學(xué)。
1．生長數(shù)學(xué)教學(xué)不是“罐頭式”的教學(xué)?！肮揞^”是指一份由專家學(xué)者或有經(jīng)驗(yàn)的教師設(shè)計(jì)的教學(xué)方案，其中預(yù)先設(shè)計(jì)好了各種教育活動(dòng)。設(shè)計(jì)者們?cè)谥谱鬟@種教學(xué)方案時(shí)考慮到了足夠的細(xì)節(jié)，不管老師有什么樣的技能技巧與經(jīng)驗(yàn)，對(duì)學(xué)生有什么了解，只要打開罐頭蓋，取出其中的部分內(nèi)容，就能依照詳盡的說明一步一步地實(shí)現(xiàn)教學(xué)。
2．生長數(shù)學(xué)教學(xué)不是“木乃伊式”的教學(xué)。所謂“木乃伊”，指的是那些曾經(jīng)很有生命力、對(duì)學(xué)生也很有吸引力的，但現(xiàn)在已失去了生命力、對(duì)學(xué)生也已沒有什么意義的東西。教師常常會(huì)把一些曾經(jīng)有過生命力的、非常成功的活動(dòng)，總結(jié)處理成典型案例后裝到“罐頭”里，需要的時(shí)候再原封不動(dòng)地拿出來去執(zhí)行，結(jié)果可能發(fā)現(xiàn)效果并不理想。為什么？因?yàn)閷W(xué)生是變化的，時(shí)代也是變化的，以老案例套新情景、新學(xué)生，自然不會(huì)合適。
3．生長數(shù)學(xué)教學(xué)不是“放羊式”的教學(xué)。傳統(tǒng)的“放羊”是指一種無序的、沒有目的的放縱狀態(tài)，教學(xué)進(jìn)程隨意，教師被學(xué)生牽著鼻子走。生長數(shù)學(xué)教學(xué)雖然特別關(guān)注學(xué)生的興趣和需要，但是仍然要達(dá)到一定的目的。教學(xué)的目的既包含教育的社會(huì)價(jià)值（培養(yǎng)社會(huì)所需要的人），也包含教育的個(gè)人價(jià)值（發(fā)展每一個(gè)人的潛在能力）。因此，它既要考慮孩子們的興趣和需要，也必須考慮社會(huì)的要求；既要滿足學(xué)生即時(shí)的興趣和需要，也要促進(jìn)學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展。如果教師只是一味地跟著學(xué)生跑，強(qiáng)調(diào)關(guān)注學(xué)生當(dāng)時(shí)的興趣，而沒有看到這樣做的目的是為了讓學(xué)生更有效地學(xué)習(xí)，更健康全面地成長，最終成為社會(huì)需要的人。那么，對(duì)生長數(shù)學(xué)教學(xué)的理解就只是形式上的，而沒有把握住其實(shí)質(zhì)。
所以，生長數(shù)學(xué)教學(xué)是指教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主嘗試、互動(dòng)交流、抽象內(nèi)化的一種教學(xué)形態(tài)。它是教師促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)尋求的過程，是學(xué)生完成自我改組經(jīng)驗(yàn)和自我擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的過程。學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)去嘗試分析問題，在尋求結(jié)果、解決問題的過程中經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、形成、應(yīng)用的過程，在交流和應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的改造或重組。這樣的教學(xué)既讓孩子經(jīng)歷知識(shí)生長的快樂，又滿足了孩子尋根溯源的好奇心；既提升了思維生長的品質(zhì)，還增強(qiáng)了思考對(duì)接的力量。
可見，促進(jìn)生長的關(guān)鍵在于“舒展思維”，生長教學(xué)的著力點(diǎn)在于“經(jīng)歷過程”。師生圍繞“問題—經(jīng)驗(yàn)—思維—知識(shí)”4個(gè)方面展開互動(dòng)和創(chuàng)造的過程，教皈依于學(xué)，學(xué)生真正成為課堂的主人，思維真正成為學(xué)習(xí)的推力。這樣，學(xué)生就像植物在充分吸收陽光和水分之后帶來的“根深葉茂”一樣，學(xué)習(xí)的興趣和熱情被喚醒，學(xué)習(xí)的動(dòng)力和潛能被釋放。
生長數(shù)學(xué)教學(xué)既不是教育者預(yù)先設(shè)計(jì)好的、在教育過程中不可改變的僵死計(jì)劃，也不是學(xué)生無目的、隨意的、自發(fā)的活動(dòng)。它是在師生互動(dòng)過程中，通過教師對(duì)學(xué)生的需要和感興趣的事物的價(jià)值判斷，教師不斷調(diào)整活動(dòng)，以促進(jìn)學(xué)生更加有效學(xué)習(xí)的課程發(fā)展過程，這也是師生共同學(xué)習(xí)、共同建構(gòu)、動(dòng)態(tài)發(fā)展的過程。
生長教學(xué)的最大優(yōu)點(diǎn)在于它能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生學(xué)得更生動(dòng)、更有效；它有利于發(fā)揮學(xué)生的主體性，培養(yǎng)創(chuàng)新人才；它對(duì)教師潛能的開發(fā)也有促進(jìn)作用，有利于激發(fā)教師的創(chuàng)造能力，并提升其專業(yè)化發(fā)展水平。生長數(shù)學(xué)教學(xué)的挑戰(zhàn)主要來自于實(shí)施的困難，因?yàn)樗鼘?duì)教師全面素質(zhì)的要求很高。這種素質(zhì)不僅僅是專業(yè)知識(shí)和技能，而且包括其他許多方面。比如，我們?cè)诮逃龑?shí)踐中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，一些很有教育價(jià)值的事件（包括學(xué)生的問題、反應(yīng)、表現(xiàn)等）教師常常發(fā)現(xiàn)不了，捕捉不到。有時(shí)雖然捕捉了、引導(dǎo)了，但限于自身的知識(shí)儲(chǔ)備，或教學(xué)機(jī)智，經(jīng)常覺得沒能充分地發(fā)揮出活動(dòng)原本應(yīng)有的教育功能。這種情況，不是生長數(shù)學(xué)教學(xué)本身的問題，而是教師本身對(duì)課堂的生長程度預(yù)計(jì)不足、對(duì)學(xué)生的生長預(yù)設(shè)不夠，對(duì)教學(xué)的生長預(yù)測(cè)不周所造成的。一旦活動(dòng)流于形式，生長就會(huì)變得不可預(yù)料。
生長數(shù)學(xué)教學(xué)需要教師形成如下一些共識(shí)。
1．每位學(xué)生進(jìn)入課堂前并非是一張白紙，頭腦中已經(jīng)積累著一定的相關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，而這些知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)正是開展思考和交流的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。
2．每一位學(xué)生都存在獨(dú)特的理解數(shù)學(xué)的方式，缺少的只是擁有直接參與、用學(xué)生自己的理解方式吸納知識(shí)的機(jī)會(huì)。教師不能忽視學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的獨(dú)特性而盲目武斷地、自以為是地進(jìn)行傳遞。實(shí)踐證明，不被學(xué)生理解的教學(xué)方式一定是低效的。因此，教師要努力讓學(xué)生“直接對(duì)接”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題、主觀投入學(xué)習(xí)活動(dòng)，而并非只是通過別人對(duì)數(shù)學(xué)理解的觀點(diǎn)來“間接對(duì)接”。
3．學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)背景對(duì)外部信息主動(dòng)地進(jìn)行選擇、加工和處理，從而獲得自己的意義，有助于理解知識(shí)、培養(yǎng)思維、增長學(xué)力。
4．教師的全部任務(wù)是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)符合生長規(guī)律的學(xué)習(xí)環(huán)境，支持和幫助學(xué)生完成對(duì)知識(shí)的建構(gòu)。
5．學(xué)生自己獲得的這些知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法、情感、品質(zhì)等都將成為他們的“認(rèn)知儲(chǔ)備”，也叫“生長儲(chǔ)備”。一個(gè)人擁有供他自由支配的“生長儲(chǔ)備”越豐富、越充足，他就會(huì)有越多的新觀念、新認(rèn)知產(chǎn)生，有越多的經(jīng)驗(yàn)和觀念去協(xié)調(diào)以建立更復(fù)雜的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成積極的學(xué)習(xí)心理，進(jìn)一步豐富自己的“生長儲(chǔ)備”。
基于以上觀點(diǎn)，把學(xué)習(xí)看作植物的生長，學(xué)生就像植物在充分吸收陽光和水分之后帶來“欣欣向榮”一樣，學(xué)習(xí)動(dòng)力和潛能被釋放出來，學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、形成、應(yīng)用的過程中實(shí)現(xiàn)對(duì)經(jīng)驗(yàn)的改造和重組，形成智慧和認(rèn)知的生長。
教育家斯普朗格說過：“教育的目的并非傳授或接納已有的東西，而是從人的生命深處喚醒他沉睡的自我意識(shí)，將人的生命感、創(chuàng)造力、價(jià)值感喚醒?！币虼耍皇亲寣W(xué)生被動(dòng)地接受教師授予的東西，或是過度地進(jìn)行技能技巧的訓(xùn)練，不僅會(huì)加大學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，而且無法讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的遷移力與再生力以及相伴而生的興奮，對(duì)數(shù)學(xué)的理解就會(huì)缺乏內(nèi)驅(qū)力。相反，倡導(dǎo)生長教學(xué)能改善這樣的弊端，因?yàn)榻處熽P(guān)注的是學(xué)生的主體建構(gòu)、自我激勵(lì)、學(xué)力提升。教師通過實(shí)踐和探究，總結(jié)出小學(xué)數(shù)學(xué)生長教學(xué)是一種以已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)、以解決問題為載體、以嘗試探究為途徑、以展示思維為抓手、以重組結(jié)構(gòu)為保證的創(chuàng)造性教學(xué)模式。
生長數(shù)學(xué)教學(xué)的主要特征
生長數(shù)學(xué)教學(xué)與其他的教學(xué)形態(tài)相比，有其特殊性。歸納起來，至少有以下幾個(gè)特征。
（一）真實(shí)性
真實(shí)性就是指教師與學(xué)生在課堂教學(xué)活動(dòng)中，都能展現(xiàn)出自己本真的思維過程和認(rèn)識(shí)態(tài)度，不做作、不掩蓋。
因此，小學(xué)數(shù)學(xué)生長教學(xué)所強(qiáng)調(diào)的真實(shí)，主要是以學(xué)生獲得真知，經(jīng)受思維鍛煉的真實(shí)，而不是言聽計(jì)從的真實(shí)和機(jī)械照搬的真實(shí)。教師會(huì)自覺尊重知識(shí)發(fā)展的規(guī)律和學(xué)生認(rèn)識(shí)發(fā)展的規(guī)律，學(xué)生會(huì)自覺地讓手、口、眼、腦協(xié)同運(yùn)作，充分調(diào)動(dòng)自己的思維智能，創(chuàng)造性地解決問題，任思想奔流、情感自由。?
（二）開放性
開放性是相對(duì)于封閉性而提出的。教師在學(xué)生面前不再是知識(shí)的權(quán)威，不再是教材忠實(shí)的執(zhí)行者，而是教材創(chuàng)造性的利用者，學(xué)生思維活動(dòng)的激發(fā)者。教師在教學(xué)活動(dòng)中允許和倡導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，通過師生互動(dòng)，生成教材中沒有展示出來的新的知識(shí)。這個(gè)過程中學(xué)生不是被動(dòng)地吸收課本上的現(xiàn)成結(jié)論，而是一個(gè)親自參與、經(jīng)歷實(shí)踐、追求創(chuàng)新的過程。為此，教師需要拓展視野、活用教材，彈性設(shè)計(jì)、多留空白，延遲評(píng)價(jià)、激勵(lì)探究，努力去喚醒促進(jìn)學(xué)生主體意識(shí)的能動(dòng)性，認(rèn)真去引導(dǎo)生命個(gè)體積極思維的舒展，從而避免扼殺學(xué)生創(chuàng)造性思維的突破與生長。必須堅(jiān)守“兩個(gè)凡是”為基本原則：凡是學(xué)生自己能說的，教師絕不替代；凡是學(xué)生自己能做的，教師絕不暗示。
（三）互動(dòng)性
互動(dòng)性指的是教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的對(duì)話、合作、碰撞，使課堂不在“沉悶”中喪失它本應(yīng)有的活力和生機(jī)。學(xué)生在客觀上是存在著差異的，不同個(gè)性、不同視界的學(xué)生，課堂表現(xiàn)和課堂需求是截然不同的。而數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程是在適時(shí)變化、動(dòng)態(tài)發(fā)展的。因此，推進(jìn)課堂的有效進(jìn)程、煥發(fā)學(xué)生的生命活力，互動(dòng)是最必需的。只有互動(dòng)才能充分暴露和激活學(xué)生的思維，才能幫助學(xué)生發(fā)散思維和深刻理解。要使課堂真正“動(dòng)”起來，教師是主要的發(fā)動(dòng)者和引領(lǐng)者、教師在主觀上要努力預(yù)設(shè)各種可能，在具體教學(xué)過程中要敏銳地觀察、捕捉各種生成契機(jī)，冷靜地分析并恰當(dāng)?shù)靥幚砘?dòng)中生成的信息，充分挖掘其中蘊(yùn)含著的教育價(jià)值和意義。
（四）思辨性
數(shù)學(xué)是一門促進(jìn)思維生長的科學(xué)，是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，它具有高度的抽象性和邏輯性。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的核心目的是掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，同時(shí)要發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的核心。數(shù)學(xué)思維能力是以數(shù)學(xué)知識(shí)為素材，通過空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、演繹證明和模式構(gòu)建，對(duì)客觀事物中的空間形式、數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和判斷，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力?；谝陨险J(rèn)識(shí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)生長教學(xué)中，一定要強(qiáng)調(diào)思辨。因?yàn)橹挥羞@樣，才能抓住數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的本質(zhì)。
數(shù)學(xué)追求的不是靠死記硬背和機(jī)械照搬來解決問題，而是通過觀察、分析、判斷、推理等過程進(jìn)行合乎邏輯的思維活動(dòng)，從而找到解決問題的方法和提升解決問題的效能。這將從根本上提高數(shù)學(xué)教學(xué)的課程價(jià)值，有利于培養(yǎng)學(xué)生的良好思維習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。
（五）結(jié)構(gòu)性
數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，有自身的邏輯線條，有完整的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。而在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科體系中，清晰可見它的脈絡(luò)、條理、層次、架構(gòu)，它們環(huán)環(huán)相扣，極致縝密。正因?yàn)槿绱?，幫助學(xué)生建立一套符合認(rèn)知發(fā)展的知識(shí)結(jié)構(gòu)有助于學(xué)生存貯和提取信息。所謂結(jié)構(gòu)，就是把各種信息按一定的規(guī)律組成整體。教學(xué)過程其實(shí)應(yīng)是知識(shí)、能力、經(jīng)驗(yàn)、情感的演化構(gòu)筑過程，在這個(gè)過程中學(xué)生會(huì)按自己獨(dú)有的序列在大腦中建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師只有重視新學(xué)知識(shí)與已有知識(shí)的聯(lián)結(jié)，引導(dǎo)形成適合孩子自身的結(jié)構(gòu)體系，才能為他以后的學(xué)習(xí)和遷移提供相應(yīng)的幫助。
教育規(guī)律時(shí)時(shí)在告誡我們，教學(xué)是為了幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)遷移。因此，教學(xué)要強(qiáng)調(diào)做到系統(tǒng)把握、整體建構(gòu)、自我完善。而在以往的教學(xué)中，通常會(huì)忽視這一點(diǎn)，給孩子相應(yīng)的活動(dòng)空間和策略指導(dǎo)顯得不足。我們不應(yīng)該等到教師要學(xué)生整理的時(shí)候才去關(guān)注結(jié)構(gòu)，不應(yīng)該在教師要學(xué)生怎樣整理的時(shí)候才去被動(dòng)指導(dǎo)，而應(yīng)該做到在學(xué)習(xí)過程中，不斷激活、不斷應(yīng)用、不斷建構(gòu)、不斷完善，促使學(xué)生完善和發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高吸收新知的能力和自我生長的能力。
（六）遞進(jìn)性
課堂探究活動(dòng)不能太多，太多會(huì)讓學(xué)生抓不住學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，更何況課堂教學(xué)是一種問題解決、知識(shí)構(gòu)建、能力培養(yǎng)的過程，因此課堂教學(xué)需要有序推進(jìn)，呈現(xiàn)梯度的生長。由易到難、由點(diǎn)及面、層層遞進(jìn)，這是我們生長教學(xué)中一個(gè)很重要的特征。目標(biāo)要清晰可見，層次要遞進(jìn)分明，教師要把學(xué)生放在長遠(yuǎn)發(fā)展的鏈條上，不斷滲透結(jié)構(gòu)思想和遞進(jìn)意識(shí)，學(xué)生才會(huì)明確知識(shí)的來龍去脈、掌握其本質(zhì)的原理和特征。由點(diǎn)連線及面地將數(shù)學(xué)思想、經(jīng)驗(yàn)、感受融于結(jié)構(gòu)化認(rèn)知系統(tǒng)中，這樣才能建立自身的知識(shí)層次結(jié)構(gòu)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的環(huán)比生長能力。
生長數(shù)學(xué)教學(xué)的影響因素
生長是在課堂教學(xué)情境中進(jìn)行的，課堂內(nèi)的任一因素都有可能成為課堂生長的誘因，使課堂教學(xué)呈現(xiàn)一種生命化的動(dòng)態(tài)生長過程。如何在課堂教學(xué)中對(duì)種種生長因素進(jìn)行掌控，直接影響著教學(xué)的效果和質(zhì)量。
（一）教師對(duì)生長因素的影響
1．教師教育理念的影響。教師不僅向?qū)W生傳遞文化科學(xué)知識(shí)，而且培養(yǎng)他們的思想與品德，塑造他們的靈魂，使他們兼具遠(yuǎn)大的理想、高尚的情操、豐富的情感和堅(jiān)強(qiáng)的意志。
現(xiàn)行教育是以知識(shí)經(jīng)濟(jì)為背景的，在這一背景下，教育目標(biāo)由以傳授知識(shí)為中心轉(zhuǎn)向了以發(fā)展人的各種智力、能力為中心。新形勢(shì)下，教師必須讓教育盡可能適應(yīng)學(xué)生，關(guān)注不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)的狀態(tài)，特別關(guān)注學(xué)生的全體性、全面性、個(gè)性化的發(fā)展。教師的教育功夫應(yīng)該放在注重人的綜合素質(zhì)和終身學(xué)習(xí)的培養(yǎng)上，放在促進(jìn)學(xué)生生存和發(fā)展的原動(dòng)力上。在課堂中，引導(dǎo)每一個(gè)學(xué)生學(xué)會(huì)做人、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)創(chuàng)造、學(xué)會(huì)生活，這是作為教師應(yīng)該遵循的永遠(yuǎn)不變的教育理念。
2．教師思維方式的影響。思維方式就是觀察事物、研究問題的方法?，F(xiàn)代思維方式的本質(zhì)特點(diǎn)是獨(dú)創(chuàng)性、靈活性、開放性?，F(xiàn)代教學(xué)正需要教師具有這樣的思維方式，以促進(jìn)學(xué)生的有效生長。在教學(xué)中主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：
（1）解放思想，擺脫陳舊落后的教育觀念、方法、經(jīng)驗(yàn)的束縛，對(duì)于前人經(jīng)驗(yàn)批判地繼承，不為已有教學(xué)專家的論斷、觀點(diǎn)所局限，不照搬現(xiàn)成的教學(xué)模式，堅(jiān)持實(shí)事求是的思維路線，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)研究教學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中探索規(guī)律，找出內(nèi)在聯(lián)系，從而提出自己的見解。
（2）不滿現(xiàn)狀，勇于否定自己的教學(xué)觀，勇于否認(rèn)以往認(rèn)為“正確”的觀念、方法、教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂組織等，通過再認(rèn)識(shí)，豐富自己的經(jīng)驗(yàn)。如在數(shù)學(xué)教學(xué)中深入研究，尋找與眾不同的切入點(diǎn)，設(shè)計(jì)與眾不同的教法。
（3）從不同角度，用多種方法解決問題，獲得各種各樣的答案。能根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的新事物，及時(shí)調(diào)整、修改原來的想法?？紤]問題的整體性和特殊性，個(gè)別與全體相結(jié)合，問題答案有個(gè)體差異，可以各不相同。
（4）創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)是多極、開放的，他們能從不同方向、不同角度、不同途徑，向外部世界開放，及時(shí)與新思想、新知識(shí)“溝通”。這種思維方式，既有順向思維，又有逆向思維；既批判地承認(rèn)舊習(xí)慣、經(jīng)驗(yàn)和傳統(tǒng)，又重視未來的發(fā)展，重視我們小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域所出現(xiàn)的新的研究成果。
3．學(xué)情了解程度的影響。一些教師備課只注重備教材，教材背得滾瓜爛熟，教案寫得詳詳細(xì)細(xì)，講課講得頭頭是道，但到頭來教學(xué)效果并不令人滿意。這是什么原因呢？其中很重要的原因就是教師“心中有書，目中無人”。只是“帶著教材走向?qū)W生”，忽略了對(duì)教育對(duì)象——學(xué)生的研究。對(duì)于小學(xué)生來說，小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多知識(shí)并不是“新知識(shí)”，在某種程度上來說是一種“舊知識(shí)”。因?yàn)樗麄冊(cè)谌粘Ｉ钪忻獠涣伺c“數(shù)”和“形”打交道，就會(huì)積累許多數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生是課堂學(xué)習(xí)的主人，教師的教是為學(xué)生的學(xué)服務(wù)的，要使課堂上真正有所收獲，教師必須尊重學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)過程。為此，教師在每上一節(jié)課前，就必須問問自己：關(guān)于這個(gè)內(nèi)容學(xué)生已經(jīng)知道了多少？并想方設(shè)法地去了解。正如美國認(rèn)知心理學(xué)家奧斯貝爾所說的：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會(huì)說，影響學(xué)習(xí)的最重要原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況去進(jìn)行教學(xué)?！币虼耍覀冋J(rèn)為，生長教學(xué)的課堂既要基于學(xué)生，又要超越學(xué)生的生長。
4．教師教學(xué)設(shè)計(jì)的影響。在教學(xué)中，預(yù)設(shè)是必要的，因?yàn)榻虒W(xué)首先是一個(gè)有目標(biāo)、有計(jì)劃的活動(dòng)。教師必須在課前對(duì)自己的教學(xué)任務(wù)有一個(gè)清晰、理性的思考與安排，但同時(shí)這種預(yù)設(shè)是有度的、有彈性的、有留白的，只有這樣才能給學(xué)生創(chuàng)造生長的環(huán)境。因?yàn)檎n堂是師生生命體共同成長的場(chǎng)所。
（二）學(xué)生對(duì)生長因素的影響
長期以來，師本教育體系把學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)看作與正規(guī)教育無關(guān)，甚至有害。它對(duì)教育過程的認(rèn)識(shí)是單向式的，認(rèn)為教育的主要資源是教師和教材、教學(xué)設(shè)備。而把教師每天所面對(duì)的教育對(duì)象看成是缺少生命的知識(shí)容器，不是當(dāng)作活生生的人，這樣的教育過程并沒有從對(duì)象的生長和生成規(guī)律去設(shè)計(jì)。實(shí)踐證明，這完全是與教育對(duì)象的認(rèn)知規(guī)律相違背的，以致產(chǎn)生了種種教育弊端。隨著改革的深入，為了解決以上問題，提出了生本教育體系。它認(rèn)為依靠學(xué)生進(jìn)行教育，把教育的全部歸結(jié)到學(xué)生身上，以學(xué)生發(fā)展為教育本體。其中，它還提倡學(xué)生不僅是教育對(duì)象，更應(yīng)當(dāng)看作是教育資源、能量之庫。而且，它不僅是教育的一般性資源，更是基礎(chǔ)性資源；其他的資源最終必須同生本資源相結(jié)合，才能發(fā)揮效益。形象地說，生本教育體系的重要思想就是“借力”，“好風(fēng)憑借力，送我上青云”，依托學(xué)生資源進(jìn)行教育，可獲得事半功倍之效。
如何在生長課堂中開發(fā)學(xué)生資源呢？教師首先應(yīng)該了解影響生長資源的學(xué)生因素有哪些？
1．學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的影響。教師需要先行了解了學(xué)生的已有認(rèn)知水平和經(jīng)驗(yàn)，順著學(xué)生的思路進(jìn)行教學(xué)，擴(kuò)展了問題的思考空間。?
2．學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的影響。學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)向來是值得討論的。學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)包括學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、興趣、愛好、態(tài)度、情緒狀態(tài)等，這些都是影響課堂動(dòng)態(tài)生長的重要因素。心理學(xué)研究表明，人在良好的情緒狀態(tài)下，思路開闊，思維敏捷，解決問題迅速；而在心情低沉和抑郁時(shí)，則思路阻塞，動(dòng)作遲鈍，毫無創(chuàng)造力可言。
教學(xué)活動(dòng)是在知識(shí)和情感兩條主線相互作用、相互制約下完成的。積極的情感，可以刺激學(xué)生的中樞神經(jīng)，促進(jìn)腦細(xì)胞的活動(dòng)，從而使學(xué)生從記憶庫中涌現(xiàn)出許多現(xiàn)象，激發(fā)出多種多樣的新意聯(lián)想，形成強(qiáng)烈追求、積極思考、主動(dòng)探索的課堂氛圍。愛玩好動(dòng)、愛聽故事、愛做游戲、愛看動(dòng)畫是兒童的天性，這一認(rèn)知特點(diǎn)，每一個(gè)教育工作者都知道卻不善于利用。在平常的教學(xué)工作中，或是基于教學(xué)時(shí)間的考慮，或是急于傳授大量的知識(shí)，或是不愿意花大量的時(shí)間作課前精心準(zhǔn)備，往往忽視了這個(gè)小學(xué)生的客觀認(rèn)知規(guī)律，側(cè)重空洞無味的說教，極大地挫傷了小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。因此，作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師要盡可能地組織一些游戲性的活動(dòng)，“包裝”數(shù)學(xué)知識(shí)或創(chuàng)造數(shù)學(xué)情境，“串聯(lián)”數(shù)學(xué)知識(shí)，創(chuàng)設(shè)活動(dòng)空間，“做”數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生在學(xué)中玩，玩中學(xué)，做到學(xué)得有趣，學(xué)得愉快，學(xué)得輕松，學(xué)得主動(dòng)，學(xué)得深刻。
3．學(xué)生思維水平的影響。根據(jù)學(xué)生思維的時(shí)間、方向、速度、深度、廣度、新穎度的不同，把學(xué)生思維的個(gè)性化水平從以下幾個(gè)方面進(jìn)行闡述。
（1）思維的廣闊性。思維的廣闊性是指對(duì)一個(gè)問題能做出多方面的解釋，能用多種形式、多種不同的方法加以解決。學(xué)習(xí)的風(fēng)格理論告訴我們，學(xué)生當(dāng)中有觸覺學(xué)習(xí)者、視覺學(xué)習(xí)者和聽覺學(xué)習(xí)者，有的兼而有之。這決定了不同的學(xué)生會(huì)采用不同的思維形式。
（2）思維的深刻性。思維的深刻性是指對(duì)問題或現(xiàn)象的理解程度，以及在解決問題或闡述對(duì)象時(shí)具有的思維含量的水平。不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中表現(xiàn)出來的深刻性有明顯差異。
（3）思維的靈活性。思維的靈活性表現(xiàn)為不過多地受思維定勢(shì)的影響，能準(zhǔn)確地調(diào)整思維的方向，善于從舊的模式或傳統(tǒng)的思維軌道上跳出來，做到另辟蹊徑，曲徑通幽。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重啟發(fā)學(xué)生從多角度思考問題，鼓勵(lì)聯(lián)想，提倡一題多解。同時(shí)，設(shè)計(jì)開放性練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生思維靈活發(fā)展，提高他們創(chuàng)造性解決問題的能力。
教師在教學(xué)中，不能拘泥于固有的教材，不能局限于學(xué)生現(xiàn)有的水平，而應(yīng)抓住課堂中的亮點(diǎn)、閃光點(diǎn)、生長點(diǎn)，加以擴(kuò)大、延伸，把學(xué)生角度各異的思維方式加以推廣。有了這個(gè)思維的靈活性，才能推動(dòng)課堂的靈動(dòng)和學(xué)生的“生長”。
（4）思維的創(chuàng)造性。思維的創(chuàng)造性是指思維活動(dòng)的創(chuàng)新程度，表現(xiàn)為分析、解決問題時(shí)的方式、方法和結(jié)果的新穎、獨(dú)特。善于發(fā)現(xiàn)、解決并延伸問題，是創(chuàng)新思維的一種體現(xiàn)。在教學(xué)中要提倡標(biāo)新立異，鼓勵(lì)學(xué)生探究求新，激發(fā)學(xué)生在頭腦中對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行“再加工”，并加以調(diào)整、改組和充實(shí)，創(chuàng)造性地尋找獨(dú)特簡(jiǎn)捷的解法，提出各種“別出心裁”的方法，這些都能促進(jìn)學(xué)生思維獨(dú)創(chuàng)性的形成。
（5）思維的批判性。思維的批判性是指對(duì)已有的問題的表征或論證敢于向?qū)＜姨岢霾煌捶ǎ皇且晃兜孛?。它有利于生長正確、合理、科學(xué)的內(nèi)容。小學(xué)數(shù)學(xué)思維的批判性，在概括過程中表現(xiàn)為善于精細(xì)地估計(jì)數(shù)學(xué)材料，準(zhǔn)確選擇推理?xiàng)l件；善于從正、反兩個(gè)方面思考推理過程，并能及時(shí)調(diào)整和校正。在推理過程中表現(xiàn)為善于從不同角度、正反兩個(gè)方面去理解概念，區(qū)分相近概念；善于區(qū)別不同的運(yùn)算法則、定律、性質(zhì)及其適用的條件；善于發(fā)現(xiàn)并指出理解過程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤傾向，排除錯(cuò)誤的干擾。在運(yùn)算過程中表現(xiàn)為解決數(shù)學(xué)問題時(shí)善于排除無關(guān)因素的影響；善于進(jìn)行辯證地思索與分析，自覺檢查思維過程，自我控制和調(diào)整思維方向，對(duì)解答結(jié)果能下意識(shí)地做出估計(jì)和檢驗(yàn)。
4．學(xué)生互動(dòng)能力的影響。學(xué)生的互動(dòng)能力指學(xué)生有意愿與教師、其他同學(xué)交往的意識(shí)，有和其他同學(xué)、教師交往的技巧和方法，有與他人合作、分享的行為表現(xiàn)，有互動(dòng)過程之后的總結(jié)吸收能力，等等。它包括學(xué)生與文本、學(xué)生與教師、學(xué)生與學(xué)生的互動(dòng)。學(xué)生互動(dòng)能力是影響學(xué)生課堂行為表現(xiàn)的一個(gè)很重要的因素，也是影響課堂生長、學(xué)生生長的重要因素。
生長數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)
（一）建構(gòu)主義理論
數(shù)學(xué)建構(gòu)主義是在皮亞杰的理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，特別關(guān)注在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生主動(dòng)的心理建構(gòu)活動(dòng)，并將此比喻為“在主體的心理上建造一個(gè)認(rèn)識(shí)對(duì)象的‘建筑物’”。其實(shí)質(zhì)是主體通過對(duì)客體的思維構(gòu)造，在心理上建構(gòu)客體的意義。數(shù)學(xué)建構(gòu)主義觀認(rèn)為：“學(xué)習(xí)并非是學(xué)生對(duì)于教師所授予的知識(shí)的被動(dòng)接受，而是一個(gè)以其已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過程?！薄皾M堂灌”的結(jié)果只能是一種簡(jiǎn)單的外部結(jié)構(gòu)的強(qiáng)行嵌入，只會(huì)讓學(xué)生學(xué)會(huì)模仿、復(fù)制，缺少遷移。強(qiáng)調(diào)“自主活動(dòng)”、“智力參與”和“個(gè)人體驗(yàn)”。強(qiáng)調(diào)新知應(yīng)是，主體通過內(nèi)部心理上的思維創(chuàng)造后存入原有認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)之中。數(shù)學(xué)知識(shí)一般以感知、表象、概念、命題或圖示等主要表征存在于人腦之中。因此數(shù)學(xué)教學(xué)的功能在于使學(xué)生超越自己的知識(shí)，教師通過組織、引導(dǎo)、合作和共同研究，充分發(fā)揮學(xué)生主動(dòng)性，“教師應(yīng)幫助學(xué)生搭起建構(gòu)知識(shí)的橋梁”。借助學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造問題情境，經(jīng)過學(xué)生主體感知、消化、構(gòu)造，即基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的操作、交流，通過反省來主動(dòng)建構(gòu)。
（二）“再創(chuàng)造教學(xué)”理論
“再創(chuàng)造教學(xué)”理論是由荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾首次提出來的。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)活動(dòng)過程，在整個(gè)活動(dòng)過程中，學(xué)生應(yīng)該處于一種積極、創(chuàng)造的狀態(tài)。學(xué)生首先要參與這個(gè)活動(dòng)，感覺到創(chuàng)造的需要，他才有可能進(jìn)行再創(chuàng)造。而教師的任務(wù)就是為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造提供自由廣闊的天地，就在于引導(dǎo)學(xué)生探索獲得知識(shí)、技能的途徑和方法。
在弗賴登塔爾“再創(chuàng)造教學(xué)”理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生本人通過數(shù)學(xué)活動(dòng)把要學(xué)的知識(shí)發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)就是指導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行這種創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生?！霸賱?chuàng)造教學(xué)”意味著學(xué)生創(chuàng)造的自由性和教師指導(dǎo)的約束性之間存在著一種微妙的平衡。這里所說的“再創(chuàng)造”與我國著名教育心理學(xué)家邵瑞珍教授所提出的“類創(chuàng)造”應(yīng)該是同一概念。
（三）“最近發(fā)展區(qū)”理論
20世紀(jì)30年代初，維果茨基首先將“最近發(fā)展區(qū)”這一概念引入兒童心理學(xué)的研究，提出“良好的教學(xué)應(yīng)走在發(fā)展前面”的著名論斷。并指出，教學(xué)的著眼點(diǎn)就是要看到兒童的明天，即“判明兒童發(fā)展的動(dòng)力狀態(tài)”。維果茨基認(rèn)為，兒童有兩種發(fā)展水平：一是兒童的現(xiàn)有水平，即由一定的已經(jīng)完成的發(fā)展系統(tǒng)所形成的兒童心理機(jī)能的發(fā)展水平，如兒童已經(jīng)完全掌握了某些概念和規(guī)則；二是即將達(dá)到的發(fā)展水平。這兩種水平之間的差異，就是“最近發(fā)展區(qū)”。也就是說，兒童在有指導(dǎo)的情況下，借助成人幫助所能達(dá)到的解決問題的水平與獨(dú)自解決問題所達(dá)到的水平之間的差異，實(shí)際上是兩個(gè)鄰近發(fā)展階段間的過渡狀態(tài)。它的提出說明了兒童發(fā)展的可能性及其意義在于教育者不應(yīng)只看到兒童今天已達(dá)到的發(fā)展水平，還應(yīng)看到仍處于形成的狀態(tài)，正在發(fā)展的過程。所以，維果茨基強(qiáng)調(diào)教學(xué)不能只適應(yīng)發(fā)展的現(xiàn)有水平，而應(yīng)適應(yīng)“最近發(fā)展區(qū)”，從而走在發(fā)展的前面，最終跨越“最近發(fā)展區(qū)”而達(dá)到新的發(fā)展水平。
（四）生命性教學(xué)理論
我國的生命性教學(xué)研究發(fā)端于葉瀾教授，其在《教育研究》1997年第9期發(fā)表了《讓課堂煥發(fā)出生命活力》,2003年王鑒老師在《教育理論與實(shí)踐》上發(fā)表的《課堂重構(gòu)：從“知識(shí)課堂”到“生命課堂”》一文中正式提出了“生命課堂”。之后，人們從理論上對(duì)生命課堂的含義、特征、構(gòu)建進(jìn)行積極探索，傾向于多角度多元化，這些探討豐富了生命課堂的內(nèi)涵，為實(shí)踐提供了有益的借鑒和幫助?！吧虒W(xué)追求的是一種充滿生命體驗(yàn)與生命關(guān)懷，感悟生命意義，富于生命活力的教學(xué)境界?！薄霸谏虒W(xué)中，教學(xué)過程是生命被激活、被發(fā)現(xiàn)、被欣賞、被豐富、被尊重的過程，是生命的自我發(fā)展、自我生成、自我超越、自我升華的過程?！苯虒W(xué)活動(dòng)中的教師和學(xué)生都是活生生的人，都是具有自身特點(diǎn)的“個(gè)體”，教學(xué)過程就是這些“生命體”合成和發(fā)展的過程。“生命課堂”就是在課堂教學(xué)中，不僅僅是為了知識(shí)而教學(xué)，而是為了人的發(fā)展而教學(xué)。“生命課堂”突出“活動(dòng)”，是實(shí)現(xiàn)“發(fā)展”的源泉和動(dòng)力，加大了對(duì)教育對(duì)象的人文素質(zhì)培養(yǎng)。
生命性教學(xué)已成為我國新課程教學(xué)改革的一種新教學(xué)理念，王立軍在《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2008年第2期《數(shù)學(xué)教育走向生命課堂的策略探微》中提出了數(shù)學(xué)教育走向生命課堂的基本策略：超越數(shù)學(xué)“學(xué)科本位”；關(guān)注學(xué)生的情感體驗(yàn)；改善教與學(xué)的方式；加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。
生命哲學(xué)家認(rèn)為，生命是一個(gè)不斷創(chuàng)造、不斷更新自我的過程，生命的意義也就在于這種體驗(yàn)性和創(chuàng)造性。正是從生命哲學(xué)的角度，課堂教學(xué)應(yīng)改變傳統(tǒng)灌輸式的教學(xué)方式，突出學(xué)生的主體性與主動(dòng)性，關(guān)注學(xué)生的生命發(fā)展。
生長數(shù)學(xué)教學(xué)“三環(huán)四自”模式的構(gòu)建和實(shí)施
生長數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐模式主要分為教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)實(shí)施、教學(xué)延伸3個(gè)階段，在課堂實(shí)施時(shí)分為3個(gè)環(huán)節(jié)4個(gè)步驟（簡(jiǎn)稱“三環(huán)四自”模式）。詳見圖2-1：
·教學(xué)準(zhǔn)備階段：從“帶著知識(shí)走向?qū)W生”變?yōu)椤皫е鴮W(xué)生走向知識(shí)”。找準(zhǔn)生長點(diǎn)——生長課堂的種子，預(yù)設(shè)適合學(xué)生的教學(xué)。
·教學(xué)實(shí)施階段：從“數(shù)學(xué)結(jié)果的教學(xué)”變?yōu)椤皵?shù)學(xué)過程的教學(xué)”。充足生長素——生長課堂的條件，搭建舒展思維的平臺(tái)。
·教學(xué)延伸階段：從“著眼當(dāng)前習(xí)得”變?yōu)椤爸坶L遠(yuǎn)發(fā)展”。增強(qiáng)生長力——生長課堂的追求，提供應(yīng)用完善的空間。
如何進(jìn)行教學(xué)準(zhǔn)備
一、生長數(shù)學(xué)教學(xué)準(zhǔn)備的基本理念
生長數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂設(shè)計(jì)的基本理念是：把教師要教的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生想學(xué)的內(nèi)容，從“教學(xué)設(shè)計(jì)”走向“學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)”。只有這樣，才能實(shí)現(xiàn)“培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和促進(jìn)自然發(fā)展”這一核心的目標(biāo)追求。
數(shù)學(xué)生長教學(xué)的設(shè)計(jì)要做到以下“五個(gè)要點(diǎn)”。
（一）目標(biāo)靶向
目標(biāo)是生長課堂教學(xué)的指向標(biāo)。要明確學(xué)什么、學(xué)得怎么樣。目標(biāo)靶向即對(duì)特定的學(xué)習(xí)目標(biāo)采取的特定行動(dòng)。根據(jù)不同的教學(xué)對(duì)象，針對(duì)特定的教學(xué)目標(biāo)，應(yīng)該采取相對(duì)應(yīng)的教學(xué)方法。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，一定要在整體教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上確立課時(shí)教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)在課時(shí)教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上明確環(huán)節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，組成目標(biāo)系統(tǒng)。
（二）問題中心
有了目標(biāo)，教師可以設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的活動(dòng)。就是說，設(shè)計(jì)要實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，我們應(yīng)該怎么做?；顒?dòng)是生長課堂教學(xué)的骨架，數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)提倡板塊式活動(dòng)設(shè)計(jì)，每一個(gè)板塊的活動(dòng)都有明確的目標(biāo)，同時(shí)具有一定的聯(lián)系，有層次、有梯度地進(jìn)行設(shè)計(jì)。教師需要的是“以問題為中心”的活動(dòng)設(shè)計(jì)。著名教育家陶行知先生說“發(fā)明千千萬，起點(diǎn)在一問”。問題是思維的起點(diǎn)、是思維的心臟，因此在生長數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要遵循以問題為中心的原則。這里所指的“問題”，并不是普通意義上的問題，而是具有能統(tǒng)帥學(xué)科知識(shí)、貫穿學(xué)習(xí)全程，能啟發(fā)對(duì)話與創(chuàng)造、培養(yǎng)方法和能力的矛盾、疑難點(diǎn)。它是學(xué)生學(xué)習(xí)的支架、教師組織教學(xué)的抓手、教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的橋梁。因?yàn)閷W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思維是在意識(shí)到數(shù)學(xué)問題存在時(shí)而啟動(dòng)的，這個(gè)啟動(dòng)，即學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)、自主學(xué)習(xí)、合作交流以及批評(píng)性接受的開始。遵循問題中心原則，學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠增強(qiáng)問題意識(shí)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；能學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察和分析；能養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣。
（三）多維互動(dòng)
多維互動(dòng)表現(xiàn)為教學(xué)過程由單向的“灌輸”和“傳授”轉(zhuǎn)為多向的“對(duì)話”和“互動(dòng)”。教師、學(xué)生與環(huán)境之間形成一個(gè)真正的“學(xué)習(xí)共同體”，在“交往”“對(duì)話”中產(chǎn)生教學(xué)共振，展開情感交流、互動(dòng)對(duì)話、實(shí)踐創(chuàng)造與資源開發(fā)，從而達(dá)到動(dòng)態(tài)生成、循序發(fā)展，更好地挖掘?qū)W生的潛能。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)生長教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師要對(duì)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的活動(dòng)中出現(xiàn)的各種可能進(jìn)行假設(shè)，并預(yù)設(shè)相關(guān)的應(yīng)對(duì)。
（四）思維活動(dòng)
數(shù)學(xué)是一門邏輯思維極強(qiáng)的學(xué)科。著名的數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。”而思維活動(dòng)又是一種復(fù)雜的心理過程，是由人們的認(rèn)識(shí)需要引起的。教師對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的情感、態(tài)度、方法的了解與把握，對(duì)思維活動(dòng)的觀察、質(zhì)疑、探索、猜想的引導(dǎo)，是生長課堂教學(xué)的必要條件。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要使學(xué)生不斷地產(chǎn)生學(xué)習(xí)意向，引起學(xué)生的認(rèn)識(shí)需要，就得創(chuàng)設(shè)出一種學(xué)習(xí)氣氛，使學(xué)生急于求知，主動(dòng)思考；就得設(shè)置出有關(guān)的問題和操作，利用學(xué)生舊有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以造成認(rèn)知沖突。課堂教學(xué)中有了學(xué)習(xí)氣氛和認(rèn)知沖突，即創(chuàng)設(shè)了思維活動(dòng)情境，學(xué)生便有了展開思維的動(dòng)因、時(shí)間和空間。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)是有助于提高教學(xué)質(zhì)量，有助于學(xué)生擁有持續(xù)生長的能力。
（五）生成發(fā)展
“生長”具有生成性，同時(shí)還具有發(fā)展性。既是動(dòng)態(tài)生成，又是循序成長。這是生長課堂追求的基本目標(biāo)，也是生長課堂必須遵循的生成發(fā)展原則。因?yàn)閮和俏赐瓿傻拇嬖?，也是非特定化的存在?！拔赐瓿尚浴币馕吨鴥和纳幱诓煌Ｏ⒌淖兓??！胺翘囟ɑ币馕吨鴥和哂袩o限發(fā)展的可能性，意味著生命是一個(gè)歷程，是一種有意義的、非確定的過程。兒童的發(fā)展永遠(yuǎn)具有創(chuàng)造性和超越性，永遠(yuǎn)處在生長之中。在杜威看來，教育的目的就在于促進(jìn)兒童充分地持續(xù)不斷地生長，并且這一進(jìn)程始終是以兒童為中心，依靠?jī)和旧淼呐Χ七M(jìn)。?
二、生長數(shù)學(xué)教學(xué)準(zhǔn)備的操作辦法
眾所周知，任何一種教學(xué)行為的背后不僅有相應(yīng)的教學(xué)理念作支撐，而且有豐富的資源作基礎(chǔ)?！袄砟钪浣Y(jié)果，思路決定出路。”在教學(xué)準(zhǔn)備中哪些操作辦法需要老師去認(rèn)真完成的呢？以下幾點(diǎn)至少是值得大家做起來的。
（一）研讀教材，系統(tǒng)把握
1．整體聯(lián)系，全面解讀。
2．抓住本質(zhì)，深入解讀。
實(shí)踐證明，教師只有站在一個(gè)較高的層次上去審視和處理教材，抓住教材中知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，才能將蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)“大思想”落實(shí)在課堂中，這就好像為學(xué)生插上了隱形的翅膀，使學(xué)生在數(shù)學(xué)的天空中飛得更高。
（二）分析學(xué)情，找準(zhǔn)起點(diǎn)
1．遵循學(xué)生的認(rèn)知心理，實(shí)事求是地分析學(xué)情
2．運(yùn)用科學(xué)的調(diào)研方法，全面客觀地了解學(xué)情
3．尋找學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，確定學(xué)生的差距資源
（三）立足課標(biāo)，明確目標(biāo)
（四）比較教法，求實(shí)創(chuàng)新
“教學(xué)方法是指教師在教學(xué)過程中為了完成教學(xué)任務(wù)所采用的工作方法和教師指導(dǎo)下學(xué)生的學(xué)習(xí)方式?！薄懊恳环N教學(xué)方法都是教師組織學(xué)生的認(rèn)識(shí)活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)以及確保學(xué)生掌握教育內(nèi)容而進(jìn)行的一系列有目的的行動(dòng)?！边@個(gè)定義說明了教學(xué)方法不同于教學(xué)工具或教學(xué)手段，而是對(duì)工具或手段的運(yùn)用，是一系列有目的的行動(dòng)。這里需要明確：方法服務(wù)內(nèi)容，教法服務(wù)學(xué)習(xí)。因此，教師應(yīng)注意比較各種教法。看一看別人在教學(xué)時(shí)是怎樣引導(dǎo)學(xué)生探究的，比一比怎樣的方式有利于學(xué)生思考和發(fā)展，想一想到底怎樣可以更好地幫助學(xué)生進(jìn)行生長性學(xué)習(xí)……教師在比較中揚(yáng)長、在揚(yáng)長中提升，以適應(yīng)教學(xué)對(duì)象的學(xué)習(xí)需要，幫助每個(gè)人的天性和與生俱來的能力得到健康生長。
如何進(jìn)行教學(xué)實(shí)施
生長數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、積極思考，而非僅僅是通過感官學(xué)習(xí)；要引導(dǎo)學(xué)生多提出問題、討論問題和解決問題，自主探索問題的結(jié)論，而非一味模仿或機(jī)械記憶；要善于將學(xué)生引向自己探索發(fā)現(xiàn)的道路，而非完全接受教師的知識(shí)傳授等。只有這樣，才能幫助學(xué)生舒展思維、舒展個(gè)性，幫助學(xué)生創(chuàng)造有助于他們生長的條件，促進(jìn)學(xué)生多元發(fā)展。
教師可以從課堂文化、學(xué)習(xí)情境、學(xué)習(xí)材料、數(shù)學(xué)活動(dòng)等維度來幫助學(xué)生點(diǎn)燃求知欲望，打開思考枷鎖，舒展思維過程。生長數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施的關(guān)系見圖2-2。
圖2-2 生長數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施關(guān)系示意圖
二、生長數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施的一般模式
在促進(jìn)學(xué)生自主生長的研究實(shí)踐中，初步歸納了“三環(huán)四自”的課堂教學(xué)模式，總結(jié)了相應(yīng)的教學(xué)策略?！叭h(huán)”是指“嘗試質(zhì)疑、探究展示、提煉梳理”這3個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)稱“一試二探三理”?！八淖浴笔侵浮白灾鲊L試—引發(fā)問題、自由互動(dòng)—萌發(fā)生成、自覺應(yīng)用—理解原理、自我反思—形成關(guān)聯(lián)”四個(gè)步驟。環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，學(xué)生在這樣的步驟中實(shí)現(xiàn)自我超越、自我建構(gòu)?！叭h(huán)四自”的教學(xué)模式見圖2-3。
三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，以這“四自”為教學(xué)途徑，每一個(gè)途徑都有相對(duì)應(yīng)的學(xué)生活動(dòng)目標(biāo)：激活經(jīng)驗(yàn)——暴露數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)；滿足需要——舒展數(shù)學(xué)思維；深入本質(zhì)——理解數(shù)學(xué)原理；建立邏輯——完善數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，也總結(jié)了每個(gè)步驟要實(shí)現(xiàn)各自目標(biāo)的操作策略。為了能更好地說清楚這個(gè)過程和關(guān)系，請(qǐng)見圖2-4。
“三環(huán)四自”生長教學(xué)模式，處處以學(xué)生為中心，體現(xiàn)學(xué)習(xí)個(gè)體的主體性、學(xué)習(xí)過程的探究性、知識(shí)生成的建構(gòu)性、學(xué)習(xí)組織的合作性，幫助或形成學(xué)生智慧和認(rèn)知的生長，不僅可以幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，而且有助于思考力的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)力的增強(qiáng)，這也就是生長教學(xué)的主要追求。下面，筆者結(jié)合“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”一課的教學(xué)，具體介紹“三環(huán)四自”的主要內(nèi)容和操作要領(lǐng)，具體的教學(xué)范式和課例將在第四章進(jìn)行舉例詳解。
（一）自主嘗試，引發(fā)問題
（二）自由互動(dòng)，萌發(fā)生成
（三）自覺領(lǐng)悟，解決問題
怎么來幫助學(xué)生自覺領(lǐng)悟呢？至少有以下策略。
策略一：加強(qiáng)比較
指的是人腦把一些事物和現(xiàn)象放在一起進(jìn)行對(duì)比的思維過程。著名教育家烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的?！睌?shù)學(xué)中有許多內(nèi)容既有聯(lián)系又有區(qū)別，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)充分運(yùn)用比較的方法，可以揭示事物的共性、不同點(diǎn)以及相互聯(lián)系。這十分有助于學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)舊知識(shí)，更容易接受新知識(shí)，完成數(shù)學(xué)內(nèi)化，發(fā)展邏輯思維。
策略二：抽象概括
這是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)所決定的。思維最顯著的特征是概括，善于概括是思維深刻性的重要特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn)。所謂概括，就是把注意力集中在對(duì)研究問題起關(guān)鍵作用的特征上，并善于用恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎具@種特征，從而方便思考和交流。這是其他學(xué)科所無法替代的。在數(shù)學(xué)課堂上的概括，主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)量和空間關(guān)系、數(shù)學(xué)對(duì)象和運(yùn)算等方面的概括。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生用語言、符號(hào)、圖形、模型等來概括。
策略三：鼓勵(lì)質(zhì)疑
古人云，學(xué)起于思，思源于疑。讓學(xué)生自己提出問題的好處是消除了學(xué)生學(xué)習(xí)的依賴心理，促進(jìn)學(xué)生完成對(duì)疑惑知識(shí)的排除和準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。心理學(xué)家馬斯洛認(rèn)為，每個(gè)人與生俱來就有自我實(shí)現(xiàn)的創(chuàng)造力。小學(xué)生這種特點(diǎn)主要表現(xiàn)在自我探索的愿望和表達(dá)觀念的沖動(dòng)。這種好問和沖動(dòng)往往被教師過度的“組織調(diào)控”所阻隔。因此，在教學(xué)中應(yīng)采用不同的措施去激活他們的質(zhì)疑問難狀態(tài)，使他們產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。
教師還設(shè)計(jì)了表2-3，來幫助學(xué)生掌握自覺領(lǐng)悟的技巧。
表2-3 自覺領(lǐng)悟的技巧
（四）自發(fā)議論，形成關(guān)聯(lián)
如何進(jìn)行教學(xué)延伸
前面講到過，教學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，因此延伸是這個(gè)系統(tǒng)中必不可少的環(huán)節(jié)。但需要指出的是，教學(xué)延伸絕不等同于課后作業(yè)。在生長數(shù)學(xué)教學(xué)中提出的教學(xué)延伸到底是什么意思呢？又是如何來做到的呢？
一、生長數(shù)學(xué)教學(xué)延伸的基本理念
生長課堂的教學(xué)延伸，目的在于通過一些拓展活動(dòng)，給學(xué)生提供一些應(yīng)用創(chuàng)新的空間，為學(xué)生可持續(xù)的生長力提供充足的“生長素”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的長足發(fā)展。因此，在這一環(huán)節(jié)中，教師要想辦法拓展實(shí)踐，增強(qiáng)生長力，提供應(yīng)用完善的空間。
大多數(shù)教師容易把作業(yè)、糾錯(cuò)作為教學(xué)的延伸，比較“著眼當(dāng)前的習(xí)得”。事實(shí)上，這樣理解是比較片面、不夠科學(xué)的。這里提出的教學(xué)延伸，是對(duì)學(xué)生知識(shí)鞏固、能力提升、思維發(fā)展、品質(zhì)形成等多方面的關(guān)注，相比較而言，更“著眼長遠(yuǎn)的發(fā)展”。
葉圣陶先生曾說，教材無非是一個(gè)例子，我們的教學(xué)要讓學(xué)生課內(nèi)得法，課外獲益。生長數(shù)學(xué)教學(xué)特別注重學(xué)生的嘗試、運(yùn)用和創(chuàng)造，因此教學(xué)延伸就是一個(gè)很好的滿足個(gè)別生長需求的環(huán)節(jié)。但需要指出的是，教學(xué)延伸不是統(tǒng)一要求，更不是集體操練，而是在培養(yǎng)興趣和品質(zhì)的前提下實(shí)現(xiàn)目標(biāo)整合、前延后伸、多元發(fā)展。也就是說，這里指的延伸是需要一定的彈性的，并不是“一刀切”；是具有一定的挑戰(zhàn)性的，并不是機(jī)械操練；是具有一定的目標(biāo)性的，并不是放任自流。
生長數(shù)學(xué)教學(xué)延伸的基本方法
（一）分層練習(xí)，各有所長
（二）綜合實(shí)踐，活學(xué)活用
（三）思維拓展，提升素養(yǎng)
以解決問題為載體，師生共建“互動(dòng)型”數(shù)學(xué)課堂文化
數(shù)學(xué)課堂文化是一種共同體的文化，不是個(gè)人文化。通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決，促使學(xué)生自主參與課堂文化的構(gòu)建、發(fā)展的全過程，從中體驗(yàn)課堂文化形成的一般規(guī)律，并自覺運(yùn)用課堂文化形成的“游戲規(guī)則”來參與數(shù)學(xué)課堂文化的選擇、生成和發(fā)展?？梢姡?dòng)型的數(shù)學(xué)課堂文化應(yīng)該是師生同構(gòu)的、共享的規(guī)范文化。
教師以“解決問題”為載體，通過培養(yǎng)學(xué)生的提問能力和批判意識(shí)、對(duì)話能力、傾聽習(xí)慣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力、獨(dú)立思考、相互合作評(píng)價(jià)的能力，來促使學(xué)生參與共同構(gòu)建“互動(dòng)型”的課堂文化。
1．培養(yǎng)學(xué)生的提問能力，提高數(shù)學(xué)思考的質(zhì)量
培養(yǎng)學(xué)生的提問能力是構(gòu)建互動(dòng)型數(shù)學(xué)課堂文化的重要環(huán)節(jié)。學(xué)生的提問能力需要科學(xué)訓(xùn)練，需要有意識(shí)地培養(yǎng)。一次完整的提問訓(xùn)練可以分三步走。
（1）讓學(xué)生從不同的角度思考問題。“你看到了（做了）什么？你想到了什么？你能提出什么數(shù)學(xué)問題？”如果學(xué)生的思路太窄，教師要幫助學(xué)生分析已有問題提問的角度（因?yàn)橐粋€(gè)角度意味著一片問題），做必要的提示，如“這些問題是從什么角度提出來的？還有另外的角度嗎？”
（2）讓學(xué)生提有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題。教師可以問“你認(rèn)為我們提出的哪些數(shù)學(xué)問題比較有價(jià)值？為什么？”讓學(xué)生根據(jù)自己的價(jià)值觀進(jìn)行判斷和交流，逐步對(duì)有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題形成共識(shí)。
（3）讓學(xué)生提出未解決的有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題。可以引導(dǎo)分類“這些有價(jià)值的問題中哪些我們已經(jīng)能解決了？哪些還有困難？現(xiàn)在你還想到哪些問題？”這就把要研究的數(shù)學(xué)問題找出來了。
提問能力的培養(yǎng)要講究系列化訓(xùn)練，首先要使學(xué)生逐步熟悉提問的三個(gè)流程，會(huì)用這三步進(jìn)行自問自答：我能提出數(shù)學(xué)問題嗎？我能提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題嗎？我能提出未解決的有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題嗎？等學(xué)生熟練后，教師可以逐步削減訓(xùn)練步驟，直接提出較高的要求，學(xué)生也有可能比較快地提出較有質(zhì)量的數(shù)學(xué)問題，使得后續(xù)的教學(xué)能得以較快地展開，提高教學(xué)效率。
2．培養(yǎng)學(xué)生概括整合的習(xí)慣，提高傾聽能力
學(xué)會(huì)傾聽是一個(gè)老大難問題，從某種意義上來說，傾聽習(xí)慣的養(yǎng)成能有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象思維和數(shù)學(xué)表達(dá)能力的提高，反之，則不一定。在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生的傾聽?wèi)?yīng)該表現(xiàn)為“外靜內(nèi)動(dòng)”，“內(nèi)動(dòng)”主要表現(xiàn)為抽象概括。教師通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括習(xí)慣，可以提高他們的傾聽能力。
因此，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)概括，是培養(yǎng)他們傾聽習(xí)慣的關(guān)鍵。如一位學(xué)生發(fā)言后，教師可以問其他學(xué)生，“你們聽明白他說什么了嗎？”如果沒有聽明白，可以讓其他學(xué)生說說“哪里沒聽明白？”，問問自己“我集中注意力聽了嗎？”如果有學(xué)生聽明白了，可以讓他們說說發(fā)言者的意思，并詢問發(fā)言者“是不是這個(gè)意思？”為了訓(xùn)練學(xué)生的傾聽能力，我們也摸索了“三步法”。
（1）懂了嗎？（什么意思？）學(xué)生先問自己這個(gè)問題，能不能理解發(fā)言者的觀點(diǎn)，理出其中的核心要素。或者說能不能用自己的話來解釋出別人的意思。
（2）對(duì)了嗎？（認(rèn)同嗎？）當(dāng)理解了發(fā)言者的意思后，再問自己第二個(gè)問題，他的觀點(diǎn)對(duì)不對(duì)？這就需要傾聽者更深入地分析、判斷，以此來提高傾聽的質(zhì)量。
（3）還有嗎？（補(bǔ)充什么？）第三個(gè)問題是在回答前兩個(gè)問題后進(jìn)行的，如果認(rèn)同別人的發(fā)言，可以問自己還有沒有不同的方法或情況。如果不認(rèn)同別人的發(fā)言，那應(yīng)該作怎么樣的補(bǔ)充。
用以上的“三步法”來訓(xùn)練學(xué)生的傾聽能力，在實(shí)踐中效果還是比較好的，如果能長此以往地堅(jiān)持，相信學(xué)生的傾聽能力會(huì)有很大的提高。
3．培養(yǎng)學(xué)生的批判意識(shí)和求異思維，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)課本進(jìn)行質(zhì)疑和超越教師。
4．培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)表達(dá)富有個(gè)性化的思考，倡導(dǎo)文化的多元性
如何尋找生長空間
這里說的生長空間是對(duì)于學(xué)生而言的，是指學(xué)生在探究學(xué)習(xí)的過程中能自主建構(gòu)和長進(jìn)的空間。因此，生長空間與學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)能力有關(guān)。同時(shí)，它又與教材中的隱性知識(shí)有著密切的關(guān)聯(lián)。教師開展生長數(shù)學(xué)教學(xué)，非常有必要注重尋找生長空間。
（一）著眼學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)
教師著眼于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生利用經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)和新知的有效對(duì)接。學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)不外乎兩條途徑：生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。
1．喚醒生活經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)探究問題
2．激活學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成思考活力
（1）溝通已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)
（2）激活已有方法和策略經(jīng)驗(yàn)
（3）利用已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)
（二）著眼數(shù)學(xué)的基本概念
所謂“對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的理解”，是指了解為什么要學(xué)習(xí)這一概念，這一概念的現(xiàn)實(shí)原型是什么，這一概念特有的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、數(shù)學(xué)符號(hào)是什么，以這一概念為核心是否能構(gòu)建一個(gè)“概念網(wǎng)絡(luò)圖”。生長數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該把基本概念的形成的過程、其內(nèi)在的實(shí)質(zhì)以及相關(guān)聯(lián)的邏輯序列等作為我們生長的主要內(nèi)容，因此著眼于數(shù)學(xué)的基本概念是尋找生長空間的有效抓手。
（三）著眼數(shù)學(xué)的思想方法
在小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法也有著十分豐富的內(nèi)容。波里亞曾說過：“重復(fù)過兩次以上的技巧就是一種方法?！笨梢妼?duì)于數(shù)學(xué)方法沒有嚴(yán)格的定義。但是從小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)來看，所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法大致可以有以下幾類。
1．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法
2．集合的思想方法
3．對(duì)應(yīng)的思想方法
4．函數(shù)的思想方法
5．極限的思想方法
6．化歸的思想方法
7．歸納的思想方法
8．符號(hào)化的思想方法
9．統(tǒng)計(jì)的思想方法
（四）著眼數(shù)學(xué)的探究策略
學(xué)習(xí)的要義應(yīng)該是讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)它，而不是被動(dòng)地等待和記憶。那么，教學(xué)中如果能著眼于數(shù)學(xué)的探究策略，那么對(duì)于學(xué)生來說，其生長的空間又會(huì)變大。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題都是需要一定的策略來支撐的。小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中一般有以下一些探究策略。
1．嘗試發(fā)現(xiàn)策略
由于數(shù)學(xué)知識(shí)一般都具有連續(xù)性，所以在面對(duì)新的問題時(shí)我們可以讓學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上先嘗試練習(xí)，在嘗試的過程中使學(xué)生感知新、舊知識(shí)之間的矛盾沖突，從而構(gòu)成學(xué)生認(rèn)知的內(nèi)部矛盾。這也是生長數(shù)學(xué)教學(xué)的重要教學(xué)策略。
2．觀察比較策略
觀察和比較是學(xué)生認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的重要手段。教學(xué)中教師應(yīng)有目的、有計(jì)劃地為學(xué)生感知問題提供相應(yīng)的材料，讓學(xué)生在觀察中辨析、思考事物間的關(guān)系（特別是相似對(duì)象間的不同點(diǎn)和不同對(duì)象間的相似點(diǎn)），并在此基礎(chǔ)上形成問題意識(shí)。
3．聯(lián)想遷移策略
數(shù)學(xué)知識(shí)和技能都是內(nèi)在聯(lián)系著，并總是相互作用、彼此影響的。所以教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)想遷移：其他的類似現(xiàn)象有沒有這樣的規(guī)律和方法？以前學(xué)的類似現(xiàn)象有什么規(guī)律和方法，現(xiàn)在的新知識(shí)能不能也用同樣的方法解決？某原因?qū)е缕浣Y(jié)果后，會(huì)不會(huì)又有其他結(jié)果？在什么條件下會(huì)有，等等。
4．化歸策略
這是小學(xué)數(shù)學(xué)自主探究教學(xué)中最常用的一種策略。使用這種策略的關(guān)鍵是在準(zhǔn)確把握新舊知識(shí)關(guān)系的基礎(chǔ)上，把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的已有知識(shí)，然后根據(jù)兩者的關(guān)系加以分析、重組，使舊知識(shí)得到改造、發(fā)展，最終“創(chuàng)造”出新知識(shí)。
5．歸納策略
這是指從學(xué)生已知的具體事實(shí)或個(gè)別性前提通過猜想驗(yàn)證推斷出一般性或普遍性結(jié)論的探究方法。?
6．比較策略
指從具有同一屬性的事物間尋找差異性，或從具有差異屬性的事物間尋找同一性的探究方法。這種策略有助于認(rèn)識(shí)兩種以上事物之間屬性的異同，從而揭示事物的內(nèi)在本質(zhì)和規(guī)律。
7．假設(shè)驗(yàn)證策略
在探究一些初始概念和抽象概念的時(shí)候經(jīng)常要用到假設(shè)驗(yàn)證策略。在使用這個(gè)策略時(shí)，需要學(xué)生在分析問題的基礎(chǔ)上結(jié)合自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)問題的結(jié)論作出假設(shè)，然后通過操作實(shí)驗(yàn)、合情推理等手段加以檢驗(yàn)。
除上述的一些探究策略以外，還有畫圖制表的策略、列舉分析的策略、逆向分析的策略、恒等變形的策略等。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生長空間，在知識(shí)與策略的形成過程中可以被發(fā)掘。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了探究策略的形成、體驗(yàn)、運(yùn)用等過程后，課堂學(xué)習(xí)就不僅僅是知識(shí)的疊加和傳遞。
如何開展課堂提問
課堂提問是一種教學(xué)手段，更是一種教學(xué)藝術(shù)。宋代教育家朱熹說過，讀書無疑須教有疑，有疑者都要無疑，到這里方是長進(jìn)。這話是很有道理的?！绊毥逃幸伞保釂柧褪峭ㄟ^巧妙的激疑設(shè)問，學(xué)生心中產(chǎn)生疑竇，引起積極的思考；而思考，是學(xué)習(xí)深入的源頭，啟迪知識(shí)的鑰匙，溝通智慧之路的橋梁。在生長數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂中，我們要不斷優(yōu)化課堂提問的方法、過程、內(nèi)容、途徑、角度，充分發(fā)揮提問的有效價(jià)值，課堂提問才能真正激起學(xué)生的思維，促進(jìn)自主生長。
（一）優(yōu)化提問的形式——“趣問”
兒童的心理特點(diǎn)是好奇、好強(qiáng)、好玩、自尊心強(qiáng)。設(shè)計(jì)提問時(shí)，要充分顧及這些特點(diǎn)，以引起他們的興趣，不要用突然發(fā)問來懲罰他們的錯(cuò)誤，不要故意用偏題、難題、怪題使他們感到難堪，以至于挫傷他們的積極性和自尊心，這對(duì)以后學(xué)習(xí)是極為不利的。
優(yōu)化課堂提問策略，首先體現(xiàn)在教師要從教材中選擇能引起學(xué)生興趣的熱點(diǎn)，構(gòu)建提問序列，力求提問過程新穎別致，富有新意，使學(xué)生喜聞樂答，使學(xué)生心理各方面生動(dòng)活潑地得到和諧發(fā)展，激起學(xué)生探究的愿望，產(chǎn)生出一種學(xué)習(xí)需要，形成學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，促進(jìn)自主建構(gòu)和自然生長。
（二）優(yōu)化提問的思維價(jià)值——“巧問”
“淺”是提問設(shè)計(jì)的大忌?！坝幸啥鴨枴北緛硎翘旖?jīng)地義的事，但淺顯的提問，往往問而無疑，課堂上學(xué)生對(duì)答如流，表面上是“互動(dòng)”得轟轟烈烈，教師不僅不以為憂，反以為喜，實(shí)在不應(yīng)該。當(dāng)然，太深的問題學(xué)生根本無從下手，望而卻步，即使是學(xué)生想與教師“互動(dòng)”，但因?yàn)樘y，也“動(dòng)”不了，當(dāng)然也就“長”不了。提問應(yīng)該做到“巧”，只有“巧”的問題才能真正拓寬學(xué)生的思路，引起豐富的聯(lián)想，學(xué)生才能在不知不覺中參與到生長數(shù)學(xué)的教學(xué)中。
（三）優(yōu)化提問的方式——“曲問”
“直”是直問，直截了當(dāng)，單刀直入。由于“直問”是按照常規(guī)思路正面直接發(fā)問，往往難以真正調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，難以真正啟動(dòng)學(xué)生思維?！扒笔侵竼栴}答案不能淺顯直露，而應(yīng)讓學(xué)生通過仔細(xì)思考后才能發(fā)現(xiàn)。著名特級(jí)教師錢夢(mèng)龍說得好：“所謂曲問，是運(yùn)用迂回戰(zhàn)術(shù)變換提問的角度，讓思路拐一個(gè)彎，從問題側(cè)翼尋找思維的切入口；所謂直問，就是一味正面硬攻，不會(huì)迂回包抄。曲問多見巧思，易于激發(fā)學(xué)生求知的欲望；直問則難免顯得笨拙，往往造成啟而不發(fā)的僵局?！?/p>
（四）優(yōu)化提問的切入點(diǎn)——“精問”
“碎”是提問設(shè)計(jì)的通病。教師設(shè)計(jì)的提問太多、太雜將導(dǎo)致課堂教學(xué)的“外緊內(nèi)松”，表面上熱熱鬧鬧，實(shí)際上松松垮垮?！皾M堂問”其實(shí)就是“滿堂灌”的另一種翻版，這是表面上的“互動(dòng)”，形式上的“生長”，會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的另一種負(fù)擔(dān)?！熬笔侵刚n堂提問要有明確的出發(fā)點(diǎn)和針對(duì)性，問題精要恰當(dāng)，避免繁雜瑣碎，做到“精益求精”。教師提出的每一個(gè)問題不僅本身應(yīng)該是經(jīng)得起推敲，同時(shí)還得強(qiáng)調(diào)組合的最優(yōu)化——問題與問題之間有聯(lián)系，有層次，力爭(zhēng)使教師設(shè)計(jì)的各個(gè)問題組成一個(gè)有機(jī)的嚴(yán)密的整體。讓學(xué)生在解答這些問題時(shí)，既理解和掌握知識(shí)，又得到嚴(yán)格的思維訓(xùn)練。
（五）優(yōu)化課堂提問的類型——“活問”
設(shè)計(jì)課堂提問不可機(jī)械死板，類型應(yīng)靈“活”多樣。揭示課題可采用啟發(fā)性提問；初步感知信息時(shí)可采用疏導(dǎo)性提問；深入理解時(shí)可采用探究性提問；提煉本質(zhì)時(shí)可采用比較性提問；品嘗精華時(shí)可采用鑒賞性提問；復(fù)習(xí)鞏固時(shí)可采用歸類性提問等。同時(shí)，還必須注意課堂上師生雙方信息交流出現(xiàn)的異常情況，一旦發(fā)生更應(yīng)靈活處置，當(dāng)場(chǎng)設(shè)計(jì)一些調(diào)控課堂的提問來調(diào)整教學(xué)活動(dòng)。對(duì)教師的提問，學(xué)生回答出現(xiàn)錯(cuò)誤是正?，F(xiàn)象，教師應(yīng)迅速準(zhǔn)確地判斷出學(xué)生出錯(cuò)的根源，從而靈活地提出一些針對(duì)性強(qiáng)的新問題，從而化解疑難。這在前面一節(jié)中已經(jīng)有所闡述，這里不再重新細(xì)說，只是想突出活用提問的類型，有時(shí)反客為主，欲答還問，順著學(xué)生的思路，因勢(shì)利導(dǎo)，使學(xué)生在思辨中求得正確的理解，則比直接灌輸答案更有價(jià)值。
當(dāng)然，不同的課堂有不同的提問策略，不同的提問有不同的教學(xué)效果，教師必須針對(duì)每堂課的具體特點(diǎn)，根據(jù)自身的實(shí)際，采用不同的提問策略。在提問中，還要注意以下幾點(diǎn)。
1．提問要明確、清晰。教師要把問題交代清楚，必要時(shí)將一些問題口語化，讓學(xué)生聽清楚教師在問什么。
2．提問要適時(shí)。提問該作鋪墊時(shí)就鋪墊，該作歸納時(shí)就歸納，要把握最佳時(shí)機(jī)提問，使之能化解難點(diǎn)、深化認(rèn)識(shí)，要在學(xué)生“心求通而未得，口欲言而不能”的憤悱狀態(tài)時(shí)提出相應(yīng)的問題。另外，如果某些問題的提出生成了一種良好的學(xué)習(xí)情境或激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師應(yīng)把握時(shí)機(jī)，適時(shí)地提出相應(yīng)的問題。
3．提問不宜太多。一堂課如有太多的問題，學(xué)生長時(shí)間地處于思考再思考中，就會(huì)厭倦、消怠，生成信息的質(zhì)量就會(huì)明顯下降。要給學(xué)生足夠的練習(xí)、討論時(shí)間，多設(shè)計(jì)一些問中有練、練中有問的題型，提問與練習(xí)兩者互相融合。
4．提問的涉及面要廣。有些教師的課堂提問往往面向好學(xué)生、尖子學(xué)生，很少叫中等生，差生更受冷落。這樣做教師比較省力，提問也一帆風(fēng)順。殊不知，這是違背全面發(fā)展與因材施教相結(jié)合原則的。提問僅面向幾個(gè)尖子學(xué)生，表面上看起來，難題得到了解決，教學(xué)效果很好，實(shí)際上則是少數(shù)人解決了問題，他們的思維能力得到了發(fā)展，而大多數(shù)學(xué)生則處于被動(dòng)地位，提不起興趣，更談不上思維能力的發(fā)展了。課堂提問決不能冷落中差生，而要充分提供他們回答問題的機(jī)會(huì)。教師可在課堂上設(shè)計(jì)一些難易適度的問題，對(duì)尖子生可合理“提高”，對(duì)普通生可逐步“升級(jí)”，對(duì)后進(jìn)生可適當(dāng)“降級(jí)”，從而使全體學(xué)生都可獲取知識(shí)營養(yǎng)，滿足胃口的需要，使好、中、差學(xué)生都有機(jī)會(huì)參與答問。
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