19 博弈論的基本概念

村子里有兩戶富戶，他們是鄰居，墻倒了，有兩種可能：一家修，另一家就不修；一家不修，另一家就得修。

冷戰(zhàn)期間，美蘇搶占地盤(pán)：一方搶占一塊地盤(pán)，另一方就占另一塊。

夫妻吵架，一方厲害，另一方就出去躲躲。

注意，此處在混合戰(zhàn)略納什均衡條件下，也可能是兩敗俱傷。

因此，博弈論的基本概念包括：

參與人：博弈論中選擇行動(dòng)以最大化自己效用的決策主體。

行動(dòng)：參與人的決策變量。

戰(zhàn)略：參與人的選擇行動(dòng)的規(guī)則。

信息：參與人的博弈中的知識(shí)，特別是有關(guān)其他參與人的特征和行動(dòng)的知識(shí)。

支付函數(shù)：參與人從博弈中要獲得的效用水平。

結(jié)果：博弈分析真正感興趣的要素的集合。

均衡：所有參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略的組合。

20占優(yōu)戰(zhàn)略均衡

歷史故事，黔之驢——驢虎博弈

作者，唐柳宗元。

黔無(wú)驢，有好事者船載以入。至則無(wú)可用，放之山下。虎見(jiàn)之，龐然大物也，以為神，蔽林間窺之。稍出近之，慭慭然，莫相知。

他日，驢一鳴，虎大駭，遠(yuǎn)遁；以為且噬己也，甚恐。然往來(lái)視之，覺(jué)無(wú)異能者；益習(xí)其聲，又近出前后，終不敢搏。稍近，益狎，蕩倚沖冒。驢不勝怒，蹄之?；⒁蛳?，計(jì)之曰：“技止此耳！”因跳踉大?，斷其喉，盡其肉，乃去。

噫！形之龐也類有德，聲之宏也類有能。向不出其技，虎雖猛，疑畏，卒不敢取。今若是焉，悲夫！

占優(yōu)戰(zhàn)略均衡：不論其他人選擇什么戰(zhàn)略，參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略是唯一的，這樣的最優(yōu)戰(zhàn)略稱為“占優(yōu)戰(zhàn)略“（dominant strategy）。

注意：如果所有人都有（嚴(yán)格）占優(yōu)戰(zhàn)略的存在，那么，占優(yōu)戰(zhàn)略均衡就是可以預(yù)測(cè)的唯一均衡。

占優(yōu)戰(zhàn)略只要求每個(gè)參與人是理性的，而不要求每個(gè)人參與人知道其他參與人是理性的（也就是說(shuō)，不要求理性是共同知識(shí)），為什么？

21重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡

思路是，首先找到某個(gè)參與人的劣戰(zhàn)略（假定存在），把這個(gè)劣戰(zhàn)略剔除掉，重新構(gòu)造一個(gè)不包含剔除戰(zhàn)略的新的博弈，然后再剔除這個(gè)新的博弈中的某個(gè)參與人的劣戰(zhàn)略，一直重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到只剩下唯一的戰(zhàn)略組合為止。

這個(gè)唯一剩下的戰(zhàn)備組合就是這個(gè)博弈的均衡解，稱為“重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡”。

如果這種唯一戰(zhàn)略組合是存在的，我們就說(shuō)該博弈是重復(fù)剔除占優(yōu)可解。注意，如果重復(fù)剔除后的戰(zhàn)略組合不唯一，該博弈就不是重復(fù)剔除占優(yōu)可解的。

例如，卑斯麥之戰(zhàn)。

卑斯麥之戰(zhàn)發(fā)生在1943年的南太平洋上，日本海軍上將木村受命將日本陸軍運(yùn)抵新幾內(nèi)亞，其間要穿越卑斯麥海。

而美國(guó)上將肯尼欲對(duì)日軍運(yùn)輸船進(jìn)行轟炸，穿越卑斯麥之戰(zhàn)海通往新幾內(nèi)亞的有兩條航線，木村必須從中選擇一條，而肯尼則必須決定將其飛機(jī)派往何處去搜索日軍，如果肯尼將他的飛機(jī)派到了錯(cuò)誤的航線上，他雖可以召回它們，但可供轟炸的天數(shù)將減少。

結(jié)果是，俾斯麥海之戰(zhàn)預(yù)示的情形已經(jīng)顯露無(wú)疑：盟國(guó)陸基航空兵完全封鎖了新幾內(nèi)亞的日軍和外界的一切聯(lián)系和交通。美國(guó)陸航和澳大利亞皇家空軍在新幾內(nèi)亞作戰(zhàn)的勝利，成為往后各國(guó)陸基航空兵實(shí)施對(duì)海作戰(zhàn)所借鑒的經(jīng)典戰(zhàn)例。

這是一個(gè)重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡，這是有兩點(diǎn)決定的。

一個(gè)是，重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡結(jié)果與劣戰(zhàn)略的剔除順序是否有關(guān)，這取決于剔除的是否是嚴(yán)格劣戰(zhàn)略。

另一個(gè)是，重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡，要求每個(gè)人參與人是理性的，而且要求“理性”是參與人的共同知識(shí)。也即是說(shuō)，所有參與人知道所有參與是理性的，所有參與人知道所有參與人知道所有參與是理性。

22什么是納什均衡

納什均衡的定義：在博弈G=﹛S1，…，Sn：u1，…，un﹜中，如果由各個(gè)博弈方的各一個(gè)策略組成的某個(gè)策略組合（s1*，…，sn*）中，任一博弈方i的策略si*，都是對(duì)其余博弈方策略的組合（s1*，…s*i-1，s*i+1，…，sn*）的最佳對(duì)策，也即ui（s1*，…s*i-1，si*，s*i+1，…，sn*）≥ui（s1*，…s*i-1，sij*，s*i+1，…，sn*）對(duì)任意sij∈Si都成立，則稱（s1*，…，sn*）為G的一個(gè)納什均衡。

假設(shè)N個(gè)參與人在博弈之前達(dá)成一個(gè)協(xié)議，規(guī)定每一個(gè)參與人選擇一個(gè)特定的戰(zhàn)略，令s*=( s1*，…，sn*)，代表這個(gè)協(xié)議，在沒(méi)有外在強(qiáng)制力的情況下，如果沒(méi)有任何人有積極性破壞這個(gè)協(xié)議，則這個(gè)協(xié)議是自動(dòng)實(shí)施的，這個(gè)協(xié)議就構(gòu)成了納什均衡。

一群賭徒圍成一圈賭博，每個(gè)人將自己的錢(qián)放在身邊的地上（每個(gè)人都知道自己有多少錢(qián)），來(lái)了一陣風(fēng)吹，把所有的錢(qián)混在一起，使他們無(wú)法分辨哪些錢(qián)是自己的，他們?yōu)榇硕l(fā)生爭(zhēng)執(zhí)，后來(lái)請(qǐng)了律師。

納什均衡為什么能解決這個(gè)問(wèn)題呢？

律師說(shuō)：每個(gè)人把自己的錢(qián)寫(xiě)在紙條上，然后交給律師；如果所有人要求的加總不大于錢(qián)的總數(shù)，每個(gè)人得到自己要求的部分（如果有剩余的話，剩余部分歸律師）；如果所有人要求的加總大于錢(qián)的總數(shù)，所有的錢(qián)都?xì)w律師所有。

這是一個(gè)很經(jīng)典的窮途困境模型，律師把所有賭徒全部置于了窮途，設(shè)想一下，如果每個(gè)賭徒都是理智的話，肯定都想要占便宜，但如果要求總數(shù)超過(guò)了總數(shù)，錢(qián)將都屬于律師，那么這明顯是最不智慧的選擇，所以這里所有賭徒都只有唯一一個(gè)選擇就是寫(xiě)出自己真實(shí)的數(shù)字，然后拿回自己的那份錢(qián)，這就是最后的納什均衡。

這也說(shuō)明，納什均衡與占優(yōu)戰(zhàn)略均衡及重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡。

第一種情況是，每一個(gè)占優(yōu)戰(zhàn)略均衡及重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡一定是納什均衡，但并非每一個(gè)納什均衡都是占優(yōu)戰(zhàn)略均衡或重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡。

第二個(gè)是，納什均衡一定是在重復(fù)剔除嚴(yán)格劣勢(shì)戰(zhàn)略過(guò)程中沒(méi)有被剔除掉的戰(zhàn)略組合，但沒(méi)有被剔除掉的組合不一定是納什均衡，除非它是唯一的（不適用于嚴(yán)格弱劣戰(zhàn)略的情況）。