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1. 簡(jiǎn)介

切比雪夫多項(xiàng)式是與棣莫弗定理有關(guān)，以遞歸方式定義的一系列正交多項(xiàng)式序列。通常，第一類切比雪夫多項(xiàng)式以符號(hào) $T_n$ 表示，第二類切比雪夫多項(xiàng)式用 $U_n$ 表示。切比雪夫多項(xiàng)式 $T_n$ 或 $U_n$ 代表 $n$ 階多項(xiàng)式。

棣莫弗定理

棣莫弗定理是一個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)和三角函數(shù)的公式，其內(nèi)容為：對(duì)任意復(fù)數(shù) $x$ 和整數(shù) $n$ ，下列性質(zhì)成立： $(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$

切比雪夫多項(xiàng)式分別是第一、第二類切比雪夫微分方程的解： $(1-x^2)y^{''} - xy^{'} + n^2y = 0 \\ (1-x^2)y^{''} - 3xy^{'} + n(n+2)y = 0$

2. 定義

2.1 第一類切比雪夫多項(xiàng)式

$T_0(x) = 1 \\ T_1(x) = x \\ T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x)$ 此時(shí)母函數(shù)表示為： $\sum_{n=0}^\infty T_n(x)t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}$

$T_0(x) = 1$
$T_1(x) = x$
$T_2(x) = 2x^2 - 1$
$T_3(x) = 4x^3 - 3x$
$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1$
$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x$
$\cdots$

2.2 第二類切比雪夫多項(xiàng)式

$U_0(x) = 1 \\ U_1(x) = 2x \\ U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)$ 此時(shí)母函數(shù)表示為： $\sum_{n=0}^\infty U_n(x)t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2}$

$U_0(x) = 1$
$U_1(x) = 2x$
$U_2(x) = 4x^2 - 1$
$U_3(x) = 8x^3 - 4x$
$U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1$
$U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x$
$\cdots$

3. 性質(zhì)

$T_n$ 和 $U_n$ 都是區(qū)間 $[-1,1]$ 上的正交多項(xiàng)式系。

第一類切比雪夫多項(xiàng)式

帶權(quán) $\frac{1}{\sqrt{1-x^2} }$ ，滿足 $\int_{-1}^1 T_n(x) T_m(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2} } = \begin{cases} 0 & n \neq m \\ \pi & n = m = 0 \\ \frac{\pi}{2} & n = m \neq 0 \end{cases}$

第二類切比雪夫多項(xiàng)式

帶權(quán) $\sqrt{1-x^2}$ ，滿足 $\int_{-1}^1 U_n(x) U_m(x) \sqrt{1-x^2} dx = \begin{cases} 0 & n = m \\ \frac{\pi}{2} & n \neq m \end{cases}$

對(duì)每個(gè)非負(fù)整數(shù) $n$ ， $T_{n}(x)$ 和 $U_{n}(x)$ 都為 $n$ 次多項(xiàng)式。并且當(dāng) $n$ 為偶（奇）數(shù)時(shí)，它們是關(guān)于 $x$ 的偶（奇）函數(shù)，在寫成關(guān)于 $x$ 的多項(xiàng)式時(shí)只有偶（奇）次項(xiàng)。
$n \geq 1$ 時(shí)， $T_{n}$ 的最高次項(xiàng)系數(shù)為 $2^{n-1}$ ， $n = 0$ 時(shí)系數(shù)為 1 。
兩類切比雪夫多項(xiàng)式有如下關(guān)系： $\fracu0z1t8os{dx} T_n(x) = nU_{n-1}(x), n = 1,\cdots \\ T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - U_{n-2}(x)) \\ T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1-x^2)U_{n-1}(x) \\ T_n(x) = U_n(x) - xU_{n-1}(x)$