一.優(yōu)化器算法簡(jiǎn)述
首先來看一下梯度下降最常見的三種變形 BGD，SGD，MBGD，這三種形式的區(qū)別就是取決于我們用多少數(shù)據(jù)來計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度，這樣的話自然就涉及到一個(gè) trade－off，即參數(shù)更新的準(zhǔn)確率和運(yùn)行時(shí)間。
?1.Batch Gradient Descent （BGD）
梯度更新規(guī)則:
BGD 采用整個(gè)訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)來計(jì)算 cost function 對(duì)參數(shù)的梯度：
缺點(diǎn)：
由于這種方法是在一次更新中，就對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)集計(jì)算梯度，所以計(jì)算起來非常慢，遇到很大量的數(shù)據(jù)集也會(huì)非常棘手，而且不能投入新數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)更新模型。
for i in range(nb_epochs):
? ????params_grad = evaluate_gradient(loss_function, data, params)
? ????params = params - learning_rate * params_grad
我們會(huì)事先定義一個(gè)迭代次數(shù) epoch，首先計(jì)算梯度向量 params_grad，然后沿著梯度的方向更新參數(shù) params，learning rate 決定了我們每一步邁多大。
Batch gradient descent 對(duì)于凸函數(shù)可以收斂到全局極小值，對(duì)于非凸函數(shù)可以收斂到局部極小值。
2.Stochastic Gradient Descent (SGD)
梯度更新規(guī)則:
和 BGD 的一次用所有數(shù)據(jù)計(jì)算梯度相比，SGD 每次更新時(shí)對(duì)每個(gè)樣本進(jìn)行梯度更新，對(duì)于很大的數(shù)據(jù)集來說，可能會(huì)有相似的樣本，這樣 BGD 在計(jì)算梯度時(shí)會(huì)出現(xiàn)冗余，而?SGD 一次只進(jìn)行一次更新，就沒有冗余，而且比較快，并且可以新增樣本。
for i in range(nb_epochs):
? ? ?np.random.shuffle(data)
? ? ?forexamplein data:
? ? ?params_grad = evaluate_gradient(loss_function, example, params)
? ? ?params = params - learning_rate * params_grad
?看代碼，可以看到區(qū)別，就是整體數(shù)據(jù)集是個(gè)循環(huán)，其中對(duì)每個(gè)樣本進(jìn)行一次參數(shù)更新。
隨機(jī)梯度下降是通過每個(gè)樣本來迭代更新一次，如果樣本量很大的情況，那么可能只用其中部分的樣本，就已經(jīng)將theta迭代到最優(yōu)解了，對(duì)比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十幾萬訓(xùn)練樣本，一次迭代不可能最優(yōu)，如果迭代10次的話就需要遍歷訓(xùn)練樣本10次。缺點(diǎn)是SGD的噪音較BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向著整體最優(yōu)化方向。所以雖然訓(xùn)練速度快，但是準(zhǔn)確度下降，并不是全局最優(yōu)。雖然包含一定的隨機(jī)性，但是從期望上來看，它是等于正確的導(dǎo)數(shù)的。
缺點(diǎn)：
SGD 因?yàn)楦卤容^頻繁，會(huì)造成 cost function 有嚴(yán)重的震蕩。
BGD 可以收斂到局部極小值，當(dāng)然 SGD 的震蕩可能會(huì)跳到更好的局部極小值處。
當(dāng)我們稍微減小 learning rate，SGD 和 BGD 的收斂性是一樣的。
3.Mini-Batch Gradient Descent （MBGD）
梯度更新規(guī)則：
MBGD 每一次利用一小批樣本，即 n 個(gè)樣本進(jìn)行計(jì)算，這樣它可以降低參數(shù)更新時(shí)的方差，收斂更穩(wěn)定，另一方面可以充分地利用深度學(xué)習(xí)庫中高度優(yōu)化的矩陣操作來進(jìn)行更有效的梯度計(jì)算。
和 SGD 的區(qū)別是每一次循環(huán)不是作用于每個(gè)樣本，而是具有 n 個(gè)樣本的批次。
for i in range(nb_epochs):
? ? ?np.random.shuffle(data)
? ? ?forbatchinget_batches(data, batch_size=50):
? ? ?params_grad = evaluate_gradient(loss_function, batch, params)
? ? ?params = params - learning_rate * params_grad
超參數(shù)設(shè)定值:n 一般取值在 50～256
缺點(diǎn)：（兩大缺點(diǎn)）
不過 Mini-batch gradient descent 不能保證很好的收斂性，learning rate 如果選擇的太小，收斂速度會(huì)很慢，如果太大，loss function 就會(huì)在極小值處不停地震蕩甚至偏離。（有一種措施是先設(shè)定大一點(diǎn)的學(xué)習(xí)率，當(dāng)兩次迭代之間的變化低于某個(gè)閾值后，就減小 learning rate，不過這個(gè)閾值的設(shè)定需要提前寫好，這樣的話就不能夠適應(yīng)數(shù)據(jù)集的特點(diǎn)。）對(duì)于非凸函數(shù)，還要避免陷于局部極小值處，或者鞍點(diǎn)處，因?yàn)榘包c(diǎn)周圍的error是一樣的，所有維度的梯度都接近于0，SGD 很容易被困在這里。（會(huì)在鞍點(diǎn)或者局部最小點(diǎn)震蕩跳動(dòng)，因?yàn)樵诖它c(diǎn)處，如果是訓(xùn)練集全集帶入即BGD，則優(yōu)化會(huì)停止不動(dòng)，如果是mini-batch或者SGD，每次找到的梯度都是不同的，就會(huì)發(fā)生震蕩，來回跳動(dòng)。）
SGD對(duì)所有參數(shù)更新時(shí)應(yīng)用同樣的 learning rate，如果我們的數(shù)據(jù)是稀疏的，我們更希望對(duì)出現(xiàn)頻率低的特征進(jìn)行大一點(diǎn)的更新。LR會(huì)隨著更新的次數(shù)逐漸變小。
鞍點(diǎn)就是：一個(gè)光滑函數(shù)的鞍點(diǎn)鄰域的曲線，曲面，或超曲面，都位于這點(diǎn)的切線的不同邊。例如這個(gè)二維圖形，像個(gè)馬鞍：在x-軸方向往上曲，在y-軸方向往下曲，鞍點(diǎn)就是（0，0）。
為了應(yīng)對(duì)上面的兩點(diǎn)挑戰(zhàn)就有了下面這些算法。
?指數(shù)加權(quán)平均
在深度學(xué)習(xí)優(yōu)化算法中，例如Momentum、RMSprop、Adam，都提到了一個(gè)概念，指數(shù)加權(quán)平均，看了Andrew Ng的深度學(xué)習(xí)課程后，總結(jié)一下什么是指數(shù)加權(quán)平均。
?式中v_t可近似代表1/(1-β)個(gè)θ的平均值。
偏差修正
由以上證明可以看出，每個(gè)最新數(shù)據(jù)值，依賴于以前的數(shù)據(jù)結(jié)果。
一般令第一個(gè)數(shù)值為0，即v0=0；但此時(shí)初期的幾個(gè)計(jì)算結(jié)果就會(huì)與真實(shí)的平均值有較大偏差，具體如下：
有了指數(shù)加權(quán)平均、偏差修正的基礎(chǔ)，就可以研究一下深度學(xué)習(xí)中優(yōu)化算法的實(shí)現(xiàn)原理了。
點(diǎn)擊進(jìn)入文章
4.Momentum
SGD 在 ravines 的情況下容易被困住， ravines 就是曲面的一個(gè)方向比另一個(gè)方向更陡，這時(shí) SGD 會(huì)發(fā)生震蕩而遲遲不能接近極小值：
梯度更新規(guī)則:
?Momentum 通過加入 γv_t?1 ，可以加速 SGD， 并且抑制震蕩
當(dāng)我們將一個(gè)小球從山上滾下來時(shí)，沒有阻力的話，它的動(dòng)量會(huì)越來越大，但是如果遇到了阻力，速度就會(huì)變小。
加入的這一項(xiàng)，可以使得梯度方向不變的維度上速度變快，梯度方向有所改變的維度上的更新速度變慢，這樣就可以加快收斂并減小震蕩。
超參數(shù)設(shè)定值: ?一般 γ 取值 0.9 左右。
缺點(diǎn)：
這種情況相當(dāng)于小球從山上滾下來時(shí)是在盲目地沿著坡滾，如果它能具備一些先知，例如快要上坡時(shí)，就知道需要減速了的話，適應(yīng)性會(huì)更好。
5.Nesterov Accelerated Gradient
梯度更新規(guī)則:
用 θ?γv_t?1 來近似當(dāng)做參數(shù)下一步會(huì)變成的值，則在計(jì)算梯度時(shí)，不是在當(dāng)前位置，而是未來的位置上
超參數(shù)設(shè)定值: ?一般 γ 仍取值 0.9 左右。
效果比較：
藍(lán)色是 Momentum 的過程，會(huì)先計(jì)算當(dāng)前的梯度，然后在更新后的累積梯度后會(huì)有一個(gè)大的跳躍。
而 NAG 會(huì)先在前一步的累積梯度上(brown vector)有一個(gè)大的跳躍，然后衡量一下梯度做一下修正(red vector)，這種預(yù)期的更新可以避免我們走的太快。
NAG 可以使 RNN 在很多任務(wù)上有更好的表現(xiàn)。
目前為止，我們可以做到，在更新梯度時(shí)順應(yīng) loss function 的梯度來調(diào)整速度，并且對(duì) SGD 進(jìn)行加速。
我們還希望可以根據(jù)參數(shù)的重要性而對(duì)不同的參數(shù)進(jìn)行不同程度的更新。
［應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn) 2］
?6.Adagrad （Adaptive gradient algorithm）
這個(gè)算法就可以對(duì)低頻的參數(shù)做較大的更新，對(duì)高頻的做較小的更新，也因此，對(duì)于稀疏的數(shù)據(jù)它的表現(xiàn)很好，很好地提高了 SGD 的魯棒性，例如識(shí)別 Youtube 視頻里面的貓，訓(xùn)練 GloVe word embeddings，因?yàn)樗鼈兌际切枰诘皖l的特征上有更大的更新。
Adagrad其實(shí)是對(duì)學(xué)習(xí)率進(jìn)行了一個(gè)約束。即：
特點(diǎn)：
前期gt較小的時(shí)候， regularizer較大，能夠放大梯度
后期gt較大的時(shí)候，regularizer較小，能夠約束梯度
適合處理稀疏梯度
缺點(diǎn)：
由公式可以看出，仍依賴于人工設(shè)置一個(gè)全局學(xué)習(xí)率
學(xué)習(xí)率設(shè)置過大的話，會(huì)使regularizer過于敏感，對(duì)梯度的調(diào)節(jié)太大
中后期，分母上梯度平方的累加將會(huì)越來越大，使gradient趨近于0，使得訓(xùn)練提前結(jié)束
7.Adadelta
改進(jìn)方法一:Accumulate Over Window
在一個(gè)窗口w中對(duì)梯度進(jìn)行求和，而不是對(duì)梯度一直累加
因?yàn)榇娣?w 之前的梯度是低效的，所以可以用對(duì)先前所有梯度均值（使用RMS即均方根值實(shí)現(xiàn)）的一個(gè)指數(shù)衰減作為代替的實(shí)現(xiàn)方法。
更新公式如下：
① 將累計(jì)梯度信息從全部歷史梯度變?yōu)楫?dāng)前時(shí)間向前的一個(gè)窗口期內(nèi)的累積：
相當(dāng)于歷史梯度信息的累計(jì)乘上一個(gè)衰減系數(shù)ρ，然后用(1?ρ)作為當(dāng)前梯度的平方加權(quán)系數(shù)相加。
②然后將上述E[gt2?] 開方后，作為每次迭代更新后的學(xué)習(xí)率衰減系數(shù)：
，其中?是為了防止分母為0而加上的一個(gè)極小值。
這種更新方法解決了對(duì)歷史梯度一直累加而導(dǎo)致學(xué)習(xí)率一直下降的問題，但是還是需要自己選擇初始的學(xué)習(xí)率。
改進(jìn)方法二：Correct Units with Hessian Approximation
通過牛頓法可以知道，牛頓法迭代步長(zhǎng)是f''(x),一階牛頓迭代公式為;
可以看出牛頓算法的迭代步長(zhǎng)是二階近似的解析解，不需要我們手動(dòng)指定學(xué)習(xí)率。
??而高階的牛頓法迭代的步長(zhǎng)為Hessian矩陣。
AdaDelta算法正是采用了這種思想，采用Hessian矩陣的對(duì)角線近似Hessian矩陣。
同理對(duì)分子分母按照上一個(gè)方法進(jìn)行處理,可以得到以下公式：
7.RMSprop
RMSprop 是 Geoff Hinton 提出的一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率方法。
RMSprop 和 Adadelta 都是為了解決 Adagrad 學(xué)習(xí)率急劇下降問題的，
梯度更新規(guī)則:
RMSprop 與 Adadelta 的第一種形式相同：（使用的是指數(shù)加權(quán)平均，旨在消除梯度下降中的擺動(dòng)，與Momentum的效果一樣，某一維度的導(dǎo)數(shù)比較大，則指數(shù)加權(quán)平均就大，某一維度的導(dǎo)數(shù)比較小，則其指數(shù)加權(quán)平均就小，這樣就保證了各維度導(dǎo)數(shù)都在一個(gè)量級(jí)，進(jìn)而減少了擺動(dòng)。允許使用一個(gè)更大的學(xué)習(xí)率η）
超參數(shù)設(shè)定值:
Hinton 建議設(shè)定 γ 為 0.9, 學(xué)習(xí)率 η 為 0.001。
8.Adam：Adaptive Moment Estimation
這個(gè)算法是另一種計(jì)算每個(gè)參數(shù)的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的方法。相當(dāng)于 RMSprop + Momentum
除了像 Adadelta 和 RMSprop 一樣存儲(chǔ)了過去梯度的平方 vt 的指數(shù)衰減平均值 ，也像 momentum 一樣保持了過去梯度 mt 的指數(shù)衰減平均值：
如果 mt 和 vt 被初始化為 0 向量，那它們就會(huì)向 0 偏置，所以做了偏差校正，通過計(jì)算偏差校正后的 mt 和 vt 來抵消這些偏差：
梯度更新規(guī)則:
超參數(shù)設(shè)定值:
建議 β1 ＝ 0.9，β2 ＝ 0.999，? ＝ 10e?8
實(shí)踐表明，Adam 比其他適應(yīng)性學(xué)習(xí)方法效果要好。
?二.效果比較
下面看一下幾種算法在鞍點(diǎn)和等高線上的表現(xiàn)：
SGD optimization on saddle point
?SGD optimization on loss surface contours
上面兩種情況都可以看出，Adagrad, Adadelta, RMSprop 幾乎很快就找到了正確的方向并前進(jìn)，收斂速度也相當(dāng)快，而其它方法要么很慢，要么走了很多彎路才找到。
由圖可知自適應(yīng)學(xué)習(xí)率方法即 Adagrad, Adadelta, RMSprop, Adam 在這種情景下會(huì)更合適而且收斂性更好。
三.如何選擇優(yōu)化算法
如果數(shù)據(jù)是稀疏的，就用自適用方法，即 Adagrad, Adadelta, RMSprop, Adam。
RMSprop, Adadelta, Adam 在很多情況下的效果是相似的。
Adam 就是在 RMSprop 的基礎(chǔ)上加了 bias-correction 和 momentum，
隨著梯度變的稀疏，Adam 比 RMSprop 效果會(huì)好。
整體來講，Adam 是最好的選擇。
很多論文里都會(huì)用 SGD，沒有 momentum 等。SGD 雖然能達(dá)到極小值，但是比其它算法用的時(shí)間長(zhǎng)，而且可能會(huì)被困在鞍點(diǎn)。
如果需要更快的收斂，或者是訓(xùn)練更深更復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，需要用一種自適應(yīng)的算法。
備用知識(shí)：
駐點(diǎn)，極值點(diǎn)，拐點(diǎn) ，鞍點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)、微分、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、梯度的定義與關(guān)系
