三角函數(shù)綱目：2017年理數(shù)全國(guó)卷C題17

2017年理數(shù)全國(guó)卷C題17

\triangle A B C 的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為 a,b,c ，已知 \sin A + \sqrt{3} \cos A=0, a=2 \sqrt{7}, b=2 .

（1）求 c；

（2）若 D 為 BC 邊上一點(diǎn)，且 A D \perp A C，求 \triangle ABD 的面積.

【解答第1問(wèn)】

\sin A + \sqrt{3} \cos A=0

\cos A \cos \dfrac{\pi}{6} + \sin A \sin \dfrac{\pi}{6} =0

\cos{A-\dfrac{\pi}{6}}=0

A \in (0,\pi)

A=\dfrac{2}{3}\pi, \cos A = -\dfrac{1}{2}, \sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

根據(jù)余弦定理可得：

a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A

28=4+c^2+2c

c^2+2c-24=0

(c+6)(c-4)=0

∵ c \gt 0, ∴ c=4.

【解答第2問(wèn)】

\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}= \dfrac{2}{\sqrt{7}}

CD=\dfrac{AC}{\cos C}= \sqrt{7} = \dfrac{1}{2} BC

所以，

S_{\triangle ADC} = S_{\triangle ADB}= \dfrac{1}{2} S_{\triangle ABC}

S_{\triangle ABC}= \dfrac{1}{2} bc \cdot \sin A =2 \sqrt{3}

S_{\triangle ABD} = \sqrt{3}

.

【提煉與提高】

本題難度不高，適合在備考初期練手。

在三角函數(shù)大題中，求三角形的面積是常用的問(wèn)題，面積公式一定要牢記，并能靈活應(yīng)用。在本題中，我們注意到：點(diǎn) D 實(shí)際上是 BC 邊的中點(diǎn)，所以，AD 把 \triangle ABC 分成了面積相等的兩個(gè)小三角形。實(shí)際上，是把面積比轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)比。這在高中數(shù)學(xué)中也是常用的方法。另外一種方法，是求出中線 AD 的長(zhǎng)度，再求直角三角形 \triangle ADC 的面積。

求邊長(zhǎng)也是常用的問(wèn)題，這類問(wèn)題，首先需要作一個(gè)決定：是用余弦定理還是正弦定理？

本題第1問(wèn)中，已知條件可整理如下。從下表可以看出，用余弦定理較為方便。
A=\dfrac{2}{3}\pi
a=2\sqrt{7} b=2 c\;?

類似問(wèn)題，都可以用表格的形式，分析已知條件后作出決定。

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