導(dǎo)數(shù)運(yùn)算完全練習(xí)（練這六道題足夠了）

導(dǎo)數(shù)的三套法則練習(xí)題

求下列 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例1 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)?

解：先化簡(jiǎn)——化乘除為加減：

y=\left(x^{2}+5 x+4\right)\left(x^{2}+5 x+6\right)

=\left(x^{2}+5 x\right)^{2}+10\left(x^{2}+5 x\right)+24

=x^{4}+10 x^{3}+35 x^{2}+50 x+24

\therefore y^{\prime}=4 x^{3}+30 x^{2}+70 x+50

例 2 y=\frac{\sin 2 x}{1-\cos 2 x}

解：先化簡(jiǎn)

y=\frac{\sin 2 x}{1-\cos 2 x}=\frac{2 \sin x \cos x}{2 \sin ^{2} x}=\frac{\cos x}{\sin x}

\therefore y^{\prime}=\frac{-\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x}=-\frac{1}{\sin ^{2} x}

例 3 y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}(x>1)

解：取對(duì)數(shù)

\ln y=\frac{1}{2}(\ln (x-1)-\ln (x+1))

兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)

=\frac{1}{(x-1)(x+1)}

\therefore y^{\prime}=\frac{y}{(x-1)(x+1)}

=\frac{1}{(x+1) \sqrt{x^{2}-1}}

例4 y=\ln |x|(x \neq 0)

解： 變形：y=\ln |x|=\frac{1}{2} \ln x^{2}

\therefore y^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}=\frac{1}{x}

（也可以分段求導(dǎo)）

例5 y=\lg \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)

解：用換底法化為自然對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

y=\lg \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)=\frac{1}{\ln 10} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)

\therefore y^{\prime}=\frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\left(1+\frac{2 x}{2 \sqrt{1+x^{2}}}\right)

=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}} \cdot \ln 10}

例6 y=3^{x} e^{x}-2^{x}

解：\left(a^{x}\right)^{\prime}=\left(e^{x \ln a}\right)^{\prime}=e^{x \ln a} \cdot \ln a=a^{x} \ln a

即得：

\left(3^{x}\right)^{\prime}=3^{x} \ln 3,\left(2^{x}\right)^{\prime}=2^{x} \ln 2

\therefore y^{\prime}=\left(3^{x} \ln 3\right) e^{x}+3^{x} e^{x}-2^{x} \ln 2

=3^{x} e^{x} \ln (3 e)-2^{x} \ln 2

評(píng)注通過(guò)以上6個(gè)小題，怎樣靈活應(yīng)用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則？我們總結(jié)如下：
1.先化簡(jiǎn)：化成便于求導(dǎo)的形式；
2.化乘除為加減，導(dǎo)數(shù)怕乘除，喜歡加減；
3.巧用求導(dǎo)法則，特別注意復(fù)合法則——長(zhǎng)尾巴；
4.巧用指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算，不記公式\left(a^{x}\right)^{\prime},\left(\log _{a} x\right)^{\prime}。

建議從今天開始你能結(jié)合三套導(dǎo)數(shù)運(yùn)算則[1]天天把這六道題練習(xí)一遍。堅(jiān)持一段時(shí)間，熟悉兩套法則。這就算在做“導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則廣播操”。

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  1. 第一套：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，第二套：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，第三套：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。 ?

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