Peano 存在性定理

在本節(jié)我們?nèi)匀豢紤]初值問題：

$\dfrac{\textu0z1t8osx}{\textu0z1t8ost}=f(t,x),\,x(t_0)=x_0\quad(5.4)$

不同的是這里僅要求 $f(t,x)$ 在矩形區(qū)域

$R=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:|t-t_0|\leqslant a,|x-x_0|\leqslant b\}$

上連續(xù)而不一定滿足 Lipschitz 條件. 我們將證明這時初值問題（5.4）的解仍然存在們只是不一定唯一. 這就是 Peano 存在性定理.

定理 5.2（Peano 存在性定理）

若 $f(t,x)$ 早矩形區(qū)域 $R$ 上連續(xù)，則初值問題（5.4）在區(qū)間 $I=[t_0-h,t_0+h]$ 上至少有一個解. 其中

$h=\min\left\{a,\dfrac{M}\right\},\,M=\max\left\{|f(t,x)|:(t,x)\in\mathbb{R}\right\}.$

這個定理不僅結果重要，而且其證明的思想和方法也十分重要. 這就是我們要介紹的 Euler 折線法和 Ascoli-Arzela 引理. Euler 折線法描繪了積分曲線的幾何思想，成為近似計算的開端.

證明

第一步

構造 Euler 折線.
我們僅僅在矩形區(qū)域 $R$ 上尋找解，因此從等價積分方程（5.5）可以得到

$|x(t)-x_0|\leqslant M|t-t_0|\quad(5.10)$

因此，為了包整界函數(shù)圖像不越出矩形 $R$ ，必須 $M|t-t_0|\leqslant b$ . 故要求 $h=\min\left\{a,\dfrac{M}\right\}$ .

任取正整數(shù) $n$ 和點列 $\{t_k\}$ ，其中 $t_0$ 就是初值條件所給，

$t_k+t_0+\dfrac{kh}{n},\,k=\pm1,\,\pm2,\cdots,\pm n,$

從而將區(qū)間 $I=[t_0-h,t_0+h]$ 分成 $2n$ 等份.

如同所示，從初始點 $P_0:(t_0,x_0)$ 出發(fā)按方向

$\dfrac{\textu0z1t8osx}{\textu0z1t8ost}=f(t_0,x_0)$

演唱直線段到第一個分點 $t=t_1$ 處，這個直線段可以表述為

$x=x_0+f(t_0,x_0)(t-t_0),\,t\in[t_0,t].$

從新的端點 $P_1:(t_1,x_1)$ 開始，其中 $x_1=x_0+f(t_0,x_0)(t-t_0)$ ，再按新的方向

$\dfrac{\textu0z1t8osx}{\textu0z1t8ost}=f(t_1,x_1)$

作直線段

$x=x_1+f(t_1,x_1)(t-t_1),\,t\in[t_1,t_2]$ ,

$\cdots$ ，如此下去，我們將得到端點 $P_2:(t_2,x_2),\cdots,P_n:(t_n,x_n)$ ，其中 $t_n=t_0+h$ ，而

$x_n=x_{n-1}+f(t_{n-1},x_{n-1})(t_n-t_{n-1}).$

同理向左也可以作出類似折線. 這樣我們得到折現(xiàn)表達式

$\varphi_n(t):=\begin{cases} x_0+\displaystyle\sum_{k=0}^{s-1}f(t_k,x_k)(t_{k+1}-t_k)\\ \quad\;+f(t_s,x_s)(t-t_s),\;t\in[t_s,t_{s+1}),\\ x_0+\displaystyle\sum_{k=-s+1}^0f(t_k,x_k)(t_{k-1}-t_k)\\ \quad\;+f(t_{-s},x_{-s})(t-t_{-s}),\;t\in(t_{-s-1},t_{-s}], \end{cases}\quad(5.11)$

其中 $s=0,1,\cdots,n-1$ . 注意到當 $s=0$ 時，上面 $\varphi_n(t)$ 在區(qū)間 $[t_s,s_{s+1})$ 上的表達式中的求和為由 $k=0$ 到 $k=-1$ ，這時求和結果應該理解為 0. 當 $t\in(t_{-1},t_0]$ 時情況類似.

第二步

證明序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 的收斂性. 這里我們需要 Ascoli-Arzela 引理.

函數(shù)列 $\{f_k(t)\}$ 稱為在有界閉區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致有界的，如果存在常數(shù) $M_0>0$ ，使得對任意正整數(shù) $k$ 都有 $|f_k(t)|\leqslant M，\,\forall\,t\in[\alpha,\,\beta]$ . 函數(shù)列 $\{f_k(t)\}$ 稱為在有界閉區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上等度連續(xù)的，如果對任給的 $\varepsilon>0$ ，存在僅與 $\varepsilon$ 有關的常數(shù) $\delta(\varepsilon)>0$ ，使得對任意正整數(shù) $k$ ，只要當 $t,s\in[\alpha,\beta]$ 且 $|t-s|<\delta(\varepsilon)$ 時，就有 $|f_k(t)-f_k(s)|<\varepsilon$ . 由定義可知，一致有界的函數(shù)族中每一個函數(shù)都是有界函數(shù)；等度連續(xù)的函數(shù)族中每一個函數(shù)都是一致連續(xù)的. 但反之卻不一定對.

引理 5.1（Ascolo-Arzela引理）

定義在有界閉區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上的一致有界且等度連續(xù)的無窮函數(shù) $\mathscr{F}=\{f(t)\}$ 必存在一個在 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收斂的子序列.

引理證明見最后.

對任意 $n$ ，折線段 $\varphi_n(t)$ 顯然停留在矩形區(qū)域 $R$ 內(nèi)，因此序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 是一致有界的. 進而，折線段 $\varphi_n(t)$ 夾在過點 $(t_0,x_0)$ ，斜率分別為 $M$ 及 $-M$ 的兩直線所限定的角域內(nèi)，即

$|\varphi_n(t)-\varphi_n(s)|\leqslant M|t-s|,$

因此等度連續(xù). 由 Ascoli-Arzela 引理，序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 中有子序列 $\{\varphi_{n_k}(t)\}$ 一致連續(xù). 設

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}\varphi_{n_k}(t)=\varphi(t),\,t\in I\quad(5.12)$

第三步

證明函數(shù) $\varphi_n(t)$ 滿足

$\displaystyle\varphi_n(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi_n(\tau))\textu0z1t8os\tau+\sigma_n(t)\quad(5.13)$

其中 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sigma_n(t)=0,t\in I$ . 為了簡單起見，我們只在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上證明這一結論，在區(qū)間 $[t_0-h,t_0]$ 上的證明完全類似.

觀察（5.11）中的每一項，易見對 $k=0,1,\cdots,s-1$ 及 $t\in[t_s,t _{s+1}]$ ，有

$\begin{aligned} &f(t_k,x_k)(t_{k+1}-1t_k)\\ =&\int_{t_k}^{t_{k+1}}f(t_k,x_k)\textu0z1t8os\tau\\ =&\int_{t_k}^{t_{k+1}}f(\tau,\varphi_n(\tau))\textu0z1t8os\tau+d_n(k)\\\\ &f(t_s,x_s)(t-t_s)\\ =&\int_{t_s}^tf(t_s,x_s)\textu0z1t8os\tau\\ =&\int_{t_s}^tf(\tau,\varphi_n(\tau))\textu0z1t8os\tau+d^{*}_n(t). \end{aligned}$

其中

$\displaystyle d_n(k):=\int_{t_k}^{t_{k+1}}\left[f(t_k,x_k)-f(\tau,\varphi_n(\tau))\right]\textu0z1t8os\tau\quad(5.14)$

$\displaystyle d_n^{*}(t):=\int_{t_s}^t\left[f(t_s,x_s)-f(\tau,\varphi_n(\tau))\right]\textu0z1t8os\tau\quad(5.15)$

這樣在（5.11）中利用積分逐段可加的性質(zhì)，得到

$\displaystyle\varphi_n(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi_n(\tau))\textu0z1t8os\tau+\sigma_n(t),t\in[t_0,t_0+h]\quad(5.16)$

注意到 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} d_{n}(k)=0,\lim_{n\to\infty}d^{*}_n(t)=0.$ 事實上，對任給的 $\varepsilon>0$ ，由 $f$ 的連續(xù)性，存在 $\delta>0$ ，使得當 $|\tau-t_k|<\delta,|\varphi_n(\tau)-x_k|<\delta$ 時有

$|f(t_k,x_k)-f(\tau,\varphi_n(\tau))|<\dfrac{\varepsilon}{h}.$

當 $n$ 充分大時，顯然可使得 $|t_{k+1}-t_k|=\dfrac{h}{n}<\delta$ ，并且由（5.10）的同樣道理可以使得

$|\varphi_n(\tau)-x_k|\leqslant M|\tau-t_k|\leqslant \dfrac{Mh}{n}<\delta$ .

因此由（5.14）知， $|d_n(k)|<\dfrac{\varepsilon}{n}$ . 同理從（5.15）知，當 $n$ 充分大時， $|d^{*}_n(t)|<\dfrac{\varepsilon}{n}.$ 由（5.16），當 $n$ 充分大時，

$|\sigma_n(t)|<\dfrac{s}{n}\varepsilon+\dfrac{\varepsilon}{n}\leqslant\varepsilon.$

因此 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sigma_n(t)=0.$

第四步

由第二、三步結果，在（5.13）取子序列極限得

$\varphi(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi(\tau))\textu0z1t8os\tau,\;t\in I,$

即 $\varphi(t)$ 滿足初值問題（5.4）的等價積分方程. 從而證明了定理.

從集合的角度考慮，Euler 折線法給出了一種逼近積分曲線的方法. 定義在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上的函數(shù) $x=\varphi(t)$ 稱為初值問題（5.4）在這個區(qū)間上的 $\varepsilon$ -逼近解，如果它滿足條件

（1） $\varphi(t)$ 在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上連續(xù)，并且除了 $[\alpha,\,\beta]$ 上有限個點外， $\varphi(t)$ 處處連續(xù)可微，而在這有限個點處 $\varphi(t)$ 的左右導數(shù)都存在；
（2）當 $t\in[\alpha,\,\beta]$ 時， $(t,\varphi(t))$ 落在矩形區(qū)域 $R$ 內(nèi)；
（3）當 $t\in[\alpha,\,\beta]$ 時

$\left|\dfrac{\textu0z1t8os\varphi(t)}{\textu0z1t8ost}-f(t,\varphi(t))\right|\leqslant\varepsilon,$

這里當 $\varphi(t)$ 的微商不存在且 $t\not=\beta$ 時， $\dfrac{\textu0z1t8os\varphi(t)}{\textu0z1t8ost}$ 是指 $\varphi(t)$ 的右導數(shù)， $t=\beta$ 時， $\dfrac{\textu0z1t8os\varphi(t)}{\textu0z1t8ost}$ 是指 $\varphi(t)$ 的左導數(shù).

我們在定理證明中事實上給出了這樣的結論：若 $f(t,x)$ 在矩形區(qū)域

$R=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:|t-t_0|\leqslant a,|x-x_0|\leqslant b\}$

上連續(xù)，則對任意 $\varepsilon>0$ ，初值問題（5.4）在區(qū)間 $I=[t_0-h,t_0+h]$ 上存在 $\varepsilon$ -逼近解 $x=\varphi(t)$ ，且當 $t,s\in[t_0,t_0+h]$ 時有

$|\varphi(t)-\varphi(s)|\leqslant M|t-s|$ ,

其中 $h=\min\left\{a,\dfrac{M}\right\},\;M=\max\{|f(t,x)|:(t,x)\in\mathbb{R}\}$ .

引理 5.1 的證明

由于 $\mathscr{F}=\{f(t)\}$ 在 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致有界，故存在 $M_0>0$ ，使得 $\forall \;f(t)\in\mathscr{F}$ ，都有當 $t\in[\alpha,\,\beta]$ 時， $|f(t)|\leqslant M_0$ . 所以 $\mathscr{F}$ 中的函數(shù)的圖像都在矩形區(qū)域

$R_0=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:\alpha\leqslant t\leqslant\beta\,-M_0\leqslant x\leqslant M_0$

內(nèi).

取 $s_1=\dfrac{M_0}{2}$ ，由 $\mathscr{F}$ 在 $[\alpha,\,\beta]$ 上的等度連續(xù)性，存在 $\delta_1=\delta_1(s_1)>0$ ，使得 $\forall \;f(t)\in\mathscr{F}$ ，只要當 $t,\bar{t}\in[\alpha,\,\beta]$ 且 $|t-\bar{t}|<\delta_1$ 時，就有 $|f(t)-f(\bar{t})|\leqslant s_1$ . 用平行于坐標軸的直線將矩形區(qū)域 $R_0$ 分成有限多個高為 $s_1$ ，寬小于或等于 $\delta_1$ 的小矩形（如圖）. 設以相鄰兩垂線為邊界的豎直長條為 $A_1,A_2\cdots,A_m$ . 則 $\mathscr{F}$ 中每個函數(shù)的圖像在每個這樣的豎直長條上最多經(jīng)過兩個相鄰的小矩形. 在 $A_1,A_2\cdots,A_m$ 中各取兩個相鄰的小矩形就構成了一個“高”為 $2s_1$ 的多邊形. 顯然這樣的多邊形只有有限個，而 $\mathscr{F}$ 中每個函數(shù)的圖像都包含在某個這樣的多邊形中. 由于 $\mathscr{F}$ 是無窮函數(shù)族，故不存在多邊形 $S_1$ ，它包含 $\mathscr{F}$ 中無窮多個函數(shù)的圖像. 記 $\mathscr{F}$ 的這個無窮子集為 $\mathscr{F}_1=\{f^{(1)}(t)\}$ .

再取 $s_2=\dfrac{M_0}{2^2}$ ，由 $\mathscr{F}$ 再 $[\alpha,\,\beta]$ 上的等度連續(xù)性，存在 $\delta_2=\delta_2(s_2)>0$ ，使得 $\forall \,f(t)\in\mathscr{F}$ ，只要當 $t,\bar{t}\in[\alpha,\beta]$ 且 $|t-\bar{t}|<\delta_2$ 時，就有 $|f(t)-f(\bar{t})|\leqslant s_2$ . 用平行于坐標軸的直線將矩形區(qū)域 $R_0$ 分成有限多個“高”為 $s_2$ ，款小于或等于 $\delta_2$ 的小矩形. 類似地，至少存在一個包含在 $S_1$ 內(nèi)、“高”為 $2s_2$ 的多邊形 $S_2$ ，它包含 $\mathscr{F}_1$ 中無窮多個函數(shù)的圖像. 記 $\mathscr{F}_1$ 的這個無窮子集為 $\mathscr{F}_2=\{f^{(2)}(t)\}$ .

一般地，假如已作出了“高”為 $2s_k=\dfrac{M_0}{2^{k-1}}$ 的多邊形 $S_k$ 及圖像含在 $S_k$ 內(nèi)的無窮函數(shù)族 $\mathscr{F}_k=\{f^{(k)}(t)\}$ ，對 $s_{k+1}=\dfrac{M_0}{2^{k+1}}$ ，我們可以類似構造出一個包含在 $S_k$ 內(nèi)“高”為 $2s_{k+1}$ 的多邊形 $S_{k+1}$ ，它包含 $\mathscr{F}_k$ 中無窮多個函數(shù)的圖像. 記 $\mathscr{F}_k$ 的這個無窮子集為 $\mathscr{F}_{k+1}=\{f^{(k+1)}(t)\}$ .

這樣我們就得到一個函數(shù)族序列 $\mathscr{F_1,F_2,\cdots,F_k,\cdots}$ 滿足性質(zhì)：

（1） $\mathscr{F\supset F_1\supset\cdots\supset F_k\supset\cdots}$ ;
（2）對 $\mathscr{F}_k$ 中任意兩個函數(shù) $f_1^{(k)}(t)$ 和 $f_2^{(k)}(t)$ ，都有

$|f_1^{(k)}(t)-f_2^{(k)}(t)|\leqslant 2s_k=\dfrac{M_0}{2^{k-1}},\,t\in[\alpha,\,\beta].$

在 $\mathscr{F_1}$ 中任取一個函數(shù) $f_1(t)$ ，在 $\mathscr{F_2}$ 中任取一個不同于函數(shù) $f_1(t)$ 的函數(shù) $f_2(t),\cdots$ ，在 $\mathscr{F_k}$ 中任取一個不同于函數(shù) $f_1(t),\cdots,f_{k-1}(t)$ 的函數(shù) $f_{k}(t)$ ，如此繼續(xù)下去. 因為 $\mathscr{F_1,F_2,\cdots,F_k,\cdots}$ 均為無窮集合，故這一過程可一直進行下去. 由此我們得到 $\mathscr{F}$ 的一個子序列 $\{f_n(t)\}\,(n=1,2,\cdots)$ 滿足：對任意的正整數(shù) $k$ 和 $l$ ，