舊文新發(fā)。
這一章就是簡縮版的數(shù)學史，數(shù)學史是實際需要或思維需要推動數(shù)學發(fā)展的歷史，其中充斥著“再創(chuàng)造”，下面從這兩個角度出發(fā)對本章進行梳理。
一、實際需要還是思維需要？
（一）實際需要
我們大數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)（shù）源于數(shù)（shǔ），量（liàng）源于量（liáng）”。清楚地說出了我們的數(shù)學產(chǎn)生于實際的需要，數(shù)學不但產(chǎn)生于實際的需要，而且確實可以滿足我們的許多實際需要。
對于數(shù)學的誕生，巴比倫的計算員、勘測員、商人、貨幣兌換商、銀行職員、出版商、橋梁道路與城市的建造者等各類人物都起過催生的作用，每一個行業(yè)都出于自己的需要使用數(shù)學，在使用的過程中數(shù)學得到了發(fā)展。
人類的第二門學科——天文學，更是一門實用的科學。而且因為人不能虛構(gòu)星辰（不能像虛構(gòu)一道數(shù)學題那樣），所以在天文學上數(shù)學得到了很好的應用。
印度人、阿拉伯人和中世紀僧侶們所重建的數(shù)學主要產(chǎn)生于應用，十進制法就是印度的發(fā)明。
而到了19世紀，數(shù)學得到了越來越多的應用，現(xiàn)在被稱為“數(shù)學物理”的廣闊領(lǐng)域就產(chǎn)生于數(shù)學的應用。
（二）思維需要
數(shù)學產(chǎn)生于實際需要是確定的，但數(shù)學的蓬勃發(fā)展絕非實際需要單獨作出的，事實恰恰是如果數(shù)學沒有在某種程度上脫離實際需要的限制，絕不會有今天這樣的成就。
數(shù)學的誕生離不開實際需要，但我們在巴比倫人的手稿中發(fā)現(xiàn)了那些毫無用處的線性方程和二次方程。
在古代埃及，數(shù)學迅速地、而且大幅度地超過了實際的需要。那些本來是因為職業(yè)而與數(shù)學發(fā)生關(guān)系的計算師、測繪員在業(yè)余時間如此熱衷于拿數(shù)字和圖形做游戲，揭發(fā)它們的秘密，探測它們的奧秘，除了思維本身的興趣，還能有什么原因？
希臘數(shù)學家Apollonius發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，但是這一發(fā)現(xiàn)在其后的兩千年中都是毫無實用價值的，直到開普勒發(fā)現(xiàn)行星的軌道的橢圓時，才得到應用。
16世紀數(shù)學的興旺是與技術(shù)分不開的，但并非需要更高超的數(shù)學來提高技術(shù)，而是因為一系列重大發(fā)明（包括印刷術(shù)）為人類提供的探索自然的信心，人類對自己是充滿信心的，對自己的思維力量是充滿信心的。正是人對自己思維力量信心，推動了數(shù)學的興旺發(fā)展。
（三）實際需要和思維需要的結(jié)合
在數(shù)學史上，對數(shù)學發(fā)展的推動，有時實際需要扮演了更重要的角色，有時思維需要起了更為重要的作用。但縱觀整個數(shù)學史，數(shù)學的發(fā)展是離不開這兩者的任何一方的。
重思維、重形式的畢達哥拉斯學派，就因為發(fā)現(xiàn)了與自然數(shù)不可公度的數(shù)（無理數(shù)），就把整個代數(shù)驅(qū)除出數(shù)學，從此獨尊幾何。因此數(shù)學在代數(shù)上的發(fā)展就停滯了，直到16世紀的笛卡爾解析幾何的出現(xiàn)，代數(shù)才重現(xiàn)生機。試想下，如果畢達哥拉斯學派也是重實用的，那么他就不可能取消那具有重要實用價值的代數(shù)，如此或許他們就會試著去尋找如何調(diào)和代數(shù)和幾何（他們確實這樣去做了，但結(jié)果是不理想的），或許就不需要等到16世紀的笛卡爾。
羅馬500年的歷史在數(shù)學史上卻幾乎是一片空白，當羅馬燒毀了亞歷山大圖書館時就注定了他們的數(shù)學史（科學史）將是一片空白。羅馬只重實用，所以他們留下了許多著名的建筑，但羅馬是輕視思維的。在東方，有一個民族也如此類似，那就是我們中華民族，中華民族也是一個只重實用的民族，在我看來，我們在數(shù)學史上是不值一提的，正視這一點對我們的數(shù)學教育是有利的（而不是因為所謂的民族情結(jié)，抱著楊輝三角、勾股定理不放）。
從早期的巴比倫和埃及我們看到了實際需要和思維需要的結(jié)合。數(shù)學產(chǎn)生于實際需要，但實際需要一般極快地得到了滿足，數(shù)學卻不會因此而停滯，數(shù)學會繼續(xù)發(fā)展（更為自由），這時數(shù)學發(fā)展的動力來自思維需要。
二、數(shù)學發(fā)展中的“再創(chuàng)造”
我們再來重溫下序言對“再創(chuàng)造”的定義：
的確，你不該把你的數(shù)學成果按照你發(fā)現(xiàn)它的那種過程去向別人講解，而要采取另一種方式，即設想你當時已經(jīng)有了現(xiàn)在的知識，你將是怎樣發(fā)現(xiàn)這些成果的；或者設想一個學生的學習過程得到指導時，他是應該怎樣發(fā)現(xiàn)它的。
在梳理序言時，我對現(xiàn)在的知識存在困惑（對于一個具體的數(shù)學家而言，從他初次接觸某一數(shù)學問題到作出一定的數(shù)學成果，雖然是要耗費一定時間的，但這段時間應該構(gòu)成不了原先知識和現(xiàn)有知識的巨大差別，也就是新的數(shù)學成果并不一定要以現(xiàn)有的知識進行新的闡發(fā)），經(jīng)過這一章的閱讀，我認為到這種對數(shù)學成果的“再創(chuàng)造”一般不是同一個數(shù)學家作出的，而且一個人（一些人）創(chuàng)造了一些數(shù)學成果，另一個人（另一些人）將這些數(shù)學成果整理并流傳下來（再創(chuàng)造）。
著名的畢達哥拉斯定理其實并不是畢達哥拉斯學派的創(chuàng)造，而是在希臘人之前兩千年的巴比倫就已經(jīng)知道了，畢達哥拉斯學派只是將之編寫成一個相對完整的體系。
歐幾里得的《幾何原本》是從定義、公設與公理開始的，但這不是歐幾里得的創(chuàng)造，這種由一些原理出發(fā)來處理幾何的習慣至少在歐幾里得《幾何原本》的一百年前就已存在。歐幾里得《幾何原本》中有些部分看起來很像現(xiàn)代數(shù)學，這些部分通常被認為是歐多克斯的杰作。歐幾里得《幾何原本》中也有一些部分演繹結(jié)構(gòu)薄弱，實際上，歐幾里得《幾何原本》是一種編撰之作。
對數(shù)學發(fā)展而言，這種編撰（“再創(chuàng)造”）是很重要的，如果沒有“再創(chuàng)造”，那種重要而散亂的數(shù)學成果，特別是暫時沒有使用價值的數(shù)學成果很可能就被遺忘了。這方面的例子我們是舉不出來的（因為已經(jīng)遺忘），不過“微積分”的發(fā)現(xiàn)或許可以給我們一些啟示：
18世紀，一些大數(shù)學家——牛頓、萊布尼茨、貝努利家族、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯等獻身于無限小運算，不斷地作出改進。但是，在整個18世紀，沒有學校開過微積分課。如果微積分是在幾個世紀以前被創(chuàng)造而又不在學校里施教的話，它一定消失得無影無蹤了。但好在，18世紀的印刷術(shù)已經(jīng)非常發(fā)達了，這些大數(shù)學家們把自己的成果記錄在書籍中（這是原創(chuàng)的再創(chuàng)造），當時這些書籍是鮮少有人問津的，但在19世紀大學的發(fā)展很好地彌補了這種缺陷。
由此，我們是否可以斷言，在印刷術(shù)還處在比較落后水平的年代，有很多的類似“微積分”這樣的偉大的數(shù)學創(chuàng)造被人遺忘了，這成了數(shù)學史上的永遠沒有答案的迷案。我相信，隨著現(xiàn)代記錄方式的便捷，信息交流的快速，這類重要數(shù)學成果被遺忘的情況不會再發(fā)生了。
但在數(shù)學教育領(lǐng)域，仍然存在“創(chuàng)造力”遺失的風險。在學校里，我們的孩子知識增長了，但“創(chuàng)造力”沒有相應的增長，反而處在不斷地下降之中。沒有“創(chuàng)造力”的民族，是一個沒有生氣的民族。而弗氏的“再創(chuàng)造”數(shù)學教育哲學為我們提供了一條出路。
