原文鏈接
# 定義向量從字面上理解包含方向和長度（模），是一種描述位移的載體。向量沒有具體的位置，所以對向量做平移操作是無損的。長度為0的向量叫做零向量。與向量v方向相反的向量叫做v的負(fù)向量（將原向量乘以-1就能得到負(fù)向量）。 垂直平面a的向量叫做平面a的法向量。
# 向量標(biāo)準(zhǔn)化（歸一化）長度為1的向量叫做單位向量，又稱標(biāo)準(zhǔn)化向量，單位向量只關(guān)心方向而不關(guān)系長度，所以我們常用單位向量來表示方向。 a.向量模
[圖片上傳失敗...(image-f27cc5-1666363762938)]
b.標(biāo)準(zhǔn)化
[圖片上傳失敗...(image-f523b8-1666363762939)]
# 向量數(shù)乘[圖片上傳失敗...(image-e730e0-1666363762939)]
向量與標(biāo)量相乘表示向量伸縮，其結(jié)果還是一個(gè)向量。
向量與標(biāo)量相乘的優(yōu)先級高于向量的加法和減法，這點(diǎn)類似標(biāo)量之間的乘除法。
# 向量加法與減法
[圖片上傳失敗...(image-455c03-1666363762939)]
[圖片上傳失敗...(image-ca644b-1666363762939)]
[圖片上傳失敗...(image-5d33e4-1666363762939)]
向量的加法滿足三角形法則，平移使得向量首尾相接，最終的向量從第一個(gè)向量的頭部開始指向最后一個(gè)向量的尾部。向量相減得到向量朝向可理解為減號(hào)改變了向量原始向量的方向，比如 a-b，b改變了方向，所以得到向量d是從b指向a。
向量不能與標(biāo)量或維數(shù)不同的向量相加減
向量加法滿足交換律（a + b = b + a）
向量減法不滿足交換律（a - b ≠ b - a，a≠b）
# 向量點(diǎn)乘（點(diǎn)積、內(nèi)積）
[圖片上傳失敗...(image-a4b9e6-1666363762938)]
[圖片上傳失敗...(image-7c2f08-1666363762939)]
代數(shù)上表示兩個(gè)向量對應(yīng)分量相乘的值的累加，其結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量。（兩個(gè)點(diǎn)乘向量的維數(shù)必須相同）向量點(diǎn)乘在加減法之前計(jì)算向量點(diǎn)乘滿足交換律 a · b = b · a向量點(diǎn)乘滿足結(jié)合律 k(a · b) = ka · b = a · kb
[圖片上傳失敗...(image-56ecc8-1666363762939)]
幾何上表示b在a上的投影長度與a數(shù)乘后所得新向量的模，我們可以做如下運(yùn)用：1、求兩個(gè)向量的夾角
| | [圖片上傳失敗...(image-3bbba6-1666363762938)]
入射光與法線夾角 |
2、求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影
[圖片上傳失敗...(image-23bd99-1666363762939)]
b在a上的投影c，根據(jù)向量的兩個(gè)基本要素方向和長度，我們做出如下分解：
| c的方向
| c的長度 | c的表達(dá)式
|
|
[圖片上傳失敗...(image-4d904c-1666363762937)]
|
[圖片上傳失敗...(image-535def-1666363762937)]
|
[圖片上傳中...(image-2325bb-1666363762937-0)]
|
b = c + d，由此我們可以將b拆分為c和d，其中c平行于a，d垂直于a。3、點(diǎn)積與兩個(gè)向量在方向上的相似程度成正比，兩個(gè)向量的夾角越小所得點(diǎn)積越大表示方向越相似。
| a · b | 夾角 θ | 現(xiàn)象 |
| > 0 | 0° ≤ θ ＜ 90° | 方向基本相似 |
| = 0 | θ = 90° | 垂直 |
| < 0 | 90° < θ ≤ 180° | 方向基本相反 |
[圖片上傳失敗...(image-5dd012-1666363762939)]
我們經(jīng)常用點(diǎn)積來判斷向量的朝向
- 夾角位于虛線上方的向量與a的方向基本一致，可認(rèn)為是朝前的向量；
- 夾角落于虛線上的向量與a垂直；
- 夾角位于虛線下方的向量與a的方向基本相反，可認(rèn)為是朝后的向量；
# 向量叉乘（叉積、外積）
【叉乘代數(shù)運(yùn)算】
叉乘在加減法之前計(jì)算，當(dāng)叉乘和點(diǎn)乘一起運(yùn)算時(shí)，叉乘優(yōu)先計(jì)算。
a · b x c = a · (b x c)
叉乘不滿足交換（滿足反交換律）
a x b ≠ b x a，a x b = -(b x a)
叉乘不滿足結(jié)合律
(a x b) x c ≠ a x (b x c)
【叉乘幾何解釋】
叉乘得到的向量垂直于原來的兩個(gè)向量，即垂直于原來兩個(gè)向量的平面。
垂直的的方向有兩個(gè)c和-c，我們可以用右手螺旋定則來判斷垂直的方向。首先五指伸直，如果a x b則除大拇指外的其他手指從a旋轉(zhuǎn)到b，此時(shí)大拇指所朝的方向就是叉乘向量的方向。如果是b x a我們就需要把手倒過來演示。
利用叉乘的規(guī)律，可做如下應(yīng)用：
1、利用叉乘來判斷是左手坐標(biāo)系還是右手坐標(biāo)系，x x y = z 則是右手坐標(biāo)系，x x y = -z則是左手坐標(biāo)系。
2、利用叉乘判斷左右
a x b = c，b x a = d（注意這是右手坐標(biāo)系，如果是左手坐標(biāo)系則恰好相反）
我們可以通過 a x b 所得向量的z分量來判斷左右關(guān)系
| b在a左側(cè) | b在a右側(cè) | b平行于a
|
| z > 0 | z < 0 | z = 0 |
3、利用叉乘判斷內(nèi)與外
[圖片上傳失敗...(image-fa3667-1666363762938)]
要判斷一點(diǎn)是否處于三角形內(nèi)部，我們只需要判斷這一點(diǎn)分別處于三條邊的左側(cè)或右側(cè)即可。
我們還是以右手坐標(biāo)系為例
AB x AD 得到 z > 0，故AD在AB左側(cè)；
BC x BD 得到 z > 0，故BD在BC左側(cè)；CA x CD 得到 z > 0，故CD在CA左側(cè)； 所以點(diǎn)D處于三角形內(nèi)部。注意我們這個(gè)三角形是ABC逆時(shí)針相連，如果改成ACB順時(shí)針相連則判斷D在三條邊向量的右側(cè)即可。
